中考数学专题复习全攻略：第五讲 图形的相似

第五讲图形的相似知识点一：比例线段1.比例线段注意：列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．注意：列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：⇔ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔比和比例顺口溜

两数相除也叫比，两比相等叫比例。

外项积等内项积，等积可化八比例。

分别交换内外项，统统都要叫更比。

同时交换内外项，便要称其为反比。

前后项和比后项，比值不变叫合比。

前后项差比后项，组成比例是分比。

两项和比两项差，比值相等合分比。

前项和比后项和，比值不变叫等比。

＝k.（b、d、···、n比和比例顺口溜

两数相除也叫比，两比相等叫比例。

外项积等内项积，等积可化八比例。

分别交换内外项，统统都要叫更比。

同时交换内外项，便要称其为反比。

前后项和比后项，比值不变叫合比。

前后项差比后项，组成比例是分比。

两项和比两项差，比值相等合分比。

前项和比后项和，比值不变叫等比。

注意：已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.变式练习1：若，则.注意：已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.解：设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.解比例顺口溜

外项积等内项积，列出方程并解之。

解比例顺口溜

外项积等内项积，列出方程并解之。

求比值顺口溜

由已知去求比值，多种途径可利用。

活用比例七性质，变量替换也走红。

消元也是好办法，殊途同归会变通。注意：利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.变式练习1：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于.变式练习2：如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,2)，则eq\f(DE,EF)＝(B)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．1,变式练习3：如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么eq\f(BC,CE)的值等于___eq\f(3,5)___.,第3题图)4.黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq\f(AC,AB)＝=eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．变式练习：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(－1)cm．5.证四条线段成比例的技巧：（1）.巧作平行线证相似：变式练习：在ABC中，AD为BC边上的中线，F为AD上任意一点，直线CF交AB于E。求证：AE:AB=EF:FC（2）.三点定形法确定相似三角形变式练习：CD是RtABC斜边上的高，E是AC的中点，ED,CB的延长线交于点F，求证：FB•CD=FD•DB（3）.用等线段替换变式练习：（4）.巧用面积证比例式:变式练习：AD是ABC的角平分线。求证：知识点二：相似三角形的性质与判定1.相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’3.相似三角形的判定(1)两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.注意：判定三角形相似的思路：件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；注意：判定三角形相似的思路：件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.4.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．变式练习(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2)如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.5.相似三角形的基本模型注意：（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.注意：（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边成比例②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方变式练习1：若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是________．【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得它们的面积比为：(2∶3)2＝4∶9.变式练习2：已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为eq\f(3,4)，则△ABC与△DEF对应中线的比为(A)A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(9,16)D.eq\f(16,9)变式练习3：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是(D)A．DE＝eq\f(1,2)BCB.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)C．△ADE∽△ABCD．S△ADE∶S△ABC＝1∶2变式练习4：如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为eq\f(1,3)，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是(D)A．(－1，2)B．(－9，18)C．(－9，18)或(9，－18)D．(－1，2)或(1，－2),变式练习5：如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是多少？解：∵△ABC与△DEC的面积相等