湖南省长沙市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

湖南省长沙市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答

题

一.实数的运算（共1小题）

1.（2020•长沙）计算：|-3|-（5/10-1）°+V2cos45°+（A）

4

整式的混合运算一化简求值（共1小题）

2.（2021•长沙）先化简，再求值：G-3）2+（x+3）（x-3）+2x（2-x）,其中x=-L.

2

三.分式的化简求值（共1小题）

2

3.（2020•长沙）先化简再求值：一旦?-0-上,其中x=4.

x2-6x+9x+2x-3

四.负整数指数幕（共1小题）

4.（2022•长沙）计算：|-4|+（A）-|-（&）2+2035°.

3

五.二次根式的混合运算（共1小题）

5.（2021•长沙）计算：|-&|-2sin45°+（1-73）°+近文遥•

六.二元一次方程的应用（共1小题）

6.（2022•长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条

狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一

道数学题.其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个

群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同.问：应该如何分？请你根据题

意解答下列问题：

（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九

十九条守门口，剩下三条给财主.”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在

题后相应的括号内，正确的打“J”，错误的打“X”.

①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案.

②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案.

③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种.

（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比

数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量.

七.一元一次不等式的应用（共2小题）

7.（2021•长沙）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，

某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，

一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分.

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共

答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史

小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

8.（2020•长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了

极大的影响.“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A,8两种型号的

货车，分两批运往受灾严重的地区.具体运输情况如下：

第一批第二批

A型货车的辆数（单位：辆）12

B型货车的辆数（单位：辆）35

累计运输物资的吨数（单位：吨）2850

备注：第一批、第二批每辆货车均满载

（1）求A、8两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？

（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车.试问至少还

需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？

八.解一元一次不等式组（共1小题）

9.（2022•长沙）解不等式组：!3x>-8-x①.

[2（x-l）46②

九.二次函数综合题（共3小题）

10.（2022•长沙）若关于x的函数y,当•时，函数y的最大值为最小值

22

为M令函数〃=号1,我们不妨把函数/I称之为函数）'的“共同体函数”.

（1）①若函数y=4044x,当『1时，求函数），的“共同体函数”〃的值；

②若函数），=履+方（kWO,k,b为常数）,求函数y的''共同体函数”〃的解析式；

（2）若函数y=2（x2l）,求函数），的“共同体函数”人的最大值；

x

（3）若函数y=-/+4x+k,是否存在实数使得函数），的最大值等于函数y的“共同

体函数“〃的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

11.(2021•长沙)我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两

点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做

一对“T点”.根据该约定，完成下列各题.

--(x<0)

(1)若点A(l,r)与点B(s,4)是关于x的“7函数"y={x

,tx2(x>0,t卉0,t是常数)

的图象上的一对“T点"，则，=,s=,f=(将正确答案填在相

应的横线上)；

(2)关于x的函数y=fcr+p(A,p是常数)是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对

“T点”如果不是，请说明理由；

(3)若关于x的"7函数")，="/+版+。(a>0,且a,b,c是常数)经过坐标原点O,

且与直线/：y—mx+n”>0,且加，”是常数)交于〃(xi,yi),N(xi,y2)两

点，当XI,X2满足(1-Xl)r+X2=l时，直线/是否总经过某一定点？若经过某一定点，

求出该定点的坐标；否则，请说明理由.

12.(2020•长沙)我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把

该函数称之为“”函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“”点”.根据该约定,

完成下列各题.

(1)在下列关于x的函数中，是函数”的，请在相应题目后面的括号中打“J”，

不是“H函数”的打“X”.

①y=2x()；

②y=@(m^O)()；

x

@y—3x-1().

(2)若点与点B(〃，-4)是关于x的函数"y—cu?+bx+c(a^O)的一

对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，求a,4c的值或取值范围.

(3)若关于x的“H函数"y=af+2法+3c(a,h,c是常数)同时满足下列两个条件：

@a+b+c=O,②(2c+b-a)(2c+6+3a)<0,求该"”函数”截x轴得到的线段长度的

取值范围.

一十.全等三角形的判定与性质(共1小题)

13.(2022•长沙)如图，AC平分NBA。，CB±AB,CD1.AD,垂足分别为B,D.

(1)求证：△ABC丝△ADC；

（2）若A8=4,C£）=3,求四边形ABC。的面积.

一十一.线段垂直平分线的性质（共1小题）

14.（2021•长沙）如图，在△ABC中，AD1BC,垂足为。，BD=CD,延长BC至E,使

得CE=CA,连接AE.

（1）求证：ZB—ZACBi

（2）若AB=5,AO=4,求△4BE的周长和面积.

一十二.平行四边形的性质（共1小题）

15.（2022•长沙）如图，在oABCZ）中，对角线AC,相交于点0,AB=AD.

（1）求证：AC1BD：

（2）若点E,尸分别为AD,A0的中点，连接E凡EF=3,A0=2,求8。的长及四边

形ABC。的周长.

一十三.矩形的判定与性质（共1小题）

16.（2021•长沙）如图，^ABCD^^AC,8。相交于点0,△0AB是等边三角形，AB

=4

(1)求证：。488是矩形;

(2)求A。的长.

一十四.切线的判定与性质(共1小题)

17.(2020•长沙)如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，4。与过C点的直线互相垂

直，垂足为。，AC平分ND4B.

(1)求证：OC为。。的切线.

(2)若AO=3,DC=如,求。。的半径.

一十五.圆的综合题(共3小题)

18.(2022•长沙)如图，四边形48。内接于。。，对角线AC,8。相交于点E,点F在边

AO上，连接EF.

(1)求证：XABEsMDCE；

(2)当役=谕，ZDFE=2ZCDB时，则坐-理=；空+胆=

BECEABAD

.(直接将结果填写在相应的横线上)

ABADAF

(3)①记四边形ABCD,△ABE,ACDE的面积依次为S,Si,S2,若满足G何+厄,

试判断△ABE,△CDE的形状，并说明理由.

②当DC=CB，AB=m,AD=n,C£)=p时，试用含加，n,p的式子表示

19.(2021•长沙)如图，点。为以4B为直径的半圆的圆心，点例，N在直径AB上，点P,

Q在窟匕四边形MNPQ为正方形，点C在市上运动(点C与点尸，。不重合)，连接

BC并延长交MQ的延长线于点£>,连接AC交MQ于点E,连接OQ.

(1)求sin/AOQ的值；

(2)求迪的值；

MN

(3)令ME=x,QD^y,直径A8=2R(R>0,R是常数)，求y关于x的函数解析式，

并指明自变量x的取值范围.

D

20.(2020•长沙)如图，半径为4的。。中，弦AB的长度为4/§,点C是劣弧金上的一

个动点，点。是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接QE、OD、OE.

(1)求NAOB的度数；

(2)当点C沿着劣弧源从点4开始，逆时针运动到点8时，求△ODE的外心P所经过

的路径的长度；

(3)分别记△ODE,△C£>E的面积为Si,S2,当S/-S22=21时，求弦AC的长度.

一十六.作图一应用与设计作图(共2小题)

21.(2021•长沙)人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与

已知三角形全等的方法：

已知：△ABC.

求作：B'C,使得AA'B'C'彩△ABC.

作法：如图.

(1)画B'C'=BC；

(2)分别以点3,，C为圆心，线段A8,AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；

(3)连接线段4'B1,A'C,则△?!'B'C'即为所求作的三角形.

请你根据以上材料完成下列问题：

(1)完成下面证明过程(将正确答案填在相应的空上)：

证明：由作图可知，在AA'B'C和△ABC中，

‘B'C'=BC

，A，B，=()

K丁=。

(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是.(填序号)

①AAS

②4sA

③SAS

④SSS

22.(2020•长沙)人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作己知角的平分

线的方法：

已知：ZAOB.

求作：/AOB的平分线.

作法：（1）以点。为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M,交0B于点N.

（2）分别以点M,N为圆心，大于」MN的长为半径画弧，两弧在/A08的内部相交于

2

点C.

（3）画射线0C,射线。C即为所求（如图）.

请你根据提供的材料完成下面问题.

（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是.（填序号）

①SSS

②SAS

③44S

④4s4

（2）请你证明。C为NAOB的平分线.

一十七.相似形综合题（共1小题）

23.（2020•长沙）在矩形4BCD中，E为OC边上一点，把△ADE沿4E翻折，使点。恰好

落在BC边上的点F.

（1）求证：△A8FS/\FCE；

（2）若AB=2y，AD=4,求EC的长；

（3）若AE-DE=2EC,记/BAF=a,ZME=P，求tana+tan0的值.

-+A.解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）

24.（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决

定对小区环境进行优化改造.如图，AB表示该小区一段长为20机的斜坡，坡角/BAD

=30°,BO_LA£＞于点D为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°.

（1）求该斜坡的身度8。；

（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.（假设图中C,A,。三点共线）

一十九.条形统计图（共1小题）

25.（2020•长沙）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学

劳动教育的意见》.长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”.为了

解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：

A数

1

00

90

80

70

60

50

40

30

20

10

（1）这次调查活动共抽取人；

（2）m=,n—；

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上

的学生人数.

二十.列表法与树状图法（共1小题）

26.（2022•长沙）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举

行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛.为

了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩

进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表.

成绩力分频数频率

60«150.1

70

70«a0.2

80

80«45h

90

90«60C

100

（1）表中a=,b—,c=；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2

名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女

27.（2021•长沙）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为吸引

游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个

白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就

可免费得到一个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参

与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个.

（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；

（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？

参考答案与试题解析

一.实数的运算(共1小题)

1.(2020•长沙)计算：|-3卜(V10-1)0+&cos45°+(』)1

4

【解答】解：原式=3-1仍历X返＞+4

2

=2+1+4

=7.

二.整式的混合运算一化简求值(共1小题)

2.(2021•长沙)先化简，再求值：(%-3)2+(x+3)(%-3)+2x(2-%),其中x=-L

2

【解答】解：原式=7-6x+9+/-9+4x-2X2

=-2x,

当x=-2＞时，

2

原式=-2X(-A)

2

=1.

三.分式的化简求值(共1小题)

2

3.(2020•长沙)先化简再求值：一—•%-9其中工=4.

X2-6X+9X+2X-3

2

［解答］解：.&挈•三二

x-6x+9x+2x-3

=x+2丁(x+3)(x-3)_x

(x-3)2x+2x-3

_x+3_x

x-3x-3

=3

当x=4时，原式=-'，-=3.

4-3

四.负整数指数嘉(共1小题)

4.(2022•长沙)计算：|-4|+(A)-(&)2+2035°.

3

【解答】解：1-41+(A)-(&)2+2035°

3

=4+3-2+1

=6.

五.二次根式的混合运算（共1小题）

5.（2021•长沙）计算：|-V2I-2sin45°+（1-73）°+近又显.

【解答】解：原式=J，-2X1+1+J正

2

=V2-V2+1+4

=5.

六.二元一次方程的应用（共1小题）

6.（2022•长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条

狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一

道数学题.其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个

群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同.问：应该如何分？请你根据题

意解答下列问题：

（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九

十九条守门口，剩下三条给财主.”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在

题后相应的括号内，正确的打“V”，错误的打“X

①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案.J

②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案.X

③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种.X

（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比

数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量.

【解答】解：（1）设“三多”的每群狗有x条，则“一少”的狗有（300-3x）条，

r300-3x>0

根据题意得:

300-3x<x

解得75VxVI00,

为奇数，

...X可取77,79,81……99,共12个,

.♦.①正确，②③错误，

故答案为：V,X,X；

（2）设“三多”的每群狗有机条，“一少”的狗有”条，

根据题意得：13ms=300,

lm-n=40

解得k=85,

ln=45

答：“三多”的每群狗有85条，“一少”的狗有45条.

七.一元一次不等式的应用（共2小题）

7.（2021•长沙）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，

某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，

一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分.

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共

答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史

小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25-1-x）道题，

依题意得：4x-（25-1-x）=86,

解得：x=22.

答：该参赛同学一共答对了22道题.

（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25-y）道题，

依题意得：4y-（25-y）290,

解得：y223.

答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”.

8.（2020•长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了

极大的影响.“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A,B两种型号的

货车，分两批运往受灾严重的地区.具体运输情况如下：

第一批第二批

A型货车的辆数（单位：辆）12

B型货车的辆数（单位：辆）35

累计运输物资的吨数（单位：吨）2850

备注：第一批、第二批每辆货车均满载

（1）求A、8两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？

（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车.试问至少还

需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？

【解答】解：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，8种型号货车每辆满载

能运y吨生活物资，

依题意，得」'+3了=28,

解得：卜=1°.

1y=6

答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，8种型号货车每辆满载能运6吨生活物

资.

（2）设还需联系”辆8种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，

依题意，得：10X3+6m262.4,

解得：m25.4,

又；，〃为正整数，

"的最小值为6.

答：至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地.

八.解一元一次不等式组（共1小题）

9.（2022•长沙）解不等式组：[3x>-8-x①.

[2（x-l）46②

【解答】解：（3x>-8-x①，

I2（x-l）<6②

解不等式①得：x>-2,

解不等式②得：xW4,

...原不等式组的解集为：-2<xW4.

九.二次函数综合题（共3小题）

10.（2022•长沙）若关于x的函数y,当工时，函数y的最大值为M,最小值

22

为N,令函数/7=旦二四，我们不妨把函数〃称之为函数y的“共同体函数”.

2

（1）①若函数y=4044x,当f=l时，求函数），的“共同体函数”人的值；

②若函数y=fcv+6（Z#0,k,6为常数），求函数），的“共同体函数”〃的解析式；

（2）若函数y=2（x2l）,求函数），的“共同体函数”人的最大值；

X

(3)若函数y=-/+4x+A,是否存在实数k,使得函数y的最大值等于函数y的“共同

体函数的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)①:『I'

.•.工Wxwa,

22

V函数y=4()44x,

二函数的最大值M=6066,函数的最小值N=2022,

；./i=2022：

②当大>0时，函数在L工WxWr+上有最大值有最小值

222

--k+b,

2

2

当k<0时，函数y=kx+b在f-工有最大值M=kt-lk+b,有最小值N=

222

kt+L+b,

2

：.h=-Ik；

2

综上所述：h=\—k\-,

2

(2)L工》1,即

22

函数y=2(X>l)最大值M=—g丁，最小值N=-\,

xt-t二

x2x2

当尸旦时，〃有最大值工；

22

(3)存在实数k,使得函数y的最大值等于函数>-的''共同体函数的最小值，理由

如下：

22

Vy=-x+4x+k=~(x-2)+4+kf

・・・函数的对称轴为直线x=2,y的最大值为4+公

①当△时，即

22

此时M=-(r-A-2)2+4+k,N=-(r+i-2)2+4+k,

22

：.h=t-2,

此时h的最小值为工；

2

②当时，即±3,

22

此时N=-(Z-A-2)2+4+%,M=-(r+A-2)2+4+k,

22

.,.h=2-t,

此时h的最小值为工；

2

③当即2WK包,

22

此时N=-(f+工-2)2+4+氏，M=4+A,

2

：.h=Xc-3)2,

22

④当f<2WwA,即gWf<2,

22

此时N=-(/-A-2)2+4+k,M=4+k,

2

.\h——(f-A)2,

22

/7的函数图象如图所示：/7的最小值为上，

8

由题意可得2=4+4,

8

解得k=-21；

8

综上所述：%的值为-11.

8

11.(2021•长沙)我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两

点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做

一对“丁点”.根据该约定，完成下列各题.

--(x<0)

(1)若点A(l,r)与点B(s,4)是关于x的“7函数勺={x

,tx2(x>0,t卉0,t是常数)

的图象上的一对“7点”，则，=4,s=-1,/=4(将正确答案填在相应的

横线上)；

(2)关于x的函数y=fcc+p(&,p是常数)是''7函数”吗?如果是，指出它有多少对

“T点”如果不是，请说明理由；

(3)若关于x的“7函数"y=a/+bx+c(。>0,且a,b,。是常数)经过坐标原点O,

且与直线/：y=iTJX^-n(m*0,〃>0,且〃2,〃是常数)交于M(xi,yi),N(%2,y2)两

点，当XI,X2满足(1-XI)"+X2=1时，直线/是否总经过某一定点？若经过某一定点，

求出该定点的坐标；否则，请说明理由.

【解答】解：(1),**A,8关于y轴对称，

.•.s=-1,r=4,

・・・A的坐标为(1,4),

把A(1,4)代入是关于x的“T函数”中，得：尸4,

故答案为r=4,s=-1,/=4；

(2)当攵=0时，有y=p,

此时存在关于y轴对称的点，

・・・丫=履+〃是“T函数”，且有无数对“丁’点，

当ZWO时，不存在关于y轴对称的点，

若存在，设其中一点(xo,kxo+p),则对称点(-xo,-kxo+p),

・\kxo+p=-kxo+p,

：.k=0,与攵WO矛盾，

，不存在，

・,./=丘+〃不是“丁函数”；

(3)•••丫=必2+法+(:过原点，

Ac=O,

,•1=0?+/以+c是“7函数”，

：.b=Q,

联立直线/和抛物线得：

f_2

,y-ax,

y=mx+n

即：cur-tnx-〃=0,

m-n

V.+Y-=-----»Y.Y-=---------»

又丁(]_勺)T+乂2=]，

化简得：x\+xi=x\xi,

n

—=,即m--n,

aa

..y—mx+n—mx-m,

当x—1时，y=0,

...直线/必过定点(1,0).

12.(2020•长沙)我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把

该函数称之为“H函数"，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”.根据该约定，

完成下列各题.

(1)在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“J”，

不是“”函数”的打“X”.

@y=2x(V)；

②>=典(mWO)(J)；

x

@y=3x-1(X).

(2)若点A(1,M与点8(屋，-4)是关于x的“”函数"y=ax2+bx+c(aHO)的一

对“〃点。且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，求小儿c的值或取值范围.

(3)若关于x的“H函数")，=/+28+3c(a,b,c是常数)同时满足下列两个条件：

①a+Hc=0,②(2c+匕-a)(2c+b+3a)<0,求该“H函数”截x轴得到的线段长度的

取值范围.

【解答】解：⑴①y=2x是“”函数”.②尸旦(加工0)是““函数”.③y=3x-l不

X

是“”函数”.

故答案为：4,J,X.

(2)•:A,B是“H点”,

・・・A,8关于原点对称，

.*./n=4,n=-1,

・"(1,4),B(-1,-4),

代入尸成+bx+c(〃wo)

得卜+b+c=4,

Ia-b+c=~4

；.卜=4,

Ia+c=O

•・•该函数的对称轴始终位于直线％=2的右侧，

b

->2

24a

一>2

2a

工-1<«<0,

・・Z+c=O,

综上所述，-IVaVO,b=4,0<c<l.

(3)・・万=〃/+2"+3。是““函数”，

・••设H(p,q)和(-p,-q).

代入得到]aP2+2bp+3c=q,

、ap2-2bp+3c=-q

解得ap2+3c=0,2bp=q,

Vp2>0,

:.a,c异号，

,.・。+力+。=0,

:・b=-a-c,

•；(2c+h-a)(2c+h+3a)<0,

:.(2c-a-c-a)(2C-Q-C+3Q)<0,

:.(c-2a)(c+2a)<0,

2

A—<4,

2

a

・・・-2V£<2,

a

设『=£,则-2W0,

a

设函数与X轴交于(刘，0),(X2,0),

Axi,X2是方程的两根,

.・阳-X2\=d(X]+x.)2—4X]X?

=小乌)2-4至

Vaa

_14(a+c)212c

力4[1▲(£)2连]

Vaaa

=2Vl+2t+t2-3t

:-2<r<0,

.,.2<|A-I-A2|<2A/7.

一十.全等三角形的判定与性质(共1小题)

13.(2022•长沙)如图，AC平分NBA。，CBYAB,CD±AD,垂足分别为8,D.

（1）求证：AABC^AADC；

【解答】（1）证明：；AC平分NBA。，

：.ZBAC^ZDAC,

"：CB±AB,CD1AD,

：.ZB=90°=ZD,

在△ABC和△&£>€1中，

，ZB=ZD

■ZBAC=ZDAC>

AC=AC

：./\ABC^/\ADC（AAS）；

（2）解：由（1）知：Z\ABC丝△ADC,

/.BC=CD=3,S^ABC—SMDC,

；♦SAA8C=LB•BC=工x4X3=6,

22

S丛ADC=6,

:・S四边形ABCQ=SAA3C+SZXA0C=12,

答：四边形A8C£>的面积是12.

一十一.线段垂直平分线的性质（共1小题）

14.（2021•长沙）如图，在△ABC中，ADLBC,垂足为。，BD=CD,延长BC至E,使

得CE=CA,连接AE.

(1)求证：ZB—ZACB；

(2)若AB=5,AO=4,求△48E的周长和面积.

【解答】解：（1）证明：BD=CD,

...A。是8C的中垂线，

：.AB=AC,

：.ZB=NACB；

(2)在RtZ\AOB中，BD=yJ/-M)2r§2_a2=3,

：.BD=CD=3,AC=AB=CE=5,

：.BE=2BD+CE=2X3+5=11,

在RtAADE中，AE=VAD2+DE2=3+82=4收，

.,.C^ABE—AB+BE+AE—5+}l+4\[S—\6+4yf5'

==22

SAAB£=^-xBEXADyX11X4-

一十二.平行四边形的性质(共1小题)

15.(2022•长沙)如图，在。ABC。中，对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.

(1)求证：ACLBD；

(2)若点E,尸分别为A。，40的中点，连接E凡EF=1,40=2,求8。的长及四边

2

形ABCD的周长.

【解答】（1）证明：•••四边形ABC。是平行四边形，AB=AD,

:.。ABC。是菱形，

:.AC_LBO；

（2）解：•.•点E,F分别为A。，A0的中点，

尸是△AOD的中位线，

：.OD=2EF=3,

由（1）可知，四边形ABC。是菱形，

：.AB^BC=CD=AD,ACA.BD,BD=2OD=6,

在RtZXAOO中，由勾股定理得：AD=5/AQ2+OD2=^22+32=713）

二菱形ABC。的周长=44£>=4\所.

一十三.矩形的判定与性质（共1小题）

16.（2021•长沙）如图，QABCD的对角线AC,8。相交于点O,△OAB是等边三角形，AB

=4.

（1）求证：。ABC。是矩形；

（2）求A。的长.

【解答】（1）证明：•••△AOB为等边三角形，

；.NB4O=N4OB=60°,OA=OB,

•.•四边形ABC。是平行四边形

AOB=OD=1.BD,OA=OC=1AC,

22

：.BD=AC,

.“ABC。是矩形；

（2）解：：。488是矩形，

AZBAD=90°,

VZABO=60°,

：.ZADB=90Q-60°=30°,

:.AD=MAB=AM.

一十四.切线的判定与性质（共1小题）

17.（2020•长沙）如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，AQ与过C点的直线互相垂

直，垂足为£>,AC平分ND4B.

(1)求证：DC为。。的切线.

(2)若A£>=3,DC=a，求。。的半径.

【解答】解：(1)如图，连接0C,

：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

平分ND4B,

：.ZDAC^ZOAC,

：.ZOCA=ZDAC,

：.AD//OC,

'：AD±DC,

：.OC±DC,

又oc是O。的半径，

为O。的切线；

(2)过点。作OELAC于点E,

在RtZ\AZ)C中，A£>=3,DC=M，

..11/£)4。=辿=圾，

AD3

：.ZDAC=30°,

：.AC=2DC=2y/3,

•.*OE±AC,

根据垂径定理，得

A£=EC=Lc=我，

2

'：ZEAO=ZDAC=30a,

，。。的半径为2.

一十五.圆的综合题(共3小题)

18.(2022•长沙)如图，四边形ABC。内接于00,对角线4C,相交于点E,点尸在边

4。上，连接EF.

(1)求证：XABEsXDCE；

(2)当前=癌，/DFE=2/CDB时,则处一至=0；更+理=1；-L+-L

BECEABADABAD

-」0=0.(直接将结果填写在相应的横线上)

AF

(3)①记四边形ABCD,△A8E,丛CDE的面积依次为S,Si,S2,若满足巡=展"+

试判断△ABE,△CZ)E的形状，并说明理由.

②当商=合,AB=m,AD=n,CQ=p时，试用含〃?，n,。的式子表示AE・C£.

AZACD^ZABD,即/ABE=/QCE,

又；NDEC=NAEB,

：.AABEsADCE；

(2)解：,:MABES/XDCE,

-AB_BE_AE

DCCEDE

：・AE*CE=BE・DE,

...坐_DE=AE*CE-BE*DE=n.

"BECE-BE-CE

VZCDB+ZCBD=180°-NBCD=NDAB=2NCDB,

又，：/DFE=2NCDB,

:.NDFE=NDAB,

：.EF//AB,

:.NFEA=NEAB,

VDC=CB.

：.ZDAC=ZBAC,

J.ZFAE^ZFEA,

：.FA=FE,

'：EF//AB,

.MDFESADAB,

•.•EF=DF-f

ABAD

.AFFE=EFAF=DF|AF=AD=i.

*'AB'kADAB而与AD

••AF4AF=AF/F=|.

.ABADAB+AD

.•.迎+处=1,

ABAD

：.-L^J：----L=o,

ABADAF

故答案为：0,1,0；

(3)解：①△ABE,△£>(?£：都为等腰三角形，

理由：记△AOE、△EBC的面积为S3、S4,

则S=S1+S2+S3+S4,

•三=包=些，

SgS2DE

・・・S1S2=S3S4①，

,Vs

即S=SI+S2+2JU

，S3+S4=2信用②，

由①②可得仁四，

即（眄-国）2=。，

S3=S4,

/.S^ABE+SAADE=SAABE+SAEBC,

=

即SAABDS^ADCf

：.CD//AB,

：.ZACD=ZBACfNCDB=NDBA,

VZACD=ZABD,NCDB=NCAB,

：.ZEDC=ZECD=/EBA=NEAB,

：4BE,ZXOCE都为等腰三角形；

@'.'DC=BC，

：.ZDAC=ZEAB,

9

：ZDCA=ZEBAf

：./\DAC^/^EAB.

AAD=AC,

**EAAB，

AO=〃，CD=p,

：.EA^C=DAXAB=mnf

ZBDC=ZBAC=ZDAC,

:・NCDE=NCAD,

又NECD=NOC4,

:•△DCE—XACD,

.CD=CE

e，ACCD，

922

.\EAAC+CE*AC=AC=nin+pf

，CP2-P2

则ACu'mn+p）‘=

ACVran+p2

inn

：.AE=AC-CE=

Vmn+p2

2

：.AE*CE=-^^—.

,2

mn+p

19.(2021•长沙)如图，点。为以AB为直径的半圆的圆心，点M,N在直径AB上，点P,

。在众上，四边形MNPQ为正方形，点C在京上运动(点C与点P,。不重合)，连接

BC并延长交MQ的延长线于点£>,连接AC交加。于点E,连接O。.

(1)求sinNAOQ的值；

(2)求迪的值；

MN

(3)令ME=x,QD=y,直径AB=2R(R>0,R是常数)，求y关于x的函数解析式，

并指明自变量x的取值范围.

D

【解答】解：(1)如图，连接OP.

•.•四边形MNP0是正方形，

：.N0MQ=ZONP=9G°,MQ=PN,

'：OQ=OP,

：.Rt/\OMQ^Rt^ONP(HL),

：.O