线性代数：许文翠主编

十四五普通高等院校公共课程类系列教材

“”

线性代数

许文翠主编

◎

李楠杨积凤梁树星陈忠副主编

◎

内容简介

本书针对应用型本科和高等职业院校学生的学习特点适当地减弱了理论上的

,

深度和难度内容浅显易懂全书共七章分别为行列式矩阵向量组的线性相

,。,、、

关性线性方程组相似矩阵二次型投入产出数学模型每章配有小结习题

、、、、。、

和测试题可供学生复习和检验学习效果使用

,。

本书适合应用型本科和高等职业院校理工类和经管类专业学生学习使用

。

图书在版编目CIP数据

()

线性代数许文翠主编北京中国铁道出版社

/.—:

有限公司

,2022.6

十四五普通高等院校公共课程类系列教材

“”

ISBN978-7-113-29443-4

线许线性代数高等学校

Ⅰ.①…Ⅱ.①…Ⅲ.①--

教材

Ⅳ.①O151.2

中国版本图书馆数据核字第号

CIP(2022)125449

书名:线性代数

作者:许文翠

策划:潘星泉编辑部电话:

(010)51873090

责任编辑:潘星泉徐盼欣

封面设计:刘颖

责任校对:苗丹

责任印制:樊启鹏

出版发行:中国铁道出版社有限公司北京市西城区右安门西街号

(100054,8)

网址:

/51eds/

印刷:三河市兴达印务有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

202261202261

开本:印张:字数:千

710mm×1000mm1/169.75190

书号:

ISBN978-7-113-29443-4

定价:元

28.00

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,,。:(010)63550836

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前言

线性代数是普通高等院校理工类和经管类专业学生的一门重要基

础课,可以培养学生将自然科学、工程基础和专业知识运用到复杂的计

算工程问题的能力。这门课程比较抽象,学生学习有一定的难度,对于

应用型本科和高等职业院校的学生难度更大。目前,适合应用型本科和

高等职业院校学生学习的线性代数教材较少,本书针对应用型本科和高

等职业院校学生特点编写,既满足教学要求,又符合应用型本科和高等

职业院校学生的特点。

本书适当地减弱了理论上的深度和难度,在介绍一些重要的概念和

定理时,通过实例引导学生理解概念和定理的内容,使学生更容易掌握

学习内容。本书语言通俗易懂,内容循序渐进。为便于学生解题,书中

例题较多,其中较为重点的类型题给出解题步骤,易于自学。本书第

7

章给出了投入产出数学模型,介绍了有关的线性代数基本知识,为经管

类学生学习提供帮助,同时也给出理工类学生学习经济类数学模型的新

方法。每章配有本章小结,对本章内容进行知识总结,使学生在学习本

章内容后有比较完整的理论体系。每章配有测试题,便于学生学习复习

和检验学习效果。

本书由许文翠任主编,李楠、杨积凤、梁树星、陈忠任副主编。具体

编写分工如下:许文翠编写第章、第章、第章和第章,李楠编写第

1236

章和第章,杨积凤编写第章,梁树星和陈忠编写习题参考答案部

457

分。本书由许文翠统稿和定稿。

由于编写时间仓促,加之编者水平有限,书中不妥与疏漏之处在所

难免,敬请广大读者批评指正。

编者

年月

20224

目录

第1章行列式………………………

1

二阶行列式和三阶行列式………………

1.11

二阶行列式………

1.1.11

三阶行列式………

1.1.23

三阶行列式的展开………………

1.1.34

n阶行列式………………

1.26

n阶行列式的定义………………

1.2.17

行列式按行(列)展开定理………

1.2.27

行列式的性质与计算……………………

1.39

行列式的性质……………………

1.3.19

行列式的计算……………………

1.3.210

克拉默法则………………

1.414

克拉默法则………

1.4.114

运用克拉默法则讨论齐次线性方程组的解……

1.4.216

习题…………

117

本章小结………………………

19

测试题………………………

120

第2章矩阵………………………

22

矩阵概述…………………

2.122

矩阵的概念………

2.1.122

几种特殊矩阵……………………

2.1.224

矩阵的运算………………

2.225

矩阵的加(减)法…………………

2.2.125

数与矩阵的乘法…………………

2.2.226

矩阵的乘法………

2.2.326

转置矩阵…………

2.2.429

线性代数

·Ⅱ·

逆矩阵……………………

2.331

逆矩阵的概念……………………

2.3.131

逆矩阵的求法……………………

2.3.231

逆矩阵的性质……………………

2.3.333

矩阵的初等变换…………

2.434

矩阵的初等变换…………………

2.4.134

用矩阵的初等行变换求逆矩阵…………………

2.4.235

用矩阵的初等变化转化行阶梯形矩阵…………

2.4.337

矩阵的秩…………………

2.539

矩阵的秩的概念…………………

2.5.139

用矩阵的初等变换求矩阵的秩…………………

2.5.240

习题…………

243

本章小结………………………

45

测试题………………………

246

第3章向量组的线性相关性……………………

48

向量的概念及其运算……………………

3.148

n维向量的概念…………………

3.1.148

n维向量的运算及运算律………

3.1.249

向量组的线性相关性……………………

3.251

向量组的线性组合………………

3.2.151

向量组线性相关与线性无关……

3.2.253

向量组的秩………………

3.357

向量组的等价关系………………

3.3.157

极大线性无关组(极大无关组)…………………

3.3.258

向量组的秩………

3.3.359

习题…………

361

本章小结………………………

62

测试题………………………

364

第4章线性方程组………………

67

消元法……………………

4.167

消元法……………

4.1.168

矩阵的初等行变换与消元法……

4.1.269

线性方程组解的判定……………………

4.271

非齐次线性方程组的解的判定定理……………

4.2.171

目录

·Ⅲ·

齐次线性方程组解的判定………

4.2.274

线性方程组的解的结构…………………

4.375

齐次线性方程组的解的结构……

4.3.176

非齐次线性方程组解的结构……

4.3.280

习题…………

484

本章小结………………………

85

测试题………………………

486

第5章相似矩阵…………………

88

矩阵的特征值与特征向量………………

5.188

矩阵的特征值与特征向量的定义………………

5.1.188

矩阵特征值与特征向量的性质…………………

5.1.290

相似矩阵与矩阵的相似对角化…………

5.292

矩阵的相似………

5.2.192

矩阵可对角化的条件……………

5.2.294

实对称矩阵对角化………

5.398

内积的基本概念………………

5.3.198

正交向量组与正交矩阵…………

5.3.299

实对称矩阵对角化……………

5.3.3102

习题…………

5104

本章小结………………………

105

测试题………………………

5107

第6章二次型……………………

109

二次型及其标准形……………………

6.1109

二次型的定义与矩阵表示……

6.1.1109

二次型的标准形………………

6.1.2110

矩阵的合同关系………………

6.1.3111

化二次为标准形………

6.2113

用正交变换化二次型为标准形………………

6.2.1113

用配方法化二次型为标准形…………………

6.2.2116

正定二次型……………

6.3117

惯性定理………

6.3.1117

正定二次型……………………

6.3.2118

习题…………

6119

线性代数

·Ⅳ·

本章小结………………………

120

测试题………………………

6122

第7章投入产出数学模型………

123

投入产出数学模型简介………………

7.1123

投入产出表……………………

7.1.1123

投入产出的数学模型…………

7.1.2125

投入产出数学模型的分析和计算……

7.2127

直接消耗系数…………………

7.2.1127

平衡方程组的解………………

7.2.2129

完全消耗系数…………………

7.2.3131

投入产出数学模型的应用……………

7.3133

投入产出的数学模型在制订计划方面的应用………………

7.3.1133

投入产出的数学模型在调整计划方面的应用………………

7.3.2134

习题…………

7135

本章小结………………………

136

测试题………………………

7137

习题参考答案………………………

139

参考文献……………

148

第1章

行列式

学习目标

:

理解二三阶行列式的定义

(1)、.

理解n阶行列式的定义元素aij的余子式代数余子式的定义

(2),、.

掌握行列式的性质

(3).

掌握行列式计算的基本方法并能熟练计算二三四阶行列式的值会计

(4),、、,

算简单的n阶行列式

.

理解克拉默法则并会运用克拉默法则解线性方程组

(5),.

解方程是代数中的一个基本问题在中学代数中我们解过二元三元以至四

,,、

元一次方程组本章介绍行列式的一些基本概念性质并以行列式作为工具求解

.、,

线性方程组

.

1.1二阶行列式和三阶行列式

1.1.1二阶行列式

对于二元线性方程组

axaxb

111+122=1

axaxb,(1-1)

211+222=2

如果aaaa时则由加减消元法方程组有唯一解其解可表示为

1122-1221≠0,,(1-1),

ઁ

baab

ઁx122-122

஠1aaaa

=11221221

ઁ-.

ઁ஡abba(1-2)

x112-121

2=aaaa

஢1122-1221

由式可以看出二元线性方程组的唯一解由未知数的系数与常数项确

(1-2),

定式的分母是两个未知数的系数乘积的差为简便将方程组的系数

。(1-2),,(1-1)

按原来的顺序排好并在两边各加一竖线用记号

,,

2线性代数

··

aa

1112

aa

2122

来表示aaaa即

1122-1221,

aa

1112aaaa

aa=1122-1221.(1-3)

2122

定义1.1式的左端称为二阶行列式它是由个数组成并且按照

(1-3).2×2,

一定顺序排列而成的一个算式其结果为aaaa又称二阶行列式的展

,1122-1221,

开式

.

二阶行列式的横排称为行纵排称为列aijij称为二阶行列式

;;(=1,2;=1,2)

的元素或元第一个下标i称为行标表明该元素位于第i行第二个下标称为列

;,;j

标表明该元素位于第j列

,.

例1计算下列行列式

.

ab

1223

(1);(2);(3)ba.

2314

解12

(1)=1×3-2×2=3-4=-1.

23

23

(2)=2×4-3×1=8-3=5.

14

ab

aabba2b2

(3)ba=×-×=-.

下面讨论二元线性方程组与二阶行列式的关系

,.

不难发现式的分子分别可表示为

,(1-2)

baab

D112baabD111abba

1=ba=122-122,2=ab=112-121.

222212

记

aa

D1112aaaa

=aa=1122-1222.

2122

为二元线性方程组的系数行列式则方程组的解在D的条件下可

(1-1),(1-1),≠0

表示为

DD

x1x2

1=D,2=D.(1-4)

式中x的分子D是用常数项bb替换D中的系数aa所得的二阶

(1-4),111、211、21

行列式x的分子D是用常数项bb替换D中的系数aa所得的二阶行

;221、212、22

列式

.

第1章行列式3

··

例2解二元线性方程组

xx

31+22=7.

xx

41-2=2

解因为

D32

==3×(-1)-2×4=-3-8=-11≠0,

4-1

D72

1==7×(-1)-2×2=-7-4=-11,

2-1

D37

2==3×2-7×4=6-28=-22,

42

所以二元线性方程组的解为

,

ઁ

ઁD

஠x1-11

1=D==1

ઁ-11

ઁ஡D.

x2-22

2=D==2

஢-11

1.1.2三阶行列式

定义1.2记号

aaa

111213

aaa

212223(1-5)

aaa

313233

称为三阶行列式它是由2个数排成的一个三行三列的并在左右两边各加一竖线

,3

的算式定义其值为

,

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

112233+122331+132132-112332-122133-132231(1-6)

式称为三阶行列式的展开式

(1-6)(1-5).

观察三阶行列式的展开规律展开式有六项每项由不同行不同列的三个数的

,,

乘积组成有三项取正号有三项取负号其规律如图所示

,,,1-1.

图

1-1

4线性代数

··

图中实线连接的方向为主对角线方向虚线连接的方向为次对角线方向

1-1,,

也就是说三阶行列式的值为主对角线方向上的不同行不同列元素之积的和减去

,

次对角线方向上不同行不同列元素之积的和这种方法称为对角线法则

,.

位于三条实线上三个元素的乘积冠正号位于三条虚线上三个元素的乘积冠

,

负号

.

例3计算三阶行列式

113

D

=251.

321

解应用对角线法则有

,

D

=1×5×1+1×1×3+3×2×2-3×5×3-1×2×1-1×1×2

=5+3+12-45-2-2

=-29.

类似于二元一次线性方程组的情形对于三元一次线性方程组

,

ઁ

ઁaxaxaxb

஠111+122+133=1

ઁ

ઁaxaxaxb

஡211+222+233=2,(1-7)

axaxaxb

஢311+322+333=3

记系数行列式为

aaa

111213

Daaa.

=212223

aaa

313233

如果D设

≠0,

baaabaaab

112131111311121

DbaaDabaDaab

1=22223,2=21223,3=21222

baaabaaab

332333133331323

则方程组有唯一解

(1-7)