华师一附中2024届高三数学独立作业（1）试卷含答案

华师一附中2024届高三数学独立作业（1）一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成两排拍合照，每排3人，要求甲不站在前排，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（

）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种3．设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（

）A． B． C． D．4．已知，则（

）A．1024 B．1023 C．1025 D．5125．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．6．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（

）参考数据：，，．A．455 B．2718 C．6346 D．95457．已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（

）A． B． C． D．8．已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知复数z的共轭复数为，则下列说法正确的是（

）A．B．一定是实数C．若复数，满足．则D．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，E为AB的中点，则（

）A．BC1∥平面A1ECB．二面角A1－EC－A的正弦值为C．点A到平面A1BC1的距离为D．若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为11．如图，已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接，，与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（

）A．B．C．过的双曲线的弦的长度的最小值为8D．点B到两条渐近线的距离的积为12．如图，曲线：的焦点为，直线与曲线相切于点异于点，且与轴，轴分别相交于点，，过点且与垂直的直线交轴于点，过点作准线及轴的垂线，垂足分别是，，则下列说法正确的是（

）

A．当的坐标为时，切线的方程为B．无论点异于点在什么位置，都平分C．无论点异于点在什么位置，都满足D．无论点异于点在什么位置，都有成立三、填空题13．人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有15%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是．（用分数表示）14．计算：．15．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则的最大值为．16．如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分別交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为．四、解答题17．已知数列（）满足，，且.(1)求数列是通项公式；(2)求数列的前n项和.18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（1）求角A的大小；（2）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．19．统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.20．如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．

(1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．21．已知函数的图象在点处的切线与轴垂直．(1)求实数的值．(2)讨论在区间上的零点个数．22．已知为坐标原点，，是椭圆的两个焦点，斜率为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，直线过原点且与交于，两点，椭圆过的切线为，的中点为.(1)求椭圆的方程.(2)过作直线的平行线与椭圆交于，两点，在直线上取一点使，求证：四边形是平行四边形.(3)判断四边形的面积是否为定值，若是定值请求出面积，若不是，请说明理由.参考答案：1．B【分析】根据题意，化简集合，然后由交集的运算即可得到结果.【详解】由题意可得，集合，即集合中的元素是的倍数，集合，即集合中的元素是的倍数余，故既是的倍数，又是的倍数余，所以故选:B2．D【分析】根据给定条件，利用两个计数原理结合位置关系及相邻问题列式计算作答.【详解】求不同排除方法数有两类办法：乙丙站前排，有种方法，甲站后排有种方法，排余下3人有，乙丙的排列有种，不同排法数为种，乙丙站后排，有种方法，甲站后排有1种方法，排余下3人有，乙丙的排列有种，不同排法数为种，所以不同的排队方法有：（种）.故选：D3．A【分析】根据投影向量公式以及向量夹角的余弦公式求得结果.【详解】∵在上的投影向量为，，，又是两个单位向量，即，.故选：.4．B【分析】利用赋值法得到，，结合二项式展开式的系数正负得到的值，进而求出答案.【详解】中，令得，的通项公式，故，中，令，得，所以，又，所以.故选：B．5．C【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.【详解】由，得，所以为偶函数，故排除BD.当时，，排除A.故选：C.6．B【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数.【详解】由题意可知，，则数学成绩位于[80，88]的人数约为.故选：B7．A【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，，因为成等比数列，所以，即，因为，所以，所以.故选：A8．C【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式.【详解】，则，因为在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递减，所以，，故A不正确；所以，即，即，故B不正确；，即，即，故C正确；，即，即，故D不正确；故选：C.9．BD【分析】根据复数与共轭复数的概念、复数的运算逐项判断即可.【详解】当复数时，，，故A错；设（a，），则，所以，故B对；设（，），（，），由可得，所以，而，不一定为0，故C错；设（a，），则为纯虚数．所以，则，故D对．故选：BD．10．ACD【分析】A选项，连接，使相交于F，连接EF，通过证明即可判断选项正误；B选项，通过证明平面，可得二面角A1－EC－A的平面角为；C选项，利用等体积法结合可得答案；D选项，利用正弦定理，可得外接圆半径，后可得球的半径.【详解】A选项，连接，使相交于F，连接EF，因F，E分别为中点，则，因平面，平面，则BC1平面A1EC，故A正确；B选项，由题可得平面ABC，又平面ABC，则.又，，平面，平面，则平面.又平面，则，结合，可知二面角A1－EC－A的平面角为，则，故B错误；C选项，设点A到平面A1BC1的距离为d，取AC中点为G，连接BG.则，又，，，由余弦定理可得，则，得.则，故C正确.D选项，设外接圆半径为，由正弦定理，.又设三棱锥外接球半径为，则三棱锥外接球与以外接圆为底面的圆柱外接球相同，则.故D正确故选：ACD11．AD【分析】由，若结合已知可得，设且，应用点在双曲线上、两点距离公式求坐标，写出直线求出坐标，进而判断各项的正误即可.【详解】由题设，若，则，，即，可得，若且，则，可得，故，所以，直线为，即，而渐近线为，所以，，则，又，可得（舍）或，故，所以，即，A正确；而，B错误；令，则，可得，故过垂直于x轴所得弦长为8，而过和两顶点的直线，所得弦长为2，所以过的双曲线的最短弦为2，C错误；由到的距离为，到的距离为，所以B到两条渐近线的距离的积为，D正确.故选：AD12．BCD【分析】由题意，求导即可判断A，证明四边形为菱形即可判断B，由即可判断C，证明四边形为平行四边形，再结合基本不等式即可判断D.【详解】因为曲线：，即，所以，设点，则，所以切线的方程为，当时，切线方程为，故A错误：由题意，所以，因为，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形，可得平分角，故B正确：因为，，所以，，所以，故C正确：直线方程：，可得，所以，又，所以且，所以四边形为平行四边形，故．，因为与不垂直，所以，所以，即成立，故D正确；故选：BCD．13．【分析】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，由题有，即可得答案.【详解】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，则，不吸烟者中患肺癌的概率为.又由全概率公式有，则，解得．故答案为：14．【分析】把转化为，利用差角的正弦公式化简即得解.【详解】原式故答案为：15．8【分析】由长方体模型得出，再由基本不等式得出最值.【详解】设，因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以由长方体模型可知，，即.，当且仅当时，取等号.即的最大值为.故答案为：16．【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线AB过定点，再利用直线与圆的位置关系计算弦长确定最值即可.【详解】设，，设：，又，∴，∴，∴．∴，∴，∴直线AB恒过点，由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的距离最大时，即当直线时，弦长最短，此时弦最小为．故答案为：17．(1)(2)【分析】（1）将换为代入中化简，根据定义即可判断为等比数列，由首项公比写出通项公式即可；（2）由（1）中的通项公式求得，再利用乘公比错位相减得出前n项和即可.【详解】（1）解：因为，所以，又，所以，所以，又，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以；（2）由（1）知，，所以，所以，，两式相减可得：，所以，故.18．（1）（2）L∈（6，9]【分析】（1）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（2）利用余弦定理再结合基本不等式，求得3＜b+c≤6，即可得到周长L的范围．【详解】（1）由题意，，．所以，由正弦定理，可得，因为，所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，又由，则，整理得，又因为，所以．（2）由（1）和余弦定理，即，即，整理得，又由（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，可得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9].【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和的应用，以及基本不等式求最值的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.19．(1)分布列见解析，(2)（i）200；（ii）199或200【分析】（1）根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望，（2）根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.【详解】（1）,故分布列为：012.（2）（i）设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200.（ii）设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中,当时，当时，当时所以池塘乙中的鱼数为199或200.20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，由三角形中位线和边长关系可知四边形是平行四边形，即可证明平面；（2）根据题意可知，以为原点建立空间直角坐标系，可设利用空间向量即可表示出，进而确定点位置，再分别求得两平面的法向量即可得出二面角的正弦值为.【详解】（1）证明：连接，如下图（1）中所示：因为四边形为平行四边形，所以是中点，又点为线段的中点，则，且,又且，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；

（2）以为原点，为轴，过且在平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示：由平面⊥平面，，可知，均为边长为2的正三角形，则有，设，则，为平面的法向量，所以，解得（其中舍去）,所以，设平面的法向量为，则有，令，则，故可取．设平面的法向量为，则有，令，则，故可取所以．所以二面角的正弦值为．即二面角的正弦值为.21．(1)(2)在区间上的零点个数为2【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，解得即可；（2）由（1）知，求出函数的导函数，令，利用导数说明的单调性，即可得到在上的零点情况，当时，将变形得，令，利用导数说明的单调性，即可判断其零点个数，从而得解.【详解】（1）因为，则，由题意得，函数的图象在点处的切线斜率为，即，解得．（2）由（1）知，，，令，则．当时，，，此时，单调递增，，故函数单调递减，所以，故函数在上无零点．当时，将变形得，设，则，设，则，易知当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，，，故存在，使，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，故，又，故函数在上没有零点，在上有1个零点．综上所述，在区间上的