系统的稳定性

第五章系统的稳定性§5-1系统稳定性的根本概念§5-2Routh〔劳斯〕稳定判据§5-3Nyquist稳定判据§5-4系统的相对稳定性第五章系统的稳定性4．系统的相对稳定性3．Nyquist(N氏)稳定判据2．Routh(劳斯)稳定判据1．系统稳定性的概念主要内容：一、定义：§5-1系统稳定性的根本概念图5-1第五章系统的稳定性系统特征方程的全部特征根均具有负部。假设控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程〔输出〕随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复平衡状态的能力，那么称该系统为稳定。二、系统稳定的充要条件EXE§5-2Routh〔劳斯〕稳定判据第五章系统的稳定性线性系统稳定的充要条件是其特征方程的所有特征根均具有负实部。因此，判别系统稳定性需要求特征根，当系统阶次较高时，求解较为困难。为此，Routh提出用特征方程的系数来判别根的正负。1．系统稳定的必要条件：一、Routh判据第五章系统的稳定性假设系统特征方程为：D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a0=0那么全部特征根均具有负实部，必须：即特征方程各项系数ai>0an>0,an-1>0,…,a0>02．系统稳定的充要条件：第五章系统的稳定性Routh表第一列元素均不为零，且符号相同。注：特征方程中实部为正的根的个数等于

Routh表中第一列元素符号改变的次数。以六阶特征方程为例：D(s)=a6s6+a5s5+a4s4+a3s3+a2s2+a1s1+a0=0

000s0000s100s200s30s40

a5s5a2a4a6s6a0

a1536451aaaaaA-=516252aaaaaA-=0553aaaaAo==125311AAaaAB-=135112AAaaAB-=121211BBAABC-=01312aBABC==121211CCBBCD-=0121aDCDE==a3第五章系统的稳定性第一列符号无改变，系统无实部为正的特征根→稳定第一列符号改变n次，那么有n个实部为正的特征根→不稳定第五章系统的稳定性1〕系数排成两行anan-2…an-1an-3…2〕列出Routh表每一行元素可以同时乘以或除以相同数3〕由稳定判据判断稳定性

∴判别系统稳定性步骤：解：列Routh表：002s000s10s20110s3253s47.41013510=×-×21003210=×-×2.37.421017.4-=×-×第五章系统的稳定性例：设系统的特征方程为

D(s)=3s4+10s3+5s2+s+2=0试判别系统稳定性3．Routh判据的特殊情况第五章系统的稳定性第一列：3104.7－3.22∵第一列符号改变两次∴系统不稳定，具有两个实部为正的特征根。1〕Routh表中某行第一列元素为零，其余列元素不全为零，那么以很小的正数0第五章系统的稳定性∵第一列符号改变两次∴系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。02s00s120(

)s2-31s3-3-2

例：D(s)=s3-3s+2=0试判别系统的稳定性例：D(s)=s5+s4+2s3+2s2+3s+5=0解:005s000-2s105s20s3521s4321s5)(012121e=×-×ee22+215131-=×-×∵第一列符号改变两次∴系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。第五章系统的稳定性处理方法：2〕Routh表某行元素全为零：〔假设第k行〕第五章系统的稳定性a)以上一行〔k-1〕行的系数构成一个辅助方程〔阶次一般为偶数〕Sn-k+2b)对该辅助方程求导，所得系数代替k行c)继续计算Routh表该情况表示特征根中存在以原点对称的根iii)两对复根，实部符号相异，虚部相同这些根可由辅助方程求得。i)存在一对绝对值相等的正负实根ii)一对共轭纯虚根∵第一列元素符号没有变化∴系统稳定例：

D(s)=s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0第五章系统的稳定性0000s0000s100s2000(3)0(1)s3016(8)

s4016(8)12(6)2(1)s5162081s62212182=×-×12216202=-×311361=×-×81081=-×31(1)(6)辅助方程2s+12s2+16=0或s4+6s2+8=0求导得4s3+12s=0或s3+3s=0

4

D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a0=0二、Hurwitz(赫尔维兹)判据第五章系统的稳定性onnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaan2123142531000000000LLMMMMLLL--------=DL2〕Hurwitz行列式k>0(k=1,2,…,n)系统稳定的充要条件：1〕特征方程各项系数均大于零第五章系统的稳定性

1=an-1>0

n>00>=an-2anan-3an-1D2>00=D3an-3an-1an-6an-4an-2an-5an-3an-1

Hurwitz行列式直接由系数排列，规律简单而明确，因此，比列Routh表要简单些，使用也较为方便，但对六阶以上的系统，由于行列式计算麻烦，故应用较少。对于简单形式：000000:400000:3000:22304213210123430120123012>-->>>>>=>->>>>=>>>=aaaaaaaaaaaanaaaaaaaanaaanEXE§5-3Nyquist稳定判据第五章系统的稳定性1)()()()()()(mnsNsMsHsGsGK>==2.)()(1)()(sHsGsGsGB+=

3辅助函数：)()()()()(1)()(1)(sNsMsNsNsMsHsGsF+=+=+=一、GK(s)、GB(s)、F(s)及其零、极点关系G(s)Xo(s)H(s)Xi(s)图5-2第五章系统的稳定性由此可见：3〕系统稳定的充要条件是GB(s)的全部极点在s平面的左半部F(s)的全部零点在s平面的左半面。Z1Z2，…，Zn为F(s)的零点P1P2，…，Pn为F(s)的极点1〕F(s)的极点就是GK(s)的极点2〕F(s)的零点就是GB(s)的极点二、幅角原理设：)())(()())(()(S-pnS-p2S-p1S-ZnS-Z2S-Z1KsF=LL第五章系统的稳定性对于s平面和F(s)平面上的点而言，它们之间存在映射关系，即s平面上任一点，一定在F(s)平面上找到与之相对应的点；假设某点在s平面上运动形成封闭曲线，那么在F(s)平面上也一定有一条封闭曲线与之映射。()[])()()()()(pnsp2sp1sZnsZ2sZ1ssF-Ð++-Ð+-Ð--Ð++-Ð+-Ð=ÐLL()第五章系统的稳定性映射定理：设复变函数F(s)有p个极点和Z个零点被s平面内某一封闭曲线所包围，并且这一封闭曲线不经过F(s)的任何极点或零点。当复变量s顺时针方向沿此封闭曲线移动一周时，在F(s)平面内的映射曲线将顺时针方向包围坐标原点〔Z-p〕。oj

图5-3[s]Z1Zs-sr补充：第五章系统的稳定性假设s平面上的一条封闭曲线是一条顺时针封闭曲线，且不经过任何奇点，那么在F(s)平面上封闭曲线F的旋转方向和旋转次数与F(s)的零点和极点有关。其关系由幅角原理说明。ReIm[F(s)]o图5-4从几何关系可知，当s沿封闭曲线顺时针方向移动一周时，所有未被封闭曲线包围的极点和零点对应的向量幅角变化都为零，只有那些被封闭曲线包围的极点和零点所对应的向量的幅角变化才是-2

。

说明：第五章系统的稳定性3．假设s平面上，s内包含Z个零点，P个极点，那么F(s)幅角变化F(s)=-360P-360Z=-360〔Z-P〕即F逆时针包围原点〔P-Z〕圈。1．s平面上，顺时针绕零点旋转一周，F(s)平面上

F顺时针绕原点一周。

FZi(s)=-3602．s平面上，顺时针绕极点旋转一周，F(s)平面上

F逆时针绕原点一周。FPi(s)=-360三、Nyquist稳定判据第五章系统的稳定性P：右半s平面上开环极点个数p包围次数2N=N氏稳定判据是利用系统开环频率特性判别闭环系统稳定的判据，它分为开环系统稳定和开环系统不稳定两种情况。1．假设系统在开环状态下是稳定的，那么系统闭环稳定的充要条件是：系统开环频率特性极坐标图不包围〔-1,jo〕点2．若系统在开环形态下是不稳定的，则系统闭环稳定的充要条件是：系统开环频率特性极坐标图逆时针包围（-1,jo）点次2P第五章系统的稳定性一单位反响系统的开环传递函数为T1,T2，T3均大于0试判别闭环系统的稳定性。ReImo图5-5-121w=p0w=0例：

))()(()(=T3s+1T2s+1T1s+1KsGK解：由GK(s)得，开环系统不存在极点落在s平面的右边，即P=0开环系统稳定1〕设GK(j)的N氏图如右：曲线①→K1由图可知，N氏图不包围(-1,jo)点。∴此时系统闭环稳定

K1

K2放大倍数增大，系统由稳定不稳定2〕假设GK(j)的N氏图包围(-1,jo)点，如曲线②→K2那么系统闭环不稳定第五章系统的稳定性单位反响系统开环传递函数试判别系统闭环后的稳定性

=oReImo图5-6

=

(-1,jo)故闭环系统稳定。例：()12-=ssGK解：由GK(s)得，开环系统有一正极点∴开环系统不稳定P=1GK(j

)的N氏图如右。GK(j)正向包围(-1,jo)点半圈221PN==第五章系统的稳定性2〕开环系统不稳定，但如果合理设计系统参数，那么闭环系统可能稳定。由上述两例可以看出：1〕开环系统稳定，但如果系统参数设计不当，那么闭环系统不一定稳定。四、应用第五章系统的稳定性-1Re0Im(-1,jo)+1图5-71〕假设GK(s)中包含个积分环节，那么必须先增补开环幅频特性曲线。1．假设开环系统稳定，沿增加的方向，如果(-1,jo)点在幅频特性曲线GK(j)的N氏图〕的左侧，那么系统闭环后稳定。2．开环系统不稳定，判断闭环系统稳定的方法增补方法：从开环幅频特性曲线

=o+开始，以原点为中，以无穷大为半径画圆弧，逆时针转过角到=0gp×2第五章系统的稳定性在[-1,-

]段实轴上，由实轴开始而上，或由下而上到实轴终止，包围次数N=-0.5=-

21-0.5Re0Im(-1,jo)0.50.5-0.5图5-82〕计算N氏曲线包围(-1,jo)点的次数总的包围次数：N=N正+N负在[-1,-

]段实轴上，曲线由上而下穿越，包围次数N=+1

在[-1,-

]段实轴上，曲线由下而上穿越，包围次数N=-121在[-1,-

]段实轴上，由实轴开始而下，或由上而下到实轴终止，包围次数N=0.5=第五章系统的稳定性3）由N=，来判别闭环系统稳定性。P：GK(s)落在s平面右半面上的极点个数解：由GK(s)知p=0∴开环系统稳定∴闭环系统稳定2p的幅频特性曲线如图，试判别闭环系统的稳定性。

则：已知GK(s)=()()111.010++sss增补幅频曲线后，N氏图不包含(-1,jo),即N=0Re(-1,jo）

oIm

o+图5-9o

o+Im

o

图5-10(-1,jo）oRe第五章系统的稳定性解：由图知P=1

故：闭环系统不稳定ImRe

o+

o(-1,jo）o图5-11若GK(s)=的N氏图如图，)1(+TsK试判别闭环系统的稳定性例：∴开环系统不稳定增补N氏图后，21-=N∵

2PN¹EXE§5-4系统的相对稳定性第五章系统的稳定性由于Bode图和N氏图存在下面的对应关系，因此可在Bode图上应用N氏稳定性判据来判别闭环系统的稳定性。1．根本概念1〕极坐标图中的单位圆〔|GK(j)|=1〕和Bode图上的0分贝线相对应。2〕极坐标图中的负实轴和Bode图中的-180水平线相对应。一、Bode判据—N氏判据的引申第五章系统的稳定性ReIm-10-180

图5-12N氏图极坐标图中单位圆外的局部，|GK(j)|>1，对应Bode中20lg|GK(j)|>0，0dB线以上。

0dB20dBL(

)0

(

)-180

Bode图图5-13第五章系统的稳定性3〕N氏图上，曲线正、负穿越[-1,-]段实轴，对应对数相频上正、负穿越-180相频线。

(

)

0

-1+1+图5-1521-21注意：两者正负穿越的区别(-1,jo)+++1-1oReIm图5-1421212121--第五章系统的稳定性4〕幅值穿越频率c与相位穿越频率gImRe

=

g

c

=o+0-1图5-16

0dBL(

)dB

c

-180

(

)

g图5-17

c：N氏轨迹与单位圆交点的频率，此频率点输入与输出幅值相等。g：N氏轨迹与负实轴交点的频率，此时〔g〕=-180第五章系统的稳定性假设c=g，那么闭环系统临界稳定假设c<g，那么闭环系统稳定假设c>g，那么闭环系统不稳定2．Bode判据1〕p=0时〔此系统开环稳定〕第五章系统的稳定性ReIm0

g

c

=0+图5-18

0dBL(

)

c-180

(

)

g图5-19∵

g=c∴闭环系统不稳定例：第五章系统的稳定性开环对数相频特性在0到

c范围内，正、负穿越-180相频线次数的代数和为2P这里：

c=max{c1,c2,…}2)p0时〔系统开环不稳定〕，闭环系统稳定的充要条件是：第五章系统的稳定性某闭环系统开环频率响应的N氏图和Bode图如下p=0，试判断闭环系统的稳定性。0dBL(

)

c

(

)0

+1-1-180

图5-21∵N=－1+1=0∴系统闭环稳定例：Im

o+1-1

0Re图5-20(-1,jo)第五章系统的稳定性试判断闭环系统的稳定性。ImRe0

=0-2

=

图5-22odBL(

)

(

)0

-1-180

dB6dB0.1110-20dB/dec90

N=1图5-2321∵P=1∴开环不稳定∴闭环稳定又21=N

已知：G(s)=12-s解：二、系统的相对稳定性第五章系统的稳定性控制系统正常工作的必要条件是系统稳定，设计时，我们还要求系统具有适当的相对稳定性。相对稳定性：在控制系统稳定的条件下，系统稳定性能上下的程度。来定量表示相位裕度相对稳定性可由：幅值裕度kg

第五章系统的稳定性定义：在

=

c时，相频特性曲线

(

)距-180线的相位差值

，称为相位裕度。

=180

+

(

c)意义：表示在c时，假设系统从稳定变为临界稳定,允许相位再增加一个相位裕度的相位。1．相位裕度

第五章系统的稳定性ReIm0

ω=∞

g

cω=0-1图5-24ωL(ω)dBodBω

(ω)-180

cKg(dB)

g图5-25图示：极坐标中，轨迹与单位圆交点的向量与负实轴之间的夹角：负实轴上：-负实轴下：+第五章系统的稳定性Bode图中，对数相频特性曲线距-180

线的相位差

-180

线上：+

-180线下：-判据：p=0时，若

>0系统稳定

=0系统临界稳定

<0系统不稳定第五章系统的稳定性

c=

g-10

=

ImRe

=0图5-26图5-28

=

oImRe