平面向量（教师版）-2022届高三数学二轮复习资料

2022届高三-二轮复习资料（通用版）--平面向量（教师版）

一.平面向量基础知识复习过眼:

1.平面向量

向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。

6向量长度为0,方向任意的向量。【6与任一非零向量共线】

平行向量方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

向量的模|£|=次+/1=|«|2=A-2+y2

重

两点间的距若人（百，乂），3（々，必），则1岫=｛（占-/+（内-）j

要

离

概

念起点放在一点的两向量所成的角，范围是［0,4］。£4的夹角记为＜£石＞。

向量夹角3,扬锐角oa）＞0,a石不同向;〈0,吩为直角="4=0；〈a,吩钝角o”.方＜0,a石不

反向.向量的夹角带有方向性：向量是有方向的，向量间的夹角表示两个向量正方

向的夹角

投影＜Z,B＞=e,Mgs，叫做B在Z方向上的投影。【注意：投影是数量】

&不共线,存在唯一的实数对（4〃），使£=花|+〃&。若3,工2为X,），轴上

基本定理

平重的单位正交向量，（4〃）就是向量3的坐标。

面要

向法一般表示坐标表示

量则

定共线条件a/ib共线o存在唯一实数4,a=Ab=芭%-），声=0

理

垂直条件a-L6=a4)=0。+工2%=°。

设布=£,配从，那么向量正叫做。与坂的和，即

a+b=AB+BC=AC向量加法的三角形法则可推广至

法则〃+]=(%+%2，丁1+%)。

加法多个向量相加：AB+BC+CD+-+PQ+QjR=AR,

但这时必须“首尾相连二

运算

交换律=结合律

算律

各(a+B)+c=a+(B+0)

种

运用“三角形法则”：设而=£,配=瓦那4

算

减法

^AB-AC=CA,由减向量的终点指向被减向量的终

法则。一石=（%|一工2，乂一必）

点。

运算

注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

数乘概念为向量，4〉0与£方向相同，Aa=(2x,Ay)

运算/1<0与£方向相反，卜,=囚@。

分配律=(Aju)a,(2+ju)a=Aa+4a,与数乘运算有同样的坐标

算律

表7K。

分配律4(〃+b)=Aa+Ab

概念

=cos<a,h>a^=x]x2+y[y2。

数量

主要

积运a*。=pz|>|a,b|<|a||b|\a\=ylx2+y2,a2=\a\1=x2+y2

性质

算

算律

=tfa,分配律(〃++/?•<?,(4Q)・/?=a^(Ab)=o

向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、

算律两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向

量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)a(b»c^(a»b)c

向几何表示法用带箭头的有向线段表示，如通，注意起点在前，终点在后；

量

符号表示法用一个小写的英文字母来表示，如a,b,公等；

的

在平面内建立直角坐标系，以与X轴、)，轴方向相同的两个单位向量，，7为基

表

示底，则平面内的任一向量〃可表示为£=x：+yj=(x,y),称(x,y)为向量”的坐标，a

坐标表示法

方=(x,y)叫做向量)的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量

法的终点坐标相同。

三角形的五个“心”

重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线

相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交

一点.

二.平面向量高考真题细究：

1.(2021浙江高考)已知非零向量则是aa=b"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】

“*C=0,所以成

如图所示，诙=昆丽=瓦反="丽=6-5,当A3LOC时，在5与3垂直,

立,此时六5,

不是1=5的充分条件，

/rr、rrr一_

\a=bH'f,a—b—0>••（Q_〃）・c=O・c=O,「.成立，

■'o・c・8・c是万=B的必要条件，

综上，"a.c'》w是a^>b的必要不充分条件

故选：B.

2.（2021全国新高考1卷）已知。为坐标原点，点R（cosa,sina）,（cos/?,-sin,6(cos(a+/?),sin(a+/)),

A（l,0）,则（）

A.同=|西|B.|丽卜画

C.OAOP}=O^O^D.OAOP^OB,O^

【答案】AC

【解析】

【分析】

A、B写出西,西、APX,A舄的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数

枇积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】

2222

A:西=(cosa,Sina),OP2=(cos力，-sin/7),所以|西|=Vcosa+sina=1,|OR,|=7(cos/?)+(-sin^)=1,故

I西H•I,正确；

B:AF^=(cosa-1,sina),AR,=(cos/7-l,-siny?),所以

|A,|=J(cosa-l)。+sin。a=5/cos2«-2cos<z+l+sin2a=12(1-cosa)=^4sin2y=2|siny|,同理

|AR,|=V(cos/7-l)2+sin2/(=2|sin^|,故|斯|,|福|不一定相等，错误；

C:由题意得：OA-OF^=lxcos(6z+y0)+Oxsin(cr+yff)=cos(of4-/7),OROg=cosacos尸+sina.(—sin/7)=cos(a+y?),

正确；

D:由题意得：=lxcosa+Oxsina=cosa,OP2=cosJ3xcos(a+/?)+(-sinp)xsin(a+p)

=cos(p+(a+p))=cos(a+20),故一般来说次.函/吗.函故错误;

故选：AC

3.(2021北京高考)已知向量万,5忑在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则

(a+b)-c=________；a-b=________•

r।।i।i

iiiiii

iiiiii

i________i______i_____2_____1A___f_____i1

_；：]c；

卜----T------------------4---------♦------------1

11

1

r---------1~i—---------r----------1

iC_z।।।

IiIIII

_____i_____________L______i

【答案】03

【解析】

【分析】

根据坐标求出a+5,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详解】

以乙6交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所不：

则a=(2,l),5=(2,T),/=(0,l),

...万+5=(4,0),.•.(万+5)-e=4x0+0xl=0,

.，.a%=2x2+lx(-l)=3.

故答案为：0;3.

4.(2021全国甲卷)已知向量a=(3,1),石=(l,0),c=a+Z:5.1c,贝必=

【答案】一?.

【解析】

【分析】

利用向量的坐标运算法则求得向量5的坐标，利用向量的数量:积为零求得k的值

【详解】

T〃=（3,1）,5=（1,0）,...乙=M+妨=（3+2,1）,

•.•d±c,.-.a-c=3（3+）t）+lxl=0,解得1

故答案为：

【点睛】

本题考查平面向吊:的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向3/=（X，X）国=（々,%）垂直的充分

必要条件是其数储积%々+丫跖=0.

5.（2021全国乙卷）已知向量£=。,3）3=（3,4）,若@-篇）_1_入则;1=.

3

【答案】-

【解析】

【分析】

根据平面向量数吊积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】

因为£一花=（1,3）—2（3,4）=（1-32,3—44）,所以由D-匈币可得，

3（l-3A）+4（3-4A）=0,解得;1咚

3

故答案为：j.

【点睛】

本题解题关键是熟记平面向组数帚积的坐标表示，设z=（芭,x）3=（々,上），

0±5<=>0-5=0<=>^%,+^^2=0,注意与平面向量'平行的坐标表示区分.

6.（2021全国新高考2卷）已知向量a+石+c=。，忖=1,W=k|=2,a-b+b-c+c-a=-

【答案】

【解析】

【分析】

由已知可得G+B+")=0,展开化简后可得结果.

【详解】

由已知可得Ra+b+cj=a+b+c2+2^a-b+b-c+c-a^=9+2^a-b+b-c+c-a^=0,

因此，ab+bc+ca=--

9

故答案为:2-

7.(2021浙江高考)已知平面向量£,反£,运工。)满足,卜1帆=2,44=0,(4-。6=0.记向量2在工坂方向上的投影

分别为X,y,1一£在之方向上的投影为z,则J+V+z?的最小值为.

2

【答案】j

【解析】

【分析】

设1=(1,0),5=(0,2)忑=(〃?.〃)，由平面向量的知识可得2x+y-Kz=2,再结合柯西不等式即可得解.

【详解】

由题意，设1=(1,0),5=(0,2),1=(,",〃)，

则()-石>"=机-2〃=0,即加=2”,

又向量2在£,加方向上的投影分别为X,y,所以2=(x,y),

一,一--,J...,,(d-a)cm(x-\)+ny2x-2+y

所以d—afl-c方向上的投z=——=/,,-=7=,

|c|ylnr+n2±j5

即2x+y+>/5z=2,

所以d+y2+z2=《22+l2+(+^y(x2+y2+z2)>-^(2x+y+V5z)2=|,

2

x=—

5

1_y_z

当且仅当《21即<y=-时，等号成立,

2X+>?+A/5Z=2

石

Z=TT

2

所以f+V+z2的最小值为:

2

故答案为：

三.平面向量典型例题：

类型一：向量的线性运算

例题L在△ABC中，D为BC的中点，EB=2AE,而=2而，EF与AD交于G,AG=AAD,则2=()

17

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知可得而=|荏+：而，根据瓦G,尸共线可设〃通+(>〃)而=而，〃eR,结合已知及平面向量的基本

定理列方程组求参数值.

【详解】

___1______3__,3__,_______

由题设，=—(AB+AC)=—AE+—AF,又〃AE+(1—=AG,//eRi.AG=AAD,

4

4=—/I4=

所以〃荏+(1—4)而=通+=2而，即2解得，9

24.32

3

故选：B.

uuu、

例题2.在AMC中，。为AC的中点，E为BC上靠近8点的三等分点,DE=()

2___7__.

A.-AB+-ACB.-AB--AC

3636

C.--AB+-ACD.--AB--AC

6666

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量加法的三角形法则，转化为荏和恁即可.

【详解】

DE=DC+CE=-AC+-CB=-AC+-(CA+AB]=-AB--AC.

2323、>36

故选：B

例题3.已知平面向量入B不共线，AB=4a+6b,BC^-a+3b,CD=+3b,则()

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

【答案】D

【解析】

【分析】

根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.

【详解】

平面向量入B不共线，AB=4a+6h,BC=-a+3h,CD=a+3b,

对于A,BD=BC+CD=-a+3b+(a+3b)=6b,与■血不共线，A不正确;

对于B,因而=42+6mBC=-a+3b,则通与及不共线，B不正确;

对于c,因阮=4+3几CD=a+3b,则能与而不共线，c不正确;

对于D,AC=AB+BC=4a+6h+(-a+3b)=3a+9b=3CD,BPAC//CD,

乂线段AC与C。有公共点C,则A,C,。三点共线，D正确.

故选：D

变式1.已知四边形A8C。的对角线交于点O,E为A。的中点，若通=2而+〃而，则()

A.—B.-C.一D.1

234

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量的线性运算结合平面向量基本定理可求几+〃的值.

【详解】

由已知得恁祈，AE=AAB+^iAD,

故荷=2义通+2〃而，又B,O,D共线,

故22+2〃=1,所以;l+〃=g.

故选：A.

变式2.已知0是AA3C内一点，满足而+］，，则山小5加=()

A.3:1B.1:3C.2:1D.1:2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量的加法和减法运算由条件衣=1（而+g而），可得出而=g（丽+/），然后即可得到。是的重

心，从而可得出答案.

【详解】

g国-碉，邯+码

所以。是AABC的重心,所以：S“》c=3：1.

故选：A.

变式3.如图，等腰梯形ABC£＞中，AB=BC=CD=3AD,点E为线段CD上靠近D的三等分点，点F为线段BC的

中点，则走=（）

7A

2—.1—.2—►1

A.——BA+—BCB.-5A+一-»BC

31831f

C.-BA+-BCD.-BA---BC

31831!i

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平面向111：的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.

【详解】

由题可得：FE=FC+CE

竹心+1而

=^BC+^(CB+BA+AD)

=辆+|卜心丽+国)

=2而+_L而.

318

故选：B.

___2____

变式4.如图，在AABM中，BM=3CM,AN=^AM,若而=2而+〃正，则%+幺=()

2

D.

7

【答案】D

【解析】

【分析】

由向量的线性运算把丽用丽，衣表示出来后可得结论.

【详解】

AN=-AM=-(AB+BM']=-AB+-BM

77、>77

2__73__2__3_______1__3__

=-AB+-x-BC=-AB+-(BA+AC)=——AB+-AC,

7727777

13132

所以丸=_于〃=亍,^+A=--+-=y,

故选：D

类型二：向量坐标表示

例题1.已知向量£=(3,-2),U(/n,l),若£〃(£一涕)，则加=()

1OQ

A.—B.—C.-D.—

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平面向吊:的坐标运算求出2-办=(3-2机-4),利用平行向脑的坐标表示计算即可.

【详解】

因为3=(3,-2),b=(m,l),

所以£-%=(3-2M,T),

因为£〃(£-2到，

所以3x(Y)+2(3-2m)=0,解得m=

故选：D

例题2.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线，则y=()

A.13B.—13

C.9D.-9

【答案】D

【解析】

【分析】

写出向目的坐标，根据向量共线的坐标表示列出方程，解得答案.

【详解】

由题意可得：AB=(-8,8),AC=(3,y+6),

因为A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,

则而〃亚,-8fy+6)-24=0,.-.y=-9,

故选：D.

例题3.已知a=(x,y),^=(x-l,9)(x>0,y>0),若贝!|x+y的最小值为()

A.6B.9C.16D.18

【答案】C

【解析】

【分析】

91

由题可得一+—=1,然后利用“乘1法”即得.

【详解】

a=(x,y),彼=(x-l⑼(x>0,y>0),a//b,

..9x-y(x-l)-0,

91

..9x+y=xy,即一+—=1,

>%

x+y=(x+^)f—+-=10+—+^->10+2/—­—=16,

xjyx\yx

9尤v

当且仅当一=2，即x=4,y=12时取等号，

所以x+y的最小值为为16.

故选：c.

变式1.已知向量£=(x,1),坂=(2,y),c=(l,-2),且£//6,blc,则囚一方卜()

A.3B.VioC.VilD.2石

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向储共线和向量垂直的坐标表示求出X,y,再求出正-万的坐标计算作答.

【详解】

|n]ii(a=(x,l),S=(2,y),c=(l,-2),由£//£得：一2x=l,即x=-g,

由得：2-2y=0,即y=l,于是得£=(一:1),力=(2,1),2«-^=(-3,1),

所以|2£_q=J(_3)2+『=布.

故选：B

变式2.已知向量£=(2,3)出=(3,-1),"=(-2,2),若@一向〃£,则4=()

A.3B.-3C.-D.--

22

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量平行列方程，由此求得h

【详解】

a-kb=(2-3k,3+k),故由(二癌)/不，得(2-3Z)x2=(3+A)x(-2)n%=|.

故选：C

变式3.已知向量1=(0,4),加=(2,6),c=(x,2),若伍+切〃"，则》=()

A.—B.—C.—D.1

234

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出a+2b的坐标，进而根据平面向量平行的坐标运算求得答案―

【详解】

T->A->T1

由题意，.+28=(4,16),因为[〃+2bJ//c,所以4x2-16x=0nx=].

故选：A.

类型三：向量数量积

例题1.设，we/?,向量£=(〃?,1)石=(4,加),2=(b2),则a//h是打工的()条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量共线与垂直的坐标表示，求得力的值，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】

由题意，向吊4=(m,1)出=(4,加)忑=(1,一2),

因为&〃3,可得〃/一4=0,所以加=±2;

又因为《，入可得利—2=0,所以机=2,

则Z/4是£，不的必要不充分条件.

故选：B.

例题2.已知向量入分夹角为60。，且|£|=1,|2a-^|=V19,则|B|=()

A.5B.372C.4D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

由两边平方，利用平面向量数小积的运算性质可得出关于恸的方程，即可解得可的值.

【详解】

,•响量入B夹角为60。,且|Z|=1,\2a-b\=^9,

••467-4a-b+b=19

即a-2*15=0,

解得|同=5或忖=-3（舍去）

故选：A.

例题3.已知向量5的夹角为120。，同=4,忖=1,则万在B方向上的投影为（）

A.-2B.4C.-1D.-且

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量的投影公式计算即可.

【详解】

解：因为向巾£在B方向上的投影为向3口,£）,

所以］在5方向上的投影为向cosG，S）=4xcosI2（r=-2.

故选：A

变式L已知，=。,加），石=（2-〃「1）,若行与5垂直，则实数m的取值为（）

A.0B.1C.-1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

由向量垂直的性质得出实数m的取值.

【详解】

因为&与1垂直,所以「（21）=0,所以4=1.

故选：B

变式2.若向量%b,满足同=2,（万+2杨y=6,则5在日方向上的投影为（）

A.1B.-1C.--D.g

22

【答案】D

【解析】

【分析】

利用数量积的运算律可得无5=1,再利用向量投影的概念即得.

【详解】

|a|=2,0+25）3=6,

.a2+2ab=6,可得。石=1,

5在a方向上的投影为爷j-=彳

2

故选：D.

变式3.已知向量2=（3,-2）,6=（八1）,若打入贝日-3彼=（）

A.（0,5）B.（5,1）

【答案】c

【解析】

【分析】

根据两向量垂直计算出参数m的值，再根据向量的计算规则求解即可得出结果.

【详解】

2

因为£_1_人所以3〃?一2=0,解得m=§,

所以£_3^=（3,-2）-3（|,1）=（1,-5）.

故选：C.

变式4.已知£、B是单位向量，且满足|£叫-2£石=0,则Z与坂的夹角为（）

A.-B.巴或nC.-D.4或兀

6633

【答案】C

【解析】

【分析】

由归-q-2£石=0,得两边平方化简可求得答案

【详解】

因为小分是单位向量，由|£-4-2£4=0,

可得2£石=归-4，则2出20,

所以4（夕®=a-2a-b+b=2-2a-b,

设£与加的夹角为。，得4cos2e+2cos。—2=0,

解得cos。；或COS。=一1,

•'a-b>0,cos6^>0,

八1

cos0=—,

2

X'.'0e[O,7t],-=y

故选：C.

类型四：解决向量问题坐标法

例题1.在RQABC中，BC=1,斜边AB=2,点P满足那=2那，则斤.⑸=()

A.--B.；C.--D.B

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

如图建立直角坐标系，则4(0,石),8(1,O),C(O,O),然后由罚=2说求出点P的坐标，从而可求出前•可的值

【详解】

如图建立直角坐标系，则4(0,石),8(l,0),C(0,0),

所以通=(1,-指)，

设尸(x,y),则定=(-x,-y),

因为AB=2PC,所以(1,—右)=2(-x,—y),解得x=-g,y=,

所以「卜臼

---------131

所以「0叫1广5

故选：A

例题2.已知△的(7是边长为1的等边三角形，点DE分别是边ABIC的中点，且丽=3赤，则赤•团的值为

()

A.B.—C.1D.—8

1212

【答案】B

【解析】

【分析】

把△ABC放在直角坐标系中，可以根据题干中的条件写出各个点的坐标，再利用瓦=39，求出点尸的坐标，再

求出标•册的值即可.

【详解】

把△A8C如下图放在直角坐标系中，

由于△ABC的边长为1,故B(0,0),C(l,0),4(；,当)，：点QE分别是边A&BC的中点，:.D，*。，设

F(x,y),DE=(L-^EF=(x_Ly),5£=3EF

442

荏=心,-坐)，相=(1,0),而•阮=4.

121212

故选：B.

例题3.已知直角梯形ABCD,A=90°,A8//C£>,A。=DC=；A8=1,P是BC边上的一点，则而•定的取值范围为

()

A.[-1,1]B.[0,2]C,[—2,2]D.[—2,0]

【答案】D

【解析】

【分析】

法一：设丽=4而(0这/W1),把而与前表示为通与而的线性关系，把衣.无表示成关于4的解析式，求

解制取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出Q•元的范围

【详解】

法一：因为P在8c上，不妨设旃=4而，

则定=(1一乃阮(其中0W/W1)

所以福•正=(而+而)・正

^ABPC+BPPC=([-A)ABBC+ABCPC

^(\-A)ABBC+ABC(\-A)BC

=(1-/1)X2X5/2XCOS135O+/1(1-2)X(>/2)2

=—2(1—A)+24(1—A)

=-222+4A-2=-2(2-l)2,

因为OW/lWl,所以—2U-l)2e[-2,0]

法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则A(O,O),B(2,0),

0(0,1),C(l,l),其中2ABC=45°,设点租)，

其中OWmWl,AP=(\+nu\-m),PC=[-m,ni)

AP-PC=-m(\+ni)+m(\-m)=-2m2

0</n<1

AP-PC-2m1G[-2,0]

故选：D.

变式1.已知正AMC的边长为2,A,B分别在x轴,y轴的正半轴（含原点）上滑动，则亚.丽的最大值是（）

A.73B.3C.2D.—

2

【答案】B

【解析】

【分析】

设440=。，根据正AABC的边长为2,A,B分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，得到点A点C的坐

标，再利用数量积坐标公式结合三角恒等变换和三角函数的性质求解.

【详解】

如图所示：

设

因为正AABC的边长为2,A,B分别在X轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动,

^l^^CAx=--0,ZCBy=-+0,

36

则OA=2cos夕05=2sin。，

所以A（2cos6,0）,C（2cose+2cos（券一6）,2sin0+2cos，

所以丽灰=2cos/2cos<9+2cos仔,

=2cos20+2^3sinOcos0,

=6sin28+cos2e+l,

=2sin（26+7）+l,

因为。€0,1,

所以26+\e71171

o1,'~6

当26+g=g,即e=g时，

62o

反•砺取得最大值是3,

故选：B

类型五：解决向量问题基底向量法

例题1.在矩形ABCD中AB=3,AD=丛,DC=4MC,而=2宓且而•丽=2,则宿.丽=（）

2319

A.—B.5C.—D.4

44

【答案】A

【解析】

【分析】

画出图形，根据向量的加法、减法及数量积运算求出答案即可.

【详解】

如图，因为AB_LAD,所以而•丽=丽•（而+丽）=而•而=4而°=34=2,

即/1=§.乂因为反=4雨，所以,府=人力+^。。，

故碗.丽=（标-；①）.（反-g配）=（南-g和=\x9-gx（可=y.

故选：A

例题2.已知A(3,0),B(0,2),点尸为圆(x-3y+(y-2)2=l上任意一点，设。A=%OX+〃。月(4〃eR),则92+84

的最大值为()

A.12B.17C.22D.27

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意可设P(3+cosO,2+sinO),再根据丽=2物+〃丽，求出4处再利用三角函数的性质即可得出答案.

【详解】

解：由点尸为圆(X-3)2+(y-2)2=1上任意一点,

可设P(3+cos6,2+sin6>),

则方=(3+cos6»,2+sin。),次=(3,0),丽=(0,2),

由丽=2砺+〃丽,得(3+cos6,2+sin6)=(342M,

3+cos0

3+cosO3入3

所以,则

2+sin8'

24-sinO2从

2

a

则94+8〃=9+3cos6+8+4sine=5sin(e+o)+17,其中tan°二j,

所以当sin(。+e)=1时，94+8〃取得最大值为22.

故选：C.

例题3.在AABC中，丽.祇=9,48=3,点E满足恁=2皮，贝U而.庞=()

A.-6B.-3C.3D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题中所给的条件利用相应公式求得结果.

【详解】

—2__

△ABC中，AE=2EC,所以=

够替福函.她"夙(|灰-丽=1痴心而

故选：B.

变式1.已知42,3),以原点O为圆心的单位圆/+丁=1上的两点B和C,满足AO=AAB+(\-A)AC，则福./=

()

A.24B.12C.13D.10

【答案】B

【解析】

【分析】

由条件而=2通+(1-2)/可得B,O,C三点共线，结合向量的线性运算可得而•衣=(而+而)(而+反)，

根据数量积的运算律化简求值.

【详解】

AO=AAB+(1-A)AC,

AO-AC=A(AB-AC),

CO=ACB,

B,O,C三点共线，又点B和C在以原点。为圆心的圆上，

。为B,C的中点，OC=-OB

ABAC=(Ad+OB)(Ad+OC)=(Ad+OB)(Ad-OB),

AB-AC=AO2-OB2,又无。=(-2,—3),|西=1,

ABAC=12,

故选：B.

变式2.如图所示,在等腰梯形MS中,皿/5C,E为线段的的中点，加4七g=2仞=4,WC=6°,

A.-12B.-10C.-8D.-6

【答案】B

【解析】

【分析】

求出AB=8=2,再由乔•屈=（m+*丽）（g丽-而）

利用数呈积的定义计算即可求解.

【详解】

在等腰梯形ABC。中，分别过点A,。作AM,ON垂」'［于BC［：点M,N,

则MV=AZ>=2,BM=CN=1,

因为N48c=60",所以/W=C£>=2,

__1__

因为E为线段的的中点，。尸=/C,

所以丽•瓦=（而而而—册）=g丽•瓦—比?+|丽•丽丽•而

]24

=—x2x4xcos60-42+—x2x2xcos60——x2x4xcosl20

255

=2-16+-+—=-10

55

故选：B.

变式3.已知△他C中，AB=3,AC=4,ABAC=6,。为"BC所在平面内一点，且丽+2而+3近=。，则荷.而

的值为（）

A.-4B.-IC.1D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

取而、沅为基底，把而，心都用而、正表示，再计算XO'BG

【详解】

因为次+2砺+3历=0,则。,+2（。