2021考研数学一历年真题及详解

2021考研数学一历年真题及详解一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上)C.可导且导数为0D.可导且导数不为0【答案】D【考点】【解析】故f(x)在x=0处连续。因为2.设函数f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+1)2,f(x,x2)=2x21nx,则df【答案】C【考点】【解析】记3f/δx=f1’,记af/ay=f2’,则题给两式对x求导得f(x,x²)+2xf,(x,x²)=4xlnx+2x(2)将分别代入(1)(2)式有f(1,1)+f₂(1,1)=1,f(1,1)+2f₂(1,1)=2联立可得f1'(1,1)=0,f2′(1,1)=1,df(1,1)=f1′(1,1)dx+f2′(1,1)dy=dy,3.设函数在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3,则()。【答案】A【考点】麦克劳林公式；【解析】根据麦克劳林公式有与题给多项式相比较，在区间[0,1]上连续，则【答案】B【考点】【解析】由定积分的定义知，将(0,1)分成n份，取中间点的函数值，则故选B项。5.二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数和负惯性指数依次为()。【答案】B【考点】【解析】f(xl,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2=2x22+2x1x2+所以,故特征多项式为令上式等于0,得特征值为-1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1,选B项。11β1-12β2,若β1,β2,β3两两正交，则11,12依次为()。【答案】A【考点】斯密特正交化；【解析】利用斯密特正交化方法知β1=a1,故,7.设A,B为n阶实矩阵，下列不成立的是()。【答案】C分块矩阵的秩；【解析】B项，AB的列向量可由A的列线性表定能由A的列线性表示；D项，BA的行向量可由A的行线性表示故本题选C项。8.设A,B为随机事件，且0<P(B)<1,下列命题中不成立的是()。【答案】D【考点】【解析】由条件概率公式以及和事件的运算公式得因为P(A|AUB)>P(A|AUB),故有P(A)>P(B)-P(AB),故选D项。B.0不是θ的无偏估计，C.0是θ的无偏估计，D.θ不是0的无偏估计，【答案】C【考点】【解析】因为X,Y是二维正态分布，所以X与Y也服从二维正态分布，则X—Y也服从二维正态分布，即又由方差公式得D(Ô)=D(X-F)=D(X)+D(F)则0是0的无偏估计。故选C项。是来自总体N(μ,4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：H0:表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W{X≥11},其中,则μ=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为()。D.1一φ(2)【答案】B【考点】犯第二类错误的概率；【解析】所求概率为P{X<11},X～N(11.5,4),故二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上)【答案】【考点】【解析】2.设参数y=y(x)由参数方程【答案】【考点】【解析】=0代入得3.微分方程x2y+xy′-4y=0满足条件y(1)=1,y′(1)=2,得解为y=。【答案】【考点】【解析】原方程化为,特征方程为λ2-4=0,特征根为λ1=2,λ2=-2,则通解为y=Cle2t+C2e-2t=C1x2+C2x-2,y'=2C1x-2C2x-3,将初始条件y(1)=1,y′(1)=2代入得C1=1,C2=0,故满足初始条件的解为y=x2。4.设≥为空间区域表面的外侧，则曲面积分【答案】【考点】【解析】由高斯公式得则5.设A=aij为3阶矩阵，Aij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2,且|A|=3,A11【答案】【考点】代数余子式的计算；【解析】由于A的每行元素之和均为2,所以AX=2X,其中X=(1,1,1)T,因此λ=2为A的特征值，属于此特征值的特征向量为a=(1,1,1)T。Aa=2α→A*Aα=2A*α→|A|a=2A*a>A*a=(|A|/2)a,因此|A|/2=3/2是A*的一个特征值且对应的特征向量为a=(1,6.甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙根据协方差的定义式计算得根据协方差的定义式计算得Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)盒中，再从乙盒中任取一球。令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为。【答案】【考点】二维离散随机变量的相关系数；【解析】X,Y的联合分布律为PX01PY01P计算得pXY=1/5。三、解答题(本题共6小题，共70分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1.(本题满分10分)求极限【答案】将上式代入得【考点】利用泰勒展开式求极限；2.(本题满分12分)设,求级数的收敛域及和函【答案】,因此收敛半径R=1/p=1,收敛域为[一1,1]。综上级数的收敛域为(0,1),将S(x)分成两部分讨论，【考点】3.(本题满分12分)【答案】L(x,y,z,λ,μ)=z²+λ(x²+2y²-z-【考点】4.(本题满分12分)设DCR2是有界连通闭区域，取得最大值的积分区域(2)计算【答案】(1)由二重积分的几何意义知，当且仅当4—x2-y2在D上大于0时，I(D)达到最大，故D1:x2+y2≤4,则【考点】5.(本题满分12分)(1)求正交矩阵P,使得PTAP为对角矩阵；(2)求正交矩阵C,使得C2=(a+3