数学八年级下册专题17.6 勾股定理章末重难点突破（人教版）（教师版）

专题17.6勾股定理章末重难点突破【人教版】【考点1勾股定理的证明】【例1】（2021春•宁津县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵12ab+12c2+12ab=12（∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×12ab+c2＝（a+b∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×12ab+（b﹣a）2＝∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【变式1-1】（2021春•巢湖市期末）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形．（1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容；（2）已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图1、图2的面积相等，请你根据此图证明（1）中的定理．【分析】（1）直接写出勾股定理的内容即可；（2）分别表示出图1和图2的面积化简即可．【解答】解：（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2；（2）图1的面积为：S1=1图2的面积为S2=1∵图1、图2的面积相等，∴12∴a2+b2＝c2．【变式1-2】（2021春•前郭县月考）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝．【分析】（1）根据正方形的面积公式证明解答即可；（2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可；（3）设正方形EFGH面积为x，设其他八个全等的三角形面积为y，根据题意得出方程解答即可．【解答】证明：（1）S小正方形S小正方形即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，∴a2+b2＝c2；（2）∵AB+BC＝24÷4＝6，设AH＝BC＝x，则AB＝6﹣x，在Rt△HOG中，由勾股定理得，OH2+OG2＝GH2，即32+（3+x）2＝（6﹣x）2，解得：x＝1，∴S=1（3）设正方形EFGH面积为x，设其他八个全等的三角形面积为y，∵S1+S2+S3＝18，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝18，∴x+4y＝6，∴S2＝6．故答案为：6．【变式1-3】（2020秋•高邮市期中）数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．【分析】（1）通过图形的面积的两种计算方法，即可得出结果；（2）通过大正方形面积的两种计算方法，即可得出结果．【解答】解：（1）如图3所示∵图形的面积表示为a2+b2+2×12ab＝a2+b2+图形的面积也可表示为c2+2×12ab＝c2+∴a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2））如图4所示：∵大正方形的面积表示为（a+b）2；大正方形的面积也可表示为c2+4×1∴（a+b）2＝c2+4×12a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【考点2赵爽弦图的应用】【例2】（2021春•潮阳区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，那么EF等于（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】由全等三角形的性质和勾股定理求得AE＝8，HE＝2，再由正方形的性质即可得出答案．【解答】解：∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，∴AH＝DE＝6，AD＝AB＝10，在Rt△ADE中，AE=A∴HE＝AE﹣AH＝8﹣6＝2，∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝HE＝2，故选：D．【变式2-1】（2021春•长沙县月考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．144【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．【变式2-2】（2020秋•南山区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（）A．214 B．215 C．225【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM的面积．【解答】解：∵S正方形ABCD＝21，∴AB2＝21，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，∴x2+9x2＝21，∴x2=21根据题意可知：AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，∴S△FGN＝2S△CGN∵S△AEM＝S△CGN，∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，∴阴影部分的面积之和为：S梯形NGFM=12（NG+FM=12（EM+MF=12FE=12×（2＝2x2=21故选：B．【变式2-3】（2021•宁波一模）如图，是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别为S1，S2，S3，若知道图中阴影部分面积，一定能求出（）A．S1+2S3 B．S3−12S1 C．S1+S2+S3 D．S1+S3﹣2【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：设阴影面积为a，八个全等的直角三角形中一个的面积为x，则S2﹣S1＝4x，S3﹣a﹣S1＝8x，∴S3﹣a﹣S1＝2（S2﹣S1），∴S3﹣a﹣S1＝2S2﹣2S1，∴S3﹣S1﹣2S2+2S1＝a，∴S3+S1﹣2S2＝a，由于a已知，故S3+S1﹣2S2已知，即可求出S3+S1﹣2S2，故选：D．【考点3勾股数的应用】【例3】（2021春•江西月考）在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝18时，b+c的值为（）A．242 B．200 C．128 D．162【分析】根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入a＝18求出b、c的值，进而可得答案．【解答】解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，则a2+b2＝（b+2）2，当a＝18时，182+b2＝（b+2）2，解得：b＝80，则c＝80+2＝82，则b+c＝162．故选：D．【变式3-1】（2021•邵阳县模拟）中国的《周髀算经》明确记载了：勾广三，股修四，径隅五．还给出了勾股定理的一般形式．在西方数学史中，勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理．我们把像3，4，5这样一组满足a2+b2＝c2的正整数解称为勾股数．某同学将自己探究勾股数的过程列成如图（八）的表，其中每行数为勾股数．观察表中每列数的规律，可知x+y的值为．a381524…xb46810…yc5101726…82【分析】依据每列数的规律，即可得到规律，进而得出x+y的值．【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，8＝32﹣1，6＝2×3，10＝32+1，15＝42﹣1，8＝2×4，17＝42+1，24＝52﹣1，10＝2×5，26＝52+1，……80＝92﹣1，18＝2×9，82＝92+1，∴x＝80，y＝18，∴x+y＝98，故答案为98．【变式3-2】（2020秋•安徽月考）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数；11，；（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4=32−12，12=52−12，24【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．【解答】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61；（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为a2则用含a的代数式表示第三个数为a2−12故答案为：a2【变式3-3】（2021春•河间市期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：正确．理由：∵m表示大于1的整数，∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，∴a2+b2＝c2，即a、b、c为勾股数．当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．【考点4勾股定理逆定理的应用】【例4】（2021春•浦北县期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，点D是BC边上一点，BD＝5，AD＝12．（1）求证：△ADB是直角三角形；（2）求BC的长度．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可判断出△ADB为直角三角形，即∠ADB＝90°；（2）在Rt△ADC中利用勾股定理可得出CD的长度从而求出BC长．【解答】解：（1）在△ABD中，∵AB＝13，BD＝5，AD＝12，∴BD2+AD2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴BD2+AD2＝AB2∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即△ADB是直角三角形；（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得，CD=A∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．【变式4-1】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【分析】（1）连接BE，依据DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根据AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，进而得到△BCE是直角三角形；（2）依据勾股定理可得BE的长为10，再根据勾股定理即可得到方程162﹣（10+x）2＝102﹣x2，解方程即可得出CE的长．【解答】解：（1）如图所示，连接BE，∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；（2）Rt△BDE中，BE=D∴AE＝10，设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝162﹣（10+x）2，Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝102﹣x2，∴162﹣（10+x）2＝102﹣x2，解得x＝2.8，∴CE＝2.8．【变式4-2】（2021春•肥乡区月考）如图，线段AB，BC，CD和BD都为5cm，动点P从点A出发沿A→B→D以2cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8cm/s的速度运动到点A．若两点同时开始运动5s时，P，Q相距3cm．试确定两点运动5s时，问△APQ的形状．【分析】首先确定5秒时P、Q的位置，此时P与D重合，Q在AB边上，且BQ＝4厘米，然后根据勾股定理的逆定理判定△BPQ为直角三角形，且∠BQP＝90°，再由邻补角定义得到∠AQP＝90°，从而得出△APQ为直角三角形．【解答】解：5s时，动点P运动的路程为2×5＝10（cm），即点P运动到D点（点P与点D重合），动点Q运动的路程为2.8×5＝14（cm），因为DC＝BC＝BA＝5cm，所以点Q在BA上，且BQ＝14﹣10＝4（cm）．在△BPQ中，因为BP＝5cm，BQ＝4cm，PQ＝3cm，所以BQ2+PQ2＝42+32＝25＝BP2，所以△BPQ是直角三角形，且∠BQP＝90°，所以∠AQP＝180°﹣90°＝90°，所以两点运动5s时，△APQ是直角三角形．【变式4-3】（2021春•增城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当t＝2秒时，求AD的长；（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出t的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AC，求出CD，再求出答案即可；（2）分为两种情况：①∠BDC＝90°时，②∠CBD＝90°，求出t即可．【解答】解：（1）由勾股定理得：AC=B当t＝2秒时，CD＝2×2＝4，所以AD＝AC﹣CD＝25﹣4＝21；（2）△CBD能为直角三角形，理由是：分为两种情况：①∠BDC＝90°时，∵S△ABC=1∴BD=AB×BC由勾股定理得：CD=B所以t=9②当∠CBD＝90°时，此时点D和A重合，t=25∴t的值是4.5或12.5【考点5勾股定理的应用（平方关系）】【例5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别为BC、AC上的点．那么AD2+BE2与DE2+AB2的大小有什么关系？请说明理由．【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【解答】解：AD2+BE2＝DE2+AB2．理由：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2①，DE2＝CE2+CD2②，AD2＝AC2+CD2③，BE2＝CE2+BC2④，∴①+②得，AB2+DE2＝AC2+BC2+CE2+CD2，③+④得，AD2+BE2＝AC2+CD2+CE2+BC2，∴AD2+BE2＝DE2+AB2．【变式5-1】如图，△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC和AB上，试说明BD2﹣DE2＝BC2﹣CE2．【分析】在直角三角形ABD与直角三角形ACE中，利用勾股定理列出关系式，表示出BD2+CE2，在直角三角形ABC与直角三角形AED中，利用勾股定理列出关系式，表示出BC2+ED2，整理即可得证．【解答】证明：在Rt△ABD和Rt△ACE中，根据勾股定理得：BD2＝AB2+AD2，CE2＝AE2+AC2，∴BD2+CE2＝AB2+AD2+AE2+AC2，在Rt△ABC和Rt△AED中，根据勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，ED2＝AD2+AE2，∴BC2+ED2＝AB2+AC2+AD2+AE2，∴BD2+CE2＝BC2+ED2，则BD2﹣DE2＝BC2﹣CE2．【变式5-2】如图，四边形ABCD中，BD⊥AC．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2．【分析】由BD⊥AC，利用勾股定理即可求得：在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2＝CE2+DE2，继而证得结论．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠DEC＝90°，∴在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2＝CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．【变式5-3】已知AM是△ABC的中线．（1）求证：AB2+AC2＝2（AM2+BM2）；（2）若AD是高，求证：AB2﹣AC2＝2BC•MD．【分析】（1）利用勾股定理得出AB2+AC2＝2AM2﹣2DM2+BD2+CD2，进而由BD2＝MC2+2MC•DM+DM2，CD2＝MC2﹣2MC•DM+DM2，求出即可；（2）由勾股定理可得出AB2＝BD2+AD2，AC2＝AD2+DC2，则AB2﹣AC2＝BD2﹣DC2，由平方差公式可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2①，在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2②，由①+②得：AB2+AC2＝2AD2+BD2+CD2，在Rt△ADM中，AD2＝AM2﹣DM2，则AB2+AC2＝2AM2﹣2DM2+BD2+CD2，∵AM是△ABC的BC边上的中线，∴BM＝MC，∴BD2＝（BM+DM）2＝（MC+DM）2＝MC2+2MC•DM+DM2，CD2＝（MC﹣DM）2＝MC2﹣2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2＝2AM2﹣2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2﹣2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2＝2AM2+2BM2＝2（AM2+BM2）．（2）∵AD是高，∴△ABD和△ACD是直角三角形，∴AB2＝BD2+AD2，AC2＝AD2+DC2，∴AB2﹣AC2＝BD2﹣DC2＝（BD+CD）（BD﹣CD）＝BC（BM+MD﹣CD），∵AM是中线，∴AB2﹣AC2＝BC（CM+MD﹣CD）＝BC（MD+MD）＝2BC•MD．【考点6勾股定理的应用（勾股树）】【例6】（2021春•合肥期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，则S2＝（）A．171 B．79 C．100 D．81【分析】利用勾股定理的几何意义解答．【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S2＝125﹣46＝79，故选：B．【变式6-1】（2021春•城厢区期末）如图，已知S1，S2和S3分别是Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S1，S2和S3满足的关系式为（）A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＞S2+S3 D．S1＝S2•S3【分析】运用半圆面积求法得出S1=12π（AB2）2，S2=12π（BC2）2，S3=12π（AC2）2，由【解答】解：∵S1，S2和S3分别是以Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为斜边向外作的半圆面积，∴S1=12π（AB2）2，S2=12π（BC2）2，S3=∵AC2+BC2＝AB2，∴S1＝S2+S3．故选：B．【变式6-2】（2020秋•郑州期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．则下列关于面积的等式：①SA＝SB+SC；②SA＝SF+SG+SB；③SB+SC＝SD+SE+SF+SG，其中成立的有（写出序号即可）．【分析】由勾股定理和正方形的性质得SA＝SB+SC，SB＝SD+SE，SC＝SF+SG，即可得出结论．【解答】解：由勾股定理和正方形的性质可知：SA＝SB+SC，SB＝SD+SE，SC＝SF+SG，∴SA＝SB+SC＝SF+SG+SB，SB+SC＝SD+SE+SF+SG，故答案为：①②③．【变式6-3】（2021春•南昌期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD有以下结论：①AB2+CD2＝BC2+AD2；②S四边形ABCD＝AD•BC；③S△OAB•S△OCD＝S△OBC•S△ODA；（1）以上结论中，正确的有（只要填序号即可）；（2）证明（1）中一个正确的结论．【分析】（1）根据勾股定理和面积公式解答即可；（2）根据勾股定理得出AB2+CD2＝BC2+AD2，再根据面积公式解答即可．【解答】解：（1）①③，故答案为：①③；（2）①∵AC⊥BD，∴AB2＝AO2+BO2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝BO2+CO2，AD2＝OA2+OD2，∴AB2+CD2＝BC2+AD2，②S四边形ABCD=12AC•BD，故③S△OAB【考点7勾股定理的应用（最短路径）】【例7】（2021春•封开县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18 B．15 C．12 D．8【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【解答】解：将台阶展开，如图，因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2+BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故选：B．【变式7-1】（2021春•天河区校级期中）如图，圆柱的高为4cm，底面半径为3πcm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（）cmA．5 B．5π C．3+4π 【分析】求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆柱体展开，在得到的矩形上连接两点，求出距离即可．【解答】解：把圆柱体沿着AC直线剪开，得到矩形如下：则AB的长度为所求的最短距离，根据题意圆柱的高为4cm，底面半径为3πcm则可以知道AC＝4cm，BC=1∵底面周长为2πr＝2×π×3π=∴BC＝3cm，∴根据勾股定理得出AB2＝AC2+BC2，即AB2＝42+32，∴AB＝5（cm）．答：蚂蚁至少要爬行5cm路程才能食到食物，故选：A．【变式7-2】（2021春•九龙坡区校级月考）如图，圆柱形容器中，高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（）米．A．1.3米 B．1.4米 C．1.5米 D．1.2米【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，∴A′D＝0.5m，BD＝1.2m，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B==0．＝1.3（m）．故选：A．【变式7-3】（2020秋•龙泉驿区期中）如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）．（1）请问彩带的长度是多少？（2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程的平方是多少呢？（注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答）【分析】（1）如果从点A开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是12和5，再根据勾股定理求出斜边长即可；（2）求四棱柱中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将四棱柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：（1）如图，将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的四等分点C、D、E，取AB的四等分点C′、D′、E′，连接B′E′，D′E，C′D，AC，则AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC为所求的最短彩带长，∵AC2＝AA′2+A′C2，AC=1∴AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC＝52，答：彩带的长度是52cm；（2）如图，将四棱柱展开，找到C的对称点C′，连接AC′，则AC′即为蚂蚁走的最段路程，在直角△AMC′中，AM＝6cm，MC′＝20+（20﹣18）＝22cm，由勾股定理得：AC′2＝AM2+MC′2＝62+222＝520，答：蚂蚁走的最短路程是520cm．【考点8勾股定理在生活中的应用】【例8】（2021春•历下区期末）济南的泉城广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．历下区某校七年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．（1）求风筝的高度CE．（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度．【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得：CD=C所以CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米），答：风筝的高度CE为21.7米．（2）由等积法知：12BD×DC=12BC解得：DH=15×20在Rt△BHD中，BH=B答：BH的长度为9米．【变式8-1】（2021春•荔湾区校级月考）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则：（1）E站应建在距A站多少千米处？（2）DE和EC垂直吗？说明理由．【分析】（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE＝CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE＝BC＝10km；（2）DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC＝90°，进而可以证明．【解答】解：（1）∵使得C，D两村