46利用相似三角形测高九年级数学上册同步备课系列（北师大版）

北师大版九年级上册数学第四章图形的相似4.6利用相似三角形测高怎样测量这些非常高大物体的高度？情景引入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？一、运用相似三角形解决高度(长度)测量问题例1：如下图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.解：∵BF∥ED，∴∠BAO=∠EDF，又∵∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF，∴=，∴=，∴BO=134.因此金字塔高134m.物1高：物2高=影1长：影2长测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.例2：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.AECDFBNAECDFBN解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,∴AB∥EF∥CD,∴∠EMA=∠CNA.∵∠EAM=∠CAN,∴△AEM∽△ACN,∴ .∵AB=1.6m,EF=2m,BD=27m,FD=24m,∴ ,∴CN=3.6（m），∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.故树的高度为5.2m.M测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决.例3：为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；③观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,∴△DCE∽△BAE.∴ ,得BA=18.75m.因此，树高约为18.75m.DBACE21测高方法三：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.例4：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ.45m90m60m解：∵QR∥ST∴△PQR∽△PSTPQ=90m.（1）根据题意画出___________;（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的_____________________;（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出__________;（4）写出___________.示意图已知线段、已知角未知量答案利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：归纳总结1.如图,小李打网球时,球恰好打过网,且落在离网4m的位置上,则球拍击球的高度h为()A.0.6m B.1.2m C.1.3m D.1.4mD课堂练习2.一个钢筋三角形框架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角形框架,而只有长是30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则不同的截法有()A.1种 B.2种 C.3种 D.4种B3.如图,小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度,当镜子与铁塔的距离EB=20m,镜子与小华的距离ED=2m时,小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A.已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.5m,则铁塔AB的高度是.

15m4.如图,矩形ABCD为台球桌面,AD=260cm,AB=130cm,球目前在点E位置,AE=60cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去,经过反弹后,球刚好弹到点D位置.(1)求证:△BEF∽△CDF;(2)求CF的长.5.如图,小明想测量电线杆AB的高度,他发现电线杆AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上,已知CD和地面成30°角,CD=4m,BC=10m,且此时测得1m高的标杆在地面上的影长为2m,求电线杆AB的高.通过本课时的学