11第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质

BS八(下)教学课件第一章三角形的证明1.1等腰三角形第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质学习目标1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点)2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点)观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？新课引入思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？新课引入一个三角形满足什么条件就是等边三角形?

由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.你能证明这些定理吗？新课讲解等边三角形的判定1ABC已知：如图，∠A=∠B=∠C.求证：

AB=AC=BC.∵∠A=∠B,∴AC=BC.∵∠B=∠C,∴AB=AC.∴AB=AC=BC.证明：三个角都相等的三角形是等边三角形.定理1：新课讲解定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.ABC已知：若AB=AC,∠A=60°.求证：AB=AC=BC.证明：∵AB=AC,∠A=60°.∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？新课讲解证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，∴∠A=60°(三角形内角和定理)．∴∠A=∠B=∠C=60°．∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．求证:△ABC是等边三角形．第二种情况：有一个底角是60°.ACB60°【验证】新课讲解等腰三角形(含等边三角形)性质判定的条件等边对等角等角对等边“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合有一角是60°的等腰三角形是等边三角形等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形归纳总结如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC.求证：△ADE是等边三角形.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？新课讲解例1上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE

如图,在等边三角形ABC中，AD=AE,

求证：△ADE是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵AD=AE,∴△ADE是等腰三角形

∴△ADE是等边三角形.

又∵∠A=60°.新课讲解练一练操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？30°30°你能说出所拼成的三角形的形状吗？猜想：在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？30°30°30°30°30°结论:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.新课讲解含30°角的直角三角形的性质2已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.求证:BC=AB.A30°BC分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题转化“线段相等”问题30°30°新课讲解证一证

∵∠ACB=90°,(已知)∴∠ACD=90°，(平角意义)在△ABC与△ADC中，

BC=DC，（作图）∠ACB=∠ACD，（已证）

AC=AC，（公共边）∴△ABC≌△ADC（SAS），∴AD=AB；∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知)∴∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)∴BC=BD=AB．(等式性质)30°ABCD证明:

延长BC至D,使CD=BC,连接AD，新课讲解定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．几何语言：在△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°．∴BC=AB．(在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)ABC30°推论：归纳总结CBAD

如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高，求CD的长.解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知)∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，∵∠ADC=90°，∴CD=AC=a．（在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）新课讲解例2

已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°∠A=30°，

CD⊥AB于D．求证:BD=DACB30°证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°∴BC=∠B=60°．∴∠BCD=30°，

∴BD=∴BD=新课讲解例31.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则

△ABC的周长为______cm.92.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．则AC=_____;BC=_______．ABC330°6随堂即练3.已知：如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE.求证：△ABC是等边三角形.证明:∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，随堂即练证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=

BD．又∵BC=

AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等边三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．4．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=AB．求证：∠BAC=30°．CBAD随堂即练1.等边三角形的判定: