考点5 反比例函数中K值的几何意义（解析版）

反比例函数中k值的几何意义的问题会以选择题、填空题或解答题的形式出现，当以选择题或填空题的形式出现时，一般会是选择题或填空题中较难的题，在解答题中也会以偏难一点的形式出现。★★★○○○○1.𝑘的几何意义如图，过双曲线上任一点P作𝑥轴、𝑦轴的垂线PM、PN,所得矩形PMON的面积𝑆=|𝑥𝑦|=|k|.由此就建立起了几何图形的面积与k的关系。2.与QUOTE相关的面积问题的基本图形理解并记住这几个基本图形中阴影部分的面积与|k|的关系会对我们解决与反比例函数的面积有关的问题带来非常大的帮助。反比例函数中与k相关的面积的问题，其本质是过双曲线上的点向坐标轴作垂线，建立起双曲线上的点与图形面积之间的关系。当图形中的线段有倍分的关系时，通常设未知数，结合中点坐标公式或相似三角形的性质来示解。例1.在反比例函数的图像中，阴影部分的面积不等于4的是()ABCD【答案】B例2.如图，的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边中点，与另一直角边交于点，若，则的值为__________．【答案】12例3.如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，顶点在轴上，,与反比例函数的图像交于点，且，过点作轴的垂线交轴于点.若=10，则的值为___________【答案】-161.如图所示，直线l与双曲线（k＞0）交于A，B两点，点P在线段AB上，试比较△AOC的面积，△BOD的面积，△POE的面积的大小关系。答案】==【解析】由基本图形可知，=|k|，=|k|，=|k|，所以==学科@网2.如图，矩形ABCD的边分别与两坐标轴平行，对角线AC经过坐标原点，点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上．若点B的坐标为（﹣2，﹣2），则k=_____．【答案】43.（2016北海）如图，反比例函数的图像交的斜边OA于点D,交直角边AB于点C,点B在x轴上，若的面积为5，，则的值为【答案】4【解析】过点D作x轴的垂线，垂足为点E，设点A（3m，3n），1．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的BC边落在y轴上，其它部分均在第一象限，双曲线y=过点A，延长对角线CA交x轴于点E，以AD、AE为边作平行四边形AEFD，若平行四边形AEFD的面积为4，则k值为（）A.2B.4C.8D.12【答案】B【解析】延长CD，EF交于H，延长DA交x轴于G，延长AB交EF于N，则△DHF≌△AGE≌△AEN，∴S四边形ABOE=S四边形ADHE，∴S四边形ABOG=S四边形AEFD=4，∵双曲线y=过点A，∴k=4．学科@网2．如图，Rt△OAB的边OA在x轴上，点B在第一象限，点D是斜边OB的中点，反比例函数经过点D，若S△AOD=6，则k=________.【答案】6∵SΔAOD∴12×2a×b=6，即∵点D在QUOTEy=kx上，∴即a•b=k∴k=6.学科@网3．如图所示，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为_______．【答案】24．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且OA⊥OB，sinA＝，则k的值为________．【答案】-15.反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线，分别交双曲线于A，B两点，连接OA，OB，求△AOB的面积。【答案】1.56.如图，过点P（-2，3）作PC∥x轴，PB∥y轴，分别交双曲线（x＜0）于C，B两点，连接OB，OC，若S四边形OBPC=4，求k的值。【答案】-2【解析】分别延长PB，PC，交坐标轴于点D，E。由基本图可知-k=2S△BOD=2S△COE，故只需要求出S△BOD即可。因为S矩形PDOE=2×3=6，S四边形OBPC=4，所以S△BOD+S△COE=S矩形PDOE-S四边形OBPC=6-4=2，所以-k=2，则k=-2。学科@网7.如图，已知双曲线（k＜0）经过Rt△OAB的斜边OA的中点D，且与直角边AB交于点C，若点A（-6，4），求△AOC的面积。【答案】98.如图，已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线（k＞0）的一个分支上，点B在x轴上，CD⊥OB于D，若△AOC在面积为3，求k的值。【答案】49.如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB，BC交于点D，E，若四边形ODBE的面积为9，求k的值。【答案】3【解析】设B（2a，2b），则M（a，b），而k=ab，故只需要整体求出ab的值。由图形可知S△OAD=S△OCE=，又S四边形ODBE=S矩形OABC-S△OAD-S△OCE，所以9=2a×2b-ab，得ab=3。所以k=ab=3。10．如图，已知点A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线(k＜0)上运动，求k的值．【答案】－3∴tan∠OAC=OCOA=3．∴OC=过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________