1.1 锐角三角函数 北师大版九年级数学下册导学课件

1锐角三角函数第一章直角三角形的边角关系逐点学练本节小结作业提升学习目标本节要点1学习流程2正切正切与梯子的倾斜程度的关系坡度与坡角正弦、余弦锐角三角函数知识点感悟新知1正切正切的概念如图1-1-1，在Rt△ABC

中，如果锐角A

确定，那么∠A

的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A

的正切，记作tanA，即tanA=

.如果用a，b分别表示∠

A的对边与邻边，那么tan

A=.特别提醒●tanA不表示“tan”乘“A”.tanA是一个完整的符号，它表示∠

A的正切.●tanA＞0且没有单位，它表示一个比值，tanA的大小只与∠A

的大小有关.感悟新知[中考·桂林]如图1-1-2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD=__________.例1感悟新知解题秘方：紧扣正切的定义，找出该锐角所在的直角三角形的两直角边的比值，或与之相等的锐角所在直角三角形的两直角边的比值.解：∵∠BCD+∠ACD=90°，∠CAB+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠CAB，∴tan∠BCD=tan∠CAB感悟新知1-1.在Rt△ABC

中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA

的值是()B知识点正切与梯子的倾斜程度的关系感悟新知2正切与梯子的倾斜程度的关系(1)当梯子与地面所成的角为锐角A

时，tanA的值越大，梯子越陡.因此，可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度.特别提醒●在很多实际问题中，人们无法测量倾斜角(如梯子与地面的夹角)，这时通常采用倾斜角的正切值来刻画倾斜程度.●一个锐角的正切值随角度的增大(减小)而增大(减小).感悟新知(2)当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关.(3)对“倾斜程度”的理解：①倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角越大的物体，就说它放得越“陡”.②通过计算物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，夹角的正切值越大，物体放置得越“陡”.感悟新知如图1-1-3，李佳怡和王慧珍将两根木棒分别斜靠在墙上，其中AB=10cm，CD=6cm，BE=6cm，DE=2cm，你能判断出哪根木棒更陡吗？说明理由.例2感悟新知解题秘方：紧扣倾斜程度与正切值的关系以及正切值的求法解决问题.方法点拨：比较物体倾斜程度的两种方法.1.通过测量物体与地面夹角的大小来判断物体的倾斜程度，夹角越大，物体放置得越陡.2.通过计算物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，夹角的正切值越大，物体放置得越陡.感悟新知解：木棒CD更陡.理由如下：在Rt△ABE中，AE=∴tan∠ABE=在Rt△CDE

中，CE=∴tan∠CDE=∵tan∠CDE＞tan∠ABE，∴木棒CD更陡.感悟新知2-1.如图，梯子AB和EF中，更陡的是()A.一样陡B.梯子ABC.梯子EFD.不能确定C知识点坡度与坡角感悟新知3名称定义表示方法关系举例坡度坡面的铅直高度h与水平宽度l的比称为坡度(或坡比)，记作i坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡当h=1，l=

时，坡度i=1∶，坡角α为30°坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角(或倾斜角)，记作∠α感悟新知特别提醒●坡度是一个比；坡角是一个角.●坡度一般写成1∶m的形式，比的前项为1，后项m可以是小数，也可以是带根号的数.感悟新知如图1-1-4，拦水坝的横截面为梯形ABCD，BC∥AD，斜坡AB的坡度为1∶3，坝顶宽BC=3m，坝高为4m，斜坡CD=5m.(1)试比较斜坡AB

和CD

哪个更陡；(2)求坝底AD的长.例3解题秘方：紧扣坡度与坡面的倾斜程度之间的关系解决问题.感悟新知解：(1)如图1-1-4，过点C

作CF⊥AD，垂足为F，则CF=4m.在Rt△CFD中，根据勾股定理，得FD=，∴tanD=∵tanA=，∴tanD＞tanA，∴斜坡CD

更陡.感悟新知(2)如图1-1-4，过点B作BE⊥AD，垂足为E，易知BE=4m，EF=BC=3m.在Rt△AEB中，∵tanA=∴AE=3BE=3×4=12(m).∴AD=AE+EF+FD=12+3+3=18(m)，即坝底AD的长为18m.感悟新知3-1.[2021·山西]太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB

的坡度i=5∶12(i

为铅直高度与水平宽度的比).王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为________米.知识点正弦、余弦感悟新知41.正弦、余弦的定义名称定义数学语言图示正弦在Rt△ABC中，锐角A

的对边与斜边的比叫做∠A

的正弦，记作sinA，即sinA=在Rt△ABC

中，∠C=90°，BC=a，AB=c

，则sinA=感悟新知名称定义数学语言图示余弦在Rt△ABC

中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A

的余弦，记作cosA，即cosA=在Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=b，AB=c

，则cosA=感悟新知2.正弦、余弦与梯子的倾斜程度的关系(1)sinA的值越大，梯子越陡；(2)cosA的值越小，梯子越陡.感悟新知特别提醒1.sinA，cosA都是一个完整的符号，注意事项与正切类似.2.sinA，cosA没有单位，其值与锐角A的大小有关，与所在直角三角形的边长无关.感悟新知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C

的对边分别用a，b，c

表示，其中a=5，b=12，求∠A

的正弦值和∠

B的余弦值.解题秘方：紧扣正弦、余弦的定义结合直角三角形的边长解决问题.例4感悟新知解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得感悟新知4-1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，求∠B

的正弦、余弦和正切值.感悟新知知识点锐角三角函数感悟新知51.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦和正切都是∠

A

的三角函数.锐角三角函数sinA(或cosA

或tanA)是以锐角A

为自变量的函数.对于锐角A

的每一个确定的值，sinA(或cosA

或tanA)都有唯一确定的值与其对应.∠ABC的正弦表示为sin∠ABC，∠1的余弦表示为cos∠1，其中“∠”不能省略.感悟新知深度理解1.锐角三角函数之间的关系都可用定义推导得出.2.三角函数定义速记口诀：正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻，函数特点要牢记.感悟新知2.锐角三角函数之间的关系(1)同一锐角的三角函数之间的关系①平方关系：sin2A+cos2A=1；②商除关系：=tanA.(2)互余两角的三角函数之间的关系sinA=cos(90°－∠A)；cosA=sin(90°－∠A).感悟新知在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C

的对边分别为a，b，c.已知a=6，b=8，求出∠A

的三个三角函数值.例5解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义”求解.感悟新知方法点拨：已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想，首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义求锐角的三角函数值.感悟新知解：如图1-1-5，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，a=6，b=8，感悟新知5-1.[中考·滨州]在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA的值为__________.5-2.[中考·扬州]在△ABC

中，∠C=90°，a，b，c

分别为∠A，∠B，∠C

的对边，若b2=ac，则sinA

的值为_________.感悟新知在△

ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB=()例6B感悟新知解题秘方：当三角形出现边与边的比时，可引入参数，用这个参数表示出三角形的三边长，再用定义求解.技巧点拨：在直角三角形中，给出某一锐角的三角函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助元即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时约去辅助元.感悟新知解：由sinA=，可设BC=4k(k>0)，则AB=5k，根据勾股定理，得AC=3k，∴tanB=.感悟新知6-1.已知sinα=，α

为锐角，求cosα

和tanα的值.感悟新知如图1-1-6，在等腰三角形ABC

中，AB=AC，如果2AB=3BC，求∠B

的三个三角函数值.例7解题秘方：紧扣“求锐角三角函数值的前提是在直角三角形中”这一特征，用“构造直角三角形法”求解.感悟新知解：过点A作AD

⊥BC

于点D，如图1-1-6，∵AB=AC，∴BD=DC.又∵2AB=3BC，∴设AB=AC=3k(k>0)，则BC=2k.∴BD=CD=k，∴AD=2k.感悟新知7-1.[中考·连云港]如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C

都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA=________.感悟新知如图1-1-7，在△

ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC

折叠，使点A落在BC

边上的点D

处，EF

是折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为()例8A感悟新知解题秘方：紧扣“角相等则其三角函数值也相等”这一特征，用“等角转换法”将所要求的角的三角函数值转化为直角三角形中与该角相等的角的三角函数值.感悟新知解：∵在△

ABC中，AC=BC=4，∴∠A=∠B.由折