上海金山中学2023年数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析

上海金山中学2023年数学高一上期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为（）A. B.C. D.2．已知是第三象限角，且，则（）A. B.C. D.3．若集合，，则（）A. B. C. D.4．某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为A.， B.，C， D.，5．已知函数，则的值为A. B.C. D.6．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为A. B.C. D.7．已知圆锥的底面半径为，当圆锥的体积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.8．已知，，则A. B.C. D.，9．函数的最小值是（）A. B.0C.2 D.610．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝（）A.{x|－2＜x＜－1} B.{x|－2＜x＜3}C.{x|－1＜x＜1} D.{x|1＜x＜3}二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．设角的顶点与坐标原点重合，始变与轴的非负半轴重合，若角的终边上一点的坐标为，则的值为__________12．命题“”的否定是________________.13．已知函数为奇函数，则______14．已知扇形弧长为20cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________.15．写出一个同时具有下列性质①②③的函数_________①在R上单调递增；②；③三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知，且向量在向量的方向上的投影为，求：（1）与的夹角;（2）.17．某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为am的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点A，B分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形；方案乙：如图2，围成区域为矩形；方案丙：如图3，围成区域为梯形，且.（1）在方案乙、丙中，设，分别用x表示围成区域的面积，;（2）为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由.18．已知函数()（1）求在区间上的最小值；（2）设函数，用定义证明：在上是减函数19．已知函数（1）求的最小正周期及最大值；（2）求在区间上的值域20．已知函数，且点在函数图象上.（1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.21．总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到年中国的汽车总销量将达到万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台元，到第年年末每台设备的累计维修保养费用为元，每台充电桩每年可给公司收益元.（）（1）每台充电桩第几年年末开始获利；（2）每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大.

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、C【解析】根据直观图的面积与原图面积的关系为，计算得到答案.【详解】直观图的面积，设原图面积，则由，得.故选：C.【点睛】本题考查了平面图形的直观图的面积与原面积的关系，三角形的面积公式，属于基础题.2、A【解析】由是第三象限角可判断，利用平方关系即可求解.【详解】解：因为是第三象限角，且，所以，故选：A.3、C【解析】根据交集直接计算即可.【详解】因为，，所以，故选：C4、D【解析】均值为;方差为,故选D.考点：数据样本的均值与方差.5、C【解析】由，故选C6、C【解析】设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率考点：几何概型7、A【解析】首先理解圆锥体中母线与底面所成角的正弦值为它的高与母线的比值，结合圆锥的体积公式及已知条件即可求出正弦值.【详解】如图，根据圆锥的性质得底面圆，所以即为母线与底面所成角，设圆锥的高为，则由题意，有，所以，所以母线的长为，则圆锥的母线与底面所成角的正弦值为.故选：A【点睛】本题考查了圆锥的体积，线面角的概念，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据圆锥的性质得即为母线与底面所成角，再根据几何关系求解.8、D【解析】∵，，∴，，∴．故选9、B【解析】时，，故选B.10、A【解析】直接根据交集的定义即可得解.【详解】解：因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，所以.故选：A.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】12、.【解析】根据含有一个量词的命题的否定可得结果【详解】由含有一个量词的命题的否定可得，命题“”的否定为“”故答案为【点睛】对于含有量词的命题的否定要注意两点：一是要改换量词，把特称（全称）量词改为全称（特称）量词；二是把命题进行否定．本题考查特称命题的否定，属于简单题13、##【解析】利用奇函数的性质进行求解即可.【详解】因为是奇函数，所以有，故答案：14、【解析】求出扇形的半径后，利用扇形的面积公式可求得结果.【详解】由已知得弧长，，所以该扇形半径，所以该扇形的面积.故答案为：15、（答案不唯一，形如均可）【解析】由指数函数的性质以及运算得出.【详解】对函数，因在R上单调递增，所以在R上单调递增；，.故答案为：（答案不唯一，形如均可）三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）；（2）【解析】（1）由题知，进而得出，即可求得.（2）根据数量积的定义即可得出答案.【详解】解：（1）由题意，，所以.又因为，所以.（2）.【点睛】本题考查了向量的夹角、向量的数量积，考查学生对公式的熟练程度，属于基础题.17、（1），；，.（2）农户应该选择方案三，理由见解析.【解析】（1）根据矩形面积与梯形的面积公式表示即可得答案；（2）先根据基本不等式研究方案甲得面积的最大值为，再根据二次函数的性质结合（1）研究，的最大值即可得答案.【小问1详解】解：对于方案乙，当时，，所以矩形的面积，；对于方案丙，当时，，由于所以，所以梯形面积为，.【小问2详解】解：对于方案甲，设，则，所以三角形的面积为，当且仅当时等号成立，故方案甲的鸡圈面积最大值为.对于方案乙，由（1）得，，当且仅当时取得最大值.故方案乙的鸡圈面积最大值为；对于方案丙，，.当且仅当时取得最大值.故方案丙的鸡圈面积最大值为；由于所以农户应该选择方案丙，此时鸡圈面积最大.18、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知得函数的对称轴，开口向上，分别讨论，，三种情况求得最小值；（2）利用函数单调性的定义可得证【详解】（1）因为的对称轴，开口向上，当，即时，；当，即时，；当，即时，，所以；（2），设，则，，所以，所以，所以在上是减函数【点睛】方法点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：1、在区间D上，任取，令；2、作差；3、对的结果进行变形处理；4、确定符号的正负；5、得出结论19、（1），；（2）.【解析】（1）利用周期公式及正弦函数的性质即得；（2）由，求出的范围，再利用正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】∵函数，∴最小正周期，∵，，∴当时，.【小问2详解】当时，，∴当时，即时，，当时，即时，，∴在区间上的值域为.20、（1），图象见解析（2）【解析】（1）先根据点在函数的图象上求出，再分段画出函数的图象；（2）将问题转化为直线与函数的图象有两个公共点，在同一坐标系中作出图象，利用图象进行求解.【小问1详解】解：因为点在函数的图象上，所以，解得，即，其图象如图所示：【小问2详解】解：将化为，因为方程有两个不相等的实数根，所以直线与函数的图象有两个公共点，在同一坐标系中作出直线与函数的图象（如图所示），由图象，得，即，即的取值范围是.21、（1）第年；（2）第年.【解析】