第2节 刚体系统的平衡 摩擦

基本力系平面汇交力系：各力的作用线汇交于一点；

平面力偶系：仅由力偶组成的力系；

平面平行力系：力的作用线互相平行；

平面任意（一般）力系：力的作用线既不汇交于一点，也不全都互相平行的力系。

第二节刚体系统的平衡摩擦平面力系：在力系中，所有力的作用线均在同一平面内空间力系：所有力的作用线不全部在同一平面内力系的分类平面力系的分类平面力偶系：力偶系中，所有力偶的作用面均在同一平面内平面力偶系：所有力偶的作用面不全部在同一平面内力偶系的分类注意：与平衡力系、等效力系概念的区分一、平面汇交力系的合成平面汇交力系：作用于物体上的力系,若各力的作用线在同一平面内,且汇交于一点,这样的力系称为平面汇交力系。

研究方法：几何法，解析法。1）两个汇交力的合成F1F2ABCDFR力的平行四边形法则FR=F1+F2

F1BDFRF2FR=F1+F2

力三角形法A1.平面汇交力系的合成的几何法几何法—力多边形法则2）任意个汇交力的合成把各力向量首尾相接后得到开口多边形，称为力多边形，然后由第一个力的起点指向最后一个力的终点所构成的向量，称为多边形的封闭边，即为各力的合力。这种求合力的方法为力多边形法则。几何法：用力多边形法则求合力的方法。3）力多边形法则结论:平面汇交力系的合成结果是一个合力,其合力的作用线通过各力的汇交点。大小和方向由力的多边形的封闭边来表示.2.平面汇交力系合成的解析法1）力在坐标轴上的投影注意：力的投影是代数量，有正负之分。规定如下：如由a到b（或由a1到b1）的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。所以,力在直角坐标轴上的投影是代数量.

AFyoxBaba1b1FxFy若已知力F的大小，它和x轴的夹角为，则在坐标轴上的投影为：若已知力F在直角坐标轴上的投影FX，FY则该力的大小和方向为：应注意

(1)力的投影是代数量，而力的分量是矢量；（2）力在两个相互垂直的坐标轴上的投影的绝对值与力在这两个坐标轴上的分力大小相等；力在两个不互相垂直的坐标轴上的投影的绝对值与力在这连个坐标轴上的分力大小一定不相等。2）合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。3）平面汇交力系合成的解析法：然后根据合力在X轴和Y轴上的投影算出合力的大小和方向，如图所示，合力的大小为：合力的方向为：（1）由和的正负号决定所在象限；（2）合力与X轴所成的锐角α由下式决定：这种运用投影计算合力的大小和方向的方法，称为平面汇交力系简化（或合成）的解析法.

二、平面力偶系的合成主要研究内容力矩平面力偶理论平面力偶系的合成与平衡条件静力学的两个基本要素：力和力偶力的外效应是使物体的机械运动状态发生变化，可以使物体产生移动也可以使物体产生转动。力偶的外效应是单纯使物体的转动状态发生变化1.力矩及合力矩定理1）力矩的概念及性质规定F与

d

的乘积作为力F使物体绕支点O转动效应的量度，称为力F对O点之矩，简称力矩。作用在扳手上的力F

使扳手绕支点O

的转动效应与力的大小F成正比,与支点O到力的作用线的垂直距离d成正比。二、平面力偶系的合成力矩用符号Mo(F)表示

Mo(F)=±Fd

O

点称为矩心力F的作用线到矩心O的垂直距离

d

称为力臂力矩的正负号：绕逆时针方向转动为正，反之为负。力矩的单位：国际单位制N·m，kN·m

工程单位制公斤力米（kgf·m）注意：一般来说，同一个力对不同点产生的力矩是不同的，因此不指明矩心而求力矩是无任何意义的。在表示力矩时，必须表明矩心。例2

大小为F=150N的力按图a）、b）和c）

三种情况作用在扳手的一端,试求三种情况下力F

对O点之矩。

a)Mo(F)=-Fd=-150×0.20×cos30°=-2.598N·m

b)Mo(F)=Fd=150×0.20×sin30°=1.5N·m

c)Mo(F)=-Fd=-150×0.20=-3N·m

力矩的性质1）力对点的矩不仅与力的大小有关，而且与矩心的位置有关，同一个力，因矩心的位置不同，其力矩的大小和正负都可能不同。2）力对点的矩不因力的作用点沿其作用线的移动而改变。3）力对点的矩在下列情况下等于零:力等于零或者力的作用线通过矩心，即力臂等于零。4)互为平衡的一对力对同一点之矩的代数和为零.3）平面合力矩定理合力对O点之矩,等于各分力对点O之矩的代数和。这一结论称为合力矩定理即：2.

力偶的等效定理及力偶的性质

力偶的等效定理:

在同平面内的两个力偶,如果力偶矩的大小相等,转向相同,则两个力偶等效。

力的大小不变

力偶矩相同

转动方向盘的效果就是一样

力偶的等效条件为:偶的三要素相同的力偶都等效！！两种情况中力偶矩都是－Fd力偶的性质力偶在何任轴上投影的代数和恒等于零。力偶无合力，力偶不能与一个力等效，力偶对物体只能单纯改变旋转运动，而无平移作用。任一力偶可以在它的作用面内任意移动,而不改变它对刚体作用的外效应。或者说力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。所以说力偶是自由矢量。只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变,可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短,而不改变力偶对刚体的作用。

力偶对其作用面内任一点之矩恒为常数，且等于力偶矩，与矩心的位置无关。力偶矩是力偶作用的唯一量度！

3.平面力偶系的合成平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。1）两个力偶的情况M1=+P1dM2=-P2dM1=+F1d1M2=-F2d2M表示合力偶的矩，则

M=FRd

=(P1-P2)d=P1d-P2d=M1+M2

2）任意个力偶的情况作用在同一平面内的各个力偶，可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个分力偶矩的代数和，即

起重吊车中的梁AB，受到同一平面内任意力系的作用。三、平面一般力系的简化作用在刚体上的力可以沿其作用线移至刚体上任意一点，而不改变它对刚体的作用效果。若作用在刚体上的力不沿其作用线移动呢？复习：力的平移定理力的可传性：定理

作用在刚体上某点的力F，可以平行移动到刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F

对平移点之矩。1.

力的平移定理a)b)c)意义力的平移定理是平面任意力系向一点简化的理论依据,而且还可以分析和解决许多工程问题。

2.平面一般力系的简化F1′=F1,F2′=F2,…,Fn′

=Fn

M1=Mo(F1),M2=Mo(F2)，…，Mn=Mo(Fn)

Mo=M1+M2+…+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)=ΣMo(Fi)

FR=F1+F2+…+Fn=ΣF

结论在一般情形下,平面任意力系向作用面内任意一点O简化（O称为简化中心）,可得到一个通过简化中心O的力和一个力偶。这个力等于该力系的矢量和,成为主矢量（主向量）；这个力偶矩的等于该力系对简化中心O的力矩的代数和，称为主矩。

平面一般力系平面汇交力系合成R’（主矢）平面力偶系合成Mo（主矩）向一点简化注意：不能认为主向量R′就是原力系的合力，因为R′的作用效果并不和原力系的作用效果一样，只有主向量R′和主矩Mo一起的作用效果才与原力系的作用效果等效。主失量是不是原力系中各力的合力？？2.平面一般力系的简化结果分析平面一般力系向一点简化，一般可得到一个主矢FR'和一个主矩MO，但这不是最终简化结果，最终简化结果通常有以下四种情况:（1）FR'＝0，MO≠0表明原力系与一个力偶等效，原力系简化为一个合力偶，其力偶矩为MO＝∑MO(F)，此时主矩MO与简化中心的选择无关。（2）FR'≠0，MO＝0表明原力系与一个主矢量FR'等效，即FR'为原力系的合力，其作用线通过简化中心。(3)FR'≠0，MO≠0根据力的平移定理的逆过程，可以将FR'和MO合成为一个合力。合FR的作用线到简化中心O的距离为(4)FR'＝0，MO＝0表明原力系为平衡力系，则刚体在此力系作用下处于平衡状态。习题集P116，0857平面汇交力系平衡的必要与充分条件为:该力系的合力等于零!!1）平面汇交力系的平衡条件向量表达式为:四、力系与力偶系的平衡条件1.平面力系与平面力偶系的平衡条件平面汇交力系的平衡方程：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是:该力系的合力F等于零，即力系中所有力在任选两个坐标轴上投影的代数和均为零。平面汇交力系有两个独立的方程，可以求解两个未知量！平面汇交力系平衡时力多边形特点（几何条件）是：最后一个力的终点与第一个力的始点相重合;即各分力构成的力多边形自行封闭!用解析法求解平面力系的平衡问题时，未知力的指向可以预先假设，若计算结果为正值，则表示预先假设的力的指向是正确的，若为负值，则表示预先假设的力指向与实际指向相反。

2）平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各个力偶矩的代数和等于零。即平面力偶系有一个独立的方程，可以求解一个未知量！用解析法求解平面力系的平衡问题时，未知力偶的指向可以预先假设，若计算结果为正值，则表示预先假设的力偶的转向是正确的，若为负值，则表示预先假设的力偶的转向与实际指向相反。平面任意力系平衡的必要和充分条件：该力系向任意点简化时，所得的主向量和主矩都等于零。3）平面一般力系的平衡条件平面任意力系的平衡方程

平面一般力系有三个独立的方程，可以求解三个未知量！(1)所有各力在x轴上的投影的代数和为零

(2)所有各力在y轴上的投影的代数和为零

(3)所有各力对于平面内的任一点取矩的代数和等于零

平面任意力系的平衡方程

平面任意力系的平衡方程还有：

A、B不能与x轴（或y轴）垂直！平面任意力系的平衡方程还有：

A、B、C三点不能共线！注意：在应用平衡方程解平衡问题时，为了计算简化，通常将矩心选在两个未知力的交点，而坐标轴则尽可能选取与该力系中多数未知力的作用线平行或垂直！4）平面平行力系的平衡条件平面平行力系力作用线在同一平面内且相互平行的力系,它是平面任意力系的一种特殊情形。平面平行力系的平衡方程为：

如图：设物体受有平面平行力系F1、F2、…Fn的作用，存在平面平行力系有两个独立的方程，可以求解两个未知量！力系中所有各力在正交坐标系三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。2.空间力系与空间力偶系的平衡条件空间汇交力系的平衡方程是三个相互独立的代数方程，可以求解三个未知量！1)空间汇交力系的平衡条件：力偶系中各力偶矩矢在正交坐标系三个投影轴上投影的代数和等于零。2)空间力偶系的平衡条件：空间力偶系的平衡方程是三个相互独立的代数方程，可以求解三个未知量！力系中所有各力在正交坐标系三个坐标轴上投影的代数和分别等于零；力系中各力对任一点之矩矢在正交坐标系三个投影轴上投影的代数和分别等于零3)空间一般力系的平衡条件：空间力系最多能列出六个相互独立的平衡方程，最多可以求解六个未知量！力中所有各力在正交坐标系中与各力平行的坐标轴上投影的代数和等于零。力系中各力对任一点之矩矢在正交坐标系中与各力垂直的两个坐标轴上投影的代数和等于零4)空间平行力系的平衡条件：对于空间平行力系恒有：空间平行力系有三个相互独立的平衡方程，可以求解三个未知量！五、刚体系统的平衡外力：系统外的物体对系统的作用力内力：系统内部刚体间的相互作用力。

对于同一刚体系统，内力和外力是相对的，随所选研究对象的不同而改变的。根据作用与反作用定律，内力总是成对出现的，因此在分离体上只画外而不画内力。

刚体系统：多个刚体所组成的系统在求解平衡问题时，可先取整个系统为研究对象，解出部分未知量后，再在系统中选取某些构件为研究对象，求出其余未知量，也可以先取刚体系统中某刚体为研究对象。六、摩擦摩擦：两相接触的物体当有相对运动或相对运动趋势时两物体间彼此产生了相互阻碍其运动的现象。有害：给机械带来多余阻力，使机械发热，引起零件磨损、噪声和消耗能量。有利：用于传动，制动，调速等，没有摩擦，人不能走路，车不能行驶。两种基本形式：滑动摩擦和滚动摩擦。1.静滑动摩擦滑动摩擦力：

两个相互接触的物体，发生相对滑动或存在相对滑动趋势时，在接触面处，彼此间就会有阻碍相对滑动的力存在，此力称为滑动摩擦力。

滑动摩擦力作用在物体的接触面处

方向沿接触面的切线方向并与物体相对滑动或相对滑动趋势方向相反

滑动摩擦力分为静滑动摩擦力和动滑动摩擦力

根据两接触物体之间是否存在相对运动在水平桌面上放一重G的物块，用一根绕过滑轮的绳子系住，绳子的另一端挂一砝码盘。

物块平衡T的大小就等于砝码及砝码盘重量的总和

T使物块产生向右的滑动趋势

静摩擦力F

阻碍物块向右滑动

F=T当T不超过某限度时六、摩擦1.静滑动摩擦（静摩擦）FT很小时，盘没有滑动而只具有滑动趋势，此时物系将保持平衡，Ff称为静滑动摩擦力。摩擦力Ff随主动力的变化而变化，与主动力FT等值。静滑动摩擦力：物体间具有相对滑动趋势的摩擦其方向与物体相对滑动的趋势相反最大静滑动摩擦力Ff增加到某一临界值Ffmax时，如果继续增大FT，盘将开始滑动。因此，则物体处于将动而未动的临界平衡状态。此时的摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力。所以，静摩擦力的大小由平衡方程决定，但介于零与最大值之间，即：最大静摩擦力定律：实验证明，最大静摩擦力的方向与物体相对滑动趋势方向相反，大小与接触面法向反力FN的大小成正比，即：Fmax＝fFN

比例常数f称为静滑动摩擦系数，简称静摩擦系数。大小主要取决于接触面的材料及表面状况(粗糙度、温度、湿度等)有关，与接触面的大小无关，无量纲。2.动滑动摩擦（动摩擦）动摩擦定律:当水平力FT超过Ffmax时，盘开始加速滑动，此时盘所受到的摩擦阻力已由静摩擦力转化为动摩擦力。实验证明，动滑动摩擦力的大小与接触表面间的正压力FN成正比，即：f

：动滑动摩擦系数，它主要取决于物体接触表面的材料性质与物理状态（光滑程度、温度、湿度等等），与接触面积的大小无关。F

＝f

FN

动摩擦系数f’一般小于于静摩擦系数f，但在精度要