湖南省长沙市宁乡县第一高级中学2022-2023学年数学高一年级上册期末达标检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1.“幸福感指数”是指某个人主观地评价自己对目前生活状态的满意程度的指标.常用区间［0,10］内的一个数来表示，

该数越接近1()表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取1()位本地市民，调查他们的幸福感指数，甲得到10位市

民的幸福感指数分别为6,7,7,7,8,8,8,9,10,10,乙得到10位市民的幸福感指数的平均数为8,方

差为0.4,则这20位市民幸福感指数的方差为()

A.0.4B.0.8

c.lD.2

2.要得到函数y=sin(2x—9的图象，只需将函数y=sin(2x.］的图象()

A.向左平移?个单位长度

6

B.向左平移春个单位长度

C.向右平移?个单位长度

D.向右平移3个单位长度

3.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5,方差为2,现样本加入新数据4,5,6,此时样本容量为10,若此时

平均数为方差为52,则()

A.%=5>s2=2B.x=5,$2=1.6

C.x=4.9,/=1.6D.X=5.1>s1=2

4.下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是

A.y=sinxB.y=tanx

C.y=x3D.y=ex

5.定义：对于一个定义域为。的函数/(x),若存在两条距离为d的直线，=丘+班和，=依+呵，使得xe。时,

恒有依+仍〈依+用，则称“X)在。内有一个宽度为d的通道.下列函数:

①/(x)=x2(x'o)；②〃x)="-。;

③’("J：:f④/(x)=：(W").

1—c,X->UX

其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为

A.①@B.②③

C.@@D.②③④

6.函数/(x)=lg(3+a〕是奇函数，则。的值为

A.0B.1

C.-1D,不存在

x<0

7.已知函数〃司=,的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数”的取值范围是

logax(4z>0,_Etz^1),x>0

A(。回、

B.

3

lJ7

8.已知点尸(3,4)在角a的终边上，则cos|^+a的值为()

3

A-

5

4

C.-

5

9,已知国表示不大于x的最大整数，若函数/.(x)=x2+a[x]x-a在(0,2)上仅有一个零点，则实数。的取值范围为

()

A.(-CO,-4)B.(0,l)

4

C.(-8,-4)。(0,1)D.(-oo,一一)o(0,+oo)

3

——2xxW0

10.函数〃x)=''J,若y=/(x)+a恰有3个零点，则a的取值范围是。

log2x,x>0

A.(-oo,-l]B.(-1,0]

C.D.[(),+8)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.黑函数丫=/，当a取不同的正数时，在区间［0,1］上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A(l,0)、8(0,1),

连接AB,线段A3恰好被其中的两个募函数y=y=x%的图像三等分，即有BM=MN=NA.那么

ata2=_______

12.函数j=cos2x—sinx的值域是

13.己知“X)是偶函数，且方程/(X-3)=0有五个解，则这五个解之和为

14.集合A={1,2}的非空子集是

r2ex-',x<2

15.已知函数”x)==则/(/(3))的值为

ln^2-l),x>2

16.若关于x的方程&二3=x+b只有一个实根，则实数b的取值范围是.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=2x-x2

(1)求/(x)的解析式;

(2)求不等式/(5m》)>/(856的解集.

18.已知函数/(x)=log〃x(a>0且awl)的图象过点(9,2).

(1)求。的值.

⑵若g(x)=/(2-x)+/(2+x).

(i)求g(x)的定义域并判断其奇偶性;

(ii)求g(x)的单调递增区间.

19.已知函数/(》)=108«X(。>0且。。1)的图象恒过点4,且点A在函数丫=如+〃-1(/加>0)的图象上.

(1)求工+’的最小值；

mn

(2)若a=2,当xe[2,4]时，求丁=[/(月了—2/(x)+3的值域.

20.已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在A8段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用。(单

位：万元)与速度v(单位：百公里/小时)(0/vW3)的以下数据：

V0123

Q00.71.63.3

为描述该超级快艇每小时航行费用。与速度V的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q=av3+bv2+cv,Q=0.5"+a,

Q=klogav+b

(1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

(2)该超级快艇应以多大速度航行才能使A8段的航行费用最少？并求出最少航行费用

21.已知函数y=/(x)的定义域为K,其图像关于原点对称，且当x>0时，/(力二X2—4x+3

(1)请补全函数“X)的图像，并由图像写出函数“X)在R上的单调递减区间;

(2)^m=log25-log4100,〃=3嘀2,求/(加一〃)的值

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1、C

【解析】设乙得到10位市民的幸福感指数为王,々，…，王0,甲得到10位市民的幸福感指数为X”，再2,…，/()，求出

10201020

£玉，由甲的方差可得Zx：的值，再求出2七2的值，由方差公式即可求解.

三】/=11i=l/=11

【详解】设乙得到1()位市民的幸福感指数为玉,马，…，玉0,贝！I%+…+%0=80,

甲得到1()位市民的幸福感指数为西1，再2,…,々()，可得，内|+玉2+…+々0=8。，

所以这20位市民的幸福感指数之和为玉+々+…+工20=160,平均数为翳=8,

11031(1010\

由方差的定义，乙所得数据的方差：£>(%)=—XU-8)-=77+10x82-16Xx-=0.4,

io/=iio3=1/1=1?

由于％+工2+…+西0=80,解得：工：+只+…+瑞=644.

因为甲得到10位市民的幸福感指数为6,7,7,7,8,8,8,9,10,10,

所以+xf2H---卜舄1=656,

所以这20位市民的幸福感指数的方差为:

其120")1(20+20x8-620yJ\

=^x(656+644+1280-16x20x8)=1,

故选：C.

2、D

【解析】化简得到片呵2%一看

根据平移公式得到答案.

.万

【详解】y=sin12x-?y=soin2x--=-sin2(

I3

故只需向右平移二个单位长度

12

故选：D

【点睛】本题考查了三角函数的平移，意在考查学生对于三角函数的变换的理解的掌握情况.

3,B

【解析】设这10个数据分别为：王,々「。了7，％8=4,/=5,玉0=6,进而根据题意求出%+/+…+七和

(%—5『+(电-5『+…+(天—5)2,进而再根据平均数和方差的定义求得答案.

【详解】设这10个数据分别为：西,々，…,％7，/=4,%=5,%0=6,根据题意

*+%；——=5=>玉+W+•••+毛=35,

—5)2…)2=2nQ-5『+(”5)2+…+5-5)2=14，

所以1=%+*2；+/=35+：；5+6=5,

一2(%-5『+(芍-5)?+…+(为0-5/14+(4-5/+(5-5/+…+(6-5)2

s———1.6•

1010

故选：B.

4、C

【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案

【详解】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,y=sinx,是正弦函数，在定义域上不是增函数；不符合题意；

对于B,j=tanx,为正切函数，在定义域上不是增函数，不符合题意；

对于C,»=好，是奇函数且在其定义域内单调递增，符合题意；

对于。，y=e，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；

故选C

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性

5、D

【解析】②③可由作图所得，④作图可知有一个宽度为1的通道，由定义可知比1大的通道都存在.

6、C

【解析】由题意得，函数/(无)=馆(占是奇函数，则/(0)=0,即

/(())=lg［：+a)=lg(2+a)=0,解得。=一1,故选C.

考点：函数的奇偶性的应用.

7、D

【解析】本题首先可以求出函数/(x)=singx-l(x<0)关于y轴对称的函数g(x)的解析式，然后根据题意得

I//

出函数g(X)与函数/,(X)=10g"X(X>0)的图像至少有3个交点，最后根据图像计算得出结果

【详解】若x>0,则一x<0,

因为x<0时，/(x)=sinfyxj-l

所以〃—x)=

所以若/(%)=sin-1（%<0）关于）’轴对称,

则有〃r)=T=/(x)，即y二一sin—x-l(x>0),

设g(x)=-sinCx]-l(x>0),画出函数g(x)的图像,

结合函数的单调性和函数图像的凹凸性可知对数函数与三角函数在点尸（5,-2）处相交为临界情况,

即要使8（%）=-S皿仁*卜1（彳>0）与/3=108“％（尤>0）的图像至少有3个交点，

需要0<”1且满足g（5）<〃5）,即-2<log“5,解得0<“<冬故选D

【点睛】本题考查的是函数的对称性、对数函数以及三角函数的相关性质，主要考查如何根据函数对称性来求出函数

解析式，考查学生对对数函数以及三角函数的图像的理解，考查推理能力，考查数形结合思想，是难题

8、D

【解析】利用三角函数的定义即可求出答案.

【详解】因为点P（3,4）在角催的终边上，所以|OP|=J的+42=5,

7C4

cos（—+a）=-sin«,

故选:D

【点睛】本题考查了三角函数的定义，三角函数诱导公式，属于基础题.

9、C

【解析】根据题意写出函数表达式为：/(')=<2。小，在(0,2)上仅有一个零点分两种情况，情况一:

X+CIX—XG(1,2)

-Cl<0

在第一段上有零点，,C=0<。<1,此时检验第二段无零点，故满足条件；情况二，第二段有零点，

l-a>0

-a>0

«/⑴=l〉0=a<_4

J⑵<0

以上两种情况并到一起得到：(T4T)U(O,1).

故答案为C.

点睛：在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别

是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数

的变化趋势，得出结论.

10、B

一厂一2xxW0

【解析】画出/(x)='一的图像后，数形结合解决函数零点个数问题.

[log2x,x>0

-x2-2x,x<0

【详解】做出函数/(x)=<,八图像如下

log2x,x>0

由_f_2x=0得玉=-2,%2=°，由bg2X=0得％=1

故函数y=/(X)有3个零点-2,0,1

若y=/(x)+a恰有3个零点，即函数y=/(x)与直线k有三个交点,

则a的取值范围一1<aW0,

故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、1

1221

【解析】求出M,N的坐标，不妨设y=x%y=x%,分别过加()，,分别代入点的坐标，变形可解

得结果.

【详解】因为41，0),8(0,1),BM=MN=NA,

所以川《彳)，yv(|,|),

1?21

不妨设y=/,y=x%,分别过ZV(-,-),

所以=1

故答案为：1

12、

【解析】将原函数转换成同名三角函数即可.

【详解】y=cos2x-sinx=—sin2x-sinx+1=—sinx+—十二，

I2)4

­.--l<sinx<l»当sinx=—,时取最大值v|max=-»

24

当sinx=l时，取最小值ylmin=一1；

故答案为：-1,—.

_4_

13、15

【解析】根据函数的奇偶性和图象变换，得到函数y=.f(x-3)的图象关于x=3对称，进而得出方程其中其中一个

解为x=3,另外四个解满足玉+%=々+毛=6,即可求解.

【详解】由题意，函数/(%)是偶函数，可函数f(x)的图象关于x=0对称，

根据函数图象的变换，可得函数y=/(x—3)的图象关于x=3对称，

又由方程/(x—3)=()有五个解，则其中一个解为x=3,

不妨设另外四个解分别为X1,尤2，不，％且N<%2<*3<*4，

则满足小；“4=/；*3=3,即玉+Z=々+刍=6,

所以这五个解之和为6+6+3=15.

故答案为：15.

14、{1},{2},{1,2}

【解析】结合子集的概念，写出集合4的所有非空子集即可.

【详解】集合A={1,2}的所有非空子集是{1},{2卜{1,2}.

故答案为："},{2卜{1,2}.

15、ln(91n22-l)

【解析】首先计算/(3)=ln8>2,再求/(/(3))的值.

【详解】/(3)=ln(32-l)=ln8>2,

所以/(〃3))=/.(ln8)=ln[(ln8)2_l]=]n(91n22_l).

故答案为：In(9h?2—1)

16、TDU{码

【解析】把关于x的方程4乒=犬+6只有一个实根，转化为曲线y=■与直线y=x+〃的图象有且只有一个

交点，在同一坐标系内作出曲线与直线的图象，结合图象，即可求解.

【详解】由题意，关于％方程忘了=x+6只有一个实根，

转化为曲线y=JiZ7与直线y=x+b的图象有且只有一个交点，

在同一坐标系内作出曲线y=£7与直线y=的图象，如图所示，

结合图象可知，当直线y=x+6介于4和4之间的直线或与乙重合的直线符合题意，

又由直线y=x+6在y轴上的截距分别为一1,1,加,

所以实数匕的取值范围是[-1』)U{夜}.

故答案为{夜}.

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把方程的解转化为直线与曲线的图象的交点个数,

结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)=—°{x\2k7r+—<x<2k7r+—,k&Z}.

[2x+x,x<044

【解析】(1)当x<0时，—x>0,利用〃x)=—/(—x),结合条件及"0)=0可得解;

(2)分析可得/(X)在上递增，进而得sinx>cosx,从而得解.

【详解】(1)当x<0时，一%>0,贝！J/(-%)=2(一%)一(一%)2=-2%—％2,

•••/(%)为R上的奇函数，，/(%)=-/(一可=2x+£且/⑼=0,

...“X)=[2XT：,XN0；

[2x+x2,x<0

(2)因为当x»0时，/(X)=2X-JC2=-U-1)2+1,所以在[()4]上递增，

当x<0时，/(x)=2x+x2=(x+l)2-l,所以“X)在[-1,0)上递增，

所以“X)在[-1,1]上递增，

因为sinx,cosxe[—l,l],所以由/(sinx)>/(cosx)可得sinx>cosx,

JrSjr

所以不等式的解集为{x|2版"+2<x<2版■+",%eZ)

44

18、(1)a=3；(2)⑴定义域为(—2,2),g(x)是偶函数；(ii)(-2,0).

【解析】(1)由/(9)=2可求得实数。的值；

(2)(i)根据对数的真数大于零可得出关于实数x的不等式，由此可解得函数g(x)的定义域，然后利用函数奇偶性

的定义可证明函数g(x)为偶函数；

(ii)利用复合函数法可求得函数g(x)的增区间.

【详解】(1)由条件知/(蜒=92=，即4=9,又。>0且awl,所以。=3；

⑵g(x)=/(2-x)+/(2+x)=log3(2-x)+log3(2+x).

2—x>0

⑴由得-2<x<2,故g(x)的定义域为(一2,2).

乙~I-/V，

因为g(-X)=log3(2+x)+log3(2-x)=g(x),故g(x)是偶函数；

2

(ii)g(%)=log2(2-x)+log2(2+x)=log2(4-x),

因为函数y=log3M单调递增，函数w=4-d在(—2,0)上单调递增，

故g(x)的单调递增区间为(-2,0).

19、(1)4；(2)[2,3].

【解析】⑴根据对数函数恒过定点(1,0)求出，〃和〃的关系：加+“=1,则利用‘+,=('+!](加+〃)转化为基

mnymnJ

本不等式求最小值；

(2)利用换元法令t=f(x),将问题转化为二次函数求值域问题即可.

【小问1详解】

log.1=0,.•.函数/(%)的图象恒过点A(l,0).

■:24(1,())在函数了=如+〃-1(〃?〃>())图象上，Am+n=l.

〃171

Vmil>0>Am>0,鹿>0,/.—>0,一>0,

mn

：.—+-=\—+^-}(m+n}=—+—+2>2,—-—+2=4,当且仅当机=〃=，时等号成立，

mn\mnJtnn]/mn2

.••工+工的最小值为4.

mn

【小问2详解】

当a=2时，/(x)=log2x,

•••〃x)=log?x在[2,4]上单调递增，

二当尤«2,4]时，/(X)G[1,2],

令f=/(x),则丫=产一2/+3,/G[1,2],

了=产—2，+3=(7—1