江苏省无锡市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-解答题

江苏省无锡市三年（2019-2021）中考数学真题知识点分类汇编-解答题

单项式乘单项式（共1小题）

1.（2019•无锡）计算：

（1）I-3|+（1）（V2019）°；

2

（2）2a*a-（a2）3.

二.分式的加减法（共2小题）

2.（2021•无锡）计算：

（1）|-A|-（-2）、sin30°；

2

（2）A-

a2a

3.（2020•无锡）计算:

（1）（-2）2+1-5-V16：

（2）三工上也.

a-bb-a

三.解一元二次方程-配方法（共1小题）

4.（2019•无锡）解方程：

（1）x-2x-5=0；

（2）

x-2x+1

四.解一元二次方程-公式法（共1小题）

5.（2020•无锡）解方程：

（1）x+x-1=0；

⑵卜2x40

（4x+l<5

五.分式方程的应用（共1小题）

6.（2021•无锡）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织

消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品.现有经费1275元用于购买奖

品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3.当用600元购买一等奖奖

品时，共可购买一、二等奖奖品25件.

（1）求一、二等奖奖品的单价；

（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？

六.解一元一次不等式组（共1小题）

7.（2021•无锡）（1）解方程：（肝1）<4=0；

第1页共40页

-2x+341

（2）解不等式组:

x-l^y+l

o

七.一次函数的应用（共1小题）

8.（2019•无锡）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公

路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（/））之间的函数关系式如图1中线段46

所示.在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x（板）与出

发时间t（A）之间的函数关系式如图2中折线段CD-DE-所所示.

（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？

（2）求点后的坐标，并解释点后的实际意义.

9.（2019•无锡）一次函数的图象与x轴的负半轴相交于点儿与y轴的正半轴相交于点6,且sin

NABO=®.△"!〃的外接圆的圆心”的横坐标为-3.

2

（1）求一次函数的解析式；

（2）求图中阴影部分的面积.

10.（2020•无锡）有一块矩形地块466〃/6=20米，仁30米.为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，

将矩形4由9分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米.现决定在等腰梯形川砌

和及%F中种植甲种花卉；在等腰梯形/叱和CW中种植乙种花卉；在矩形牙々/中种植丙种花卉.甲、

乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米I设三种花卉的种植总成本为y

兀.

第2页共40页

（1）当x=5时，求种植总成本y；

（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量才的取值范围；

（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本.

一十.二次函数综合题（共3小题）

11.（2021•无锡）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，直线y=-户3与x轴交于点氏与y轴交于点G

二次函数y=af+2A+c的图象过6、C两点，且与x轴交于另一点4点M为线段加上的一个动点，过

点材作直线/平行于y轴交筑于点F,交二次函数尸a『+2x+c的图象于点E.

（1）求二次函数的表达式；

（2）当以C、E、尸为顶点的三角形与△?1比相似时，求线段分,的长度；

（3）已知点/V是y轴上的点，若点从尸关于直线a'对称，求点N的坐标.

12.（2020•无锡）在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线的交二次函数尸工,的图象于点4AAOB

4

=90°,点6在该二次函数的图象上，设过点（0,m）（其中必＞0）且平行于x轴的直线交直线处于

点、M,交直线加于点M以线段。从QV为邻边作矩形犯

（1）若点/的横坐标为8.

①用含见的代数式表示."的坐标；

②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出初的值；若不能，请说明理由.

（2）当勿=2时，若点尸恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线力的函数

表达式.

第3页共40页

13.（2019•无锡）已知二次函数_/=2丁+灰-4（a>0）的图象与x轴交于48两点，3在6左侧，且力

VOB）,与y轴交于点C.

（1）求，点坐标，并判断6的正负性；

（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线4C相交于点〃已知〃C：CA=k2,直线加与y轴交于点反

连接比：

①若△腔■的面积为8,求二次函数的解析式；

②若△腼为锐角三角形，请直接写出力的取值范围.

一十一.全等三角形的判定与性质（共3小题）

14.（2021•无锡）已知：如图，AC,如相交于点0,AB=DC,ZABO=ZDCO.

求证：（1）△46侬△/a

（2）ZOBC=AOCB.

15.（2020•无锡）如图，已知力8〃切，AB=CD,BE=CF.

求证：（1）△ABF^XDCE；

（2）AF//DE.

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B

16.(2019•无锡)如图，在△/a'中，AB=AC,点、D、£分别在四、AC±.,BD=CE,BE、如相交于点〃

(1)求证：XDBC^AECB；

(2)求证：OB=OC.

一十二.四边形综合题(共2小题)

17.(2021•无锡)己知四边形18切是边长为1的正方形，点《是射线附上的动点，以为直角边在直

线比的上方作等腰直角三角形力仔；/AEF=90°,没BE=m.

备用图

(1)如图，若点£■在线段比1上运动，EF交CD于点、P,AF交CD于点Q,连接明

①当必=工时，求线段〃•的长；

3

②在△夕中，设边QE上的高为人请用含加的代数式表示力，并求力的最大值；

(2)设过8c的中点且垂直于回的直线被等腰直角三角形45F截得的线段长为八请直接写出y与卬的关

系式.

18.(2019•无锡)如图1,在矩形力颇中，BC=3,动点/从8出发，以每秒1个单位的速度，沿射线a'

方向移动，作△为6关于直线必的对称△为8',设点。的运动时间为t(s).

(1)若仍=2日.

①如图2,当点6'落在〃1上时，显然△必夕是直角三角形，求此时力的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得△〃彩'是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？

若不存在，请说明理由.

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（2）当一点不与。点重合时，若直线如'与直线切相交于点弘且当£<3时存在某一时刻有结论/为"

=45°成立，试探究：对于，>3的任意时刻，结论“/为,代45°”是否总是成立？请说明理由.

图1图2备用图

一十三.作图一复杂作图（共2小题）

19.（2021•无锡）如图，已知锐角△?!比■中，AC=BC.

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作N4⑶的平分线能作△力%的外接圆。0：（不写作法，

保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若48=望，。〃的半径为5,则sin8=.（如需画草图，请使用图2）

5

20.（2020•无锡）如图，已知是锐角三角形（ACVAB）.

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线/,使/上的各点到8、。两点的距离相等；设直线

1与AB、比•分别交于点风N,作一个圆，使得圆心。在线段网，上，且与边力队8c相切；（不写作法，保

留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若现=$,BC=2,则。。的半径为.

一十四.作图一应用与设计作图（共1小题）

21.（2019•无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.

（1）如图1,1为。。上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出。。的内接正方形；

（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中

线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.

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请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图.

①如图2,在。四切中，夕为切的中点，作外的中点反

②如图3,在由小正方形组成的4X3的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作的高被

一十五.翻折变换（折叠问题）（共1小题）

22.（2020•无锡）如图，在矩形48（笫中，48=2,A9=1,点后为边切上的一点（与C、〃不重合），四边

形四关于直线45•的对称图形为四边形41版延长ME交加于点、P,记四边形为应的面积为S.

（1）若〃£=1，求S的值；

3

（2）设〃Qx,求S关于x的函数表达式.

一十六.相似三角形的判定（共1小题）

23.（2021•无锡）如图，四边形1版内接于。0,〃1是。。的直径，AC与即交于点、E,分切。0于点反

（1）求证：4PBA=NOBC；

（2）若NPBA=20°,ZJGP=40o,求证：AOAB』XCDE.

一十七.相似三角形的判定与性质（共1小题）

24.（2020•无锡）如图，龙过。。的圆心，交。。于点/、B,如是。。的切线，点。是切点，已知NA

30°,DC=M.

第7页共40页

（1）求证：XBOCs4BCD；

（2）求46切的周长.

一十八.扇形统计图（共2小题）

25.（2021•无锡）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两

个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高.为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，

现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：

某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表

锻炼次数X0<A<55VA<1010<A<1515VA<2020V后2525VA<30

（代号）(J)(B)9(〃)㈤⑺

频数10a68c246

频率0.05b0.34d0.120.03

某企业员工参加健身锻炼次数的扇形统计图

（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）

（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？

26.（2019•无锡）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀：达到80.0

分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格.某校为了了解九年

级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了10%的学生进行体质测试，测试结果如下面的统

计表和扇形统计图所示.

各等级学生平均分统计表

等级优秀良好及格不及格

平均分92.185.069.241.3

（1）扇形统计图中“不及格”所占的百分比是

第8页共40页

（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；

（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年

级学生中约有多少人达到优秀等级.

各等级学生人数

分布扇形统计图

一十九.条形统计图（共1小题）

27.（2020•无锡）小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利

息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）

年份2014年2015年2016年2017年2018年2019年

收入389a1418

支出1456C6

存款余额261015b34

（1）表格中a=；

（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）

（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？

二十.列表法与树状图法（共3小题）

28.（2021•无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子

中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的

概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

（1）取出的2张卡片数字相同：

（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”.

29.（2020•无锡）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀.

（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是；

第9页共40页

（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之

和为3的倍数的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

30.（2019•无锡）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除

颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品.

（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为；

（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率.（请用“画树状图”或“列

表”等方法写出分析过程）

第10页共40页

江苏省无锡市三年(2019-2021)中考数学真题知识点分类汇编-解答题

参考答案与试题解析

单项式乘单项式(共1小题)

1(2019•无锡)计算：

(1)I-3|+(1)-(V2019)°;

2

(2)2a-a-(a2)3.

【解答】解：(1)原式=3+2-1=4；

(2)原式=2a"-

二.分式的加减法(共2小题)

2.(2021•无锡)计算：

(1)|-A|-(-2)3+sin30°；

2

(2)A-a+8.

a2a

【解答】解：(1)原式=工+8+2

22

=1+8

=9.

(2)原式=&_-史岂

2a2a

-—a

27

3.(2020♦无锡)计算：

(1)(-2)~+|-5|->/16;

(2)^Zl-1+b.

a-bb-a

【解答】解：⑴原式=4+5-4

=5；

(2)原式=三工"1^

a-ba-b

第11页共40页

_a-l+l+b

a-b

—a+b

a-b

三.解一元二次方程-配方法(共1小题)

4.(2019•无锡)解方程：

(1)x-2x-5=0；

(2)

x-2x+1

【解答】解：(l)Va=1,b=-2,c=-5,

•••△=4-4XlX(-5)=24>0,

则x=2±2Vo=]土泥,

2

;

x2=l-V6

(2)两边都乘以(田1)(x-2),得：田1=4(x-2),

x+l=4x-8,

x-4x=-8-1,

-3x=-9,

x=3,

经检验x=3是方程的解.

四.解一元二次方程-公式法(共1小题)

5.(2020•无锡)解方程：

(1)x'+x-1=0；

⑵卜2x<0

(4x+l<5

【解答】解：(1)Va—1,b=l,c=-1,

.,.△=12-4X1X(-1)=5>0,

._-l±V5

•v•A-----------,

2X1

•_-1W5_-1-V5.

..X]------,A2-------,

22

⑵「以

l4x+l<5②

解①得，后0，

解②得，x<l,

第12页共40页

所以不等式组的解集为OWx<l.

五.分式方程的应用（共1小题）

6.（2021•无锡）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织

消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品.现有经费1275元用于购买奖

品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3.当用600元购买一等奖奖

品时，共可购买一、二等奖奖品25件.

（1）求一、二等奖奖品的单价；

（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？

【解答】解：（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，

依题意得：600+1275-600=25）

4x3x

解得：x=15,

经检验，户15是原方程的解，且符合题意，

.'.4x=60,3x=45.

答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元.

（2）设购买一等奖奖品）件，二等奖奖品〃件，

依题意得：60»45〃=1275,

."=85-4m

3

,:用,"均为正整数，且

或［m=7或

ln=23ln=19|n=15

共有3种购买方案，

方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品;

方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品;

方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品.

六.解一元一次不等式组（共1小题）

7.（2021•无锡）⑴解方程：（A+1）2-4=0；

-2x+341

（2）解不等式组:

x-l<^-+l

o

【解答】解：（1）（户1）2-4=0,

(A+1)J,

.\%+1=±2,

解得：汨=1,%2=~3.

第13页共40页

-2x+341①

(2)

乂-1＜卷+1②

由①得，X2l,

由②得，x<3,

故不等式组的解集为：lWx<3.

七.一次函数的应用(共1小题)

8.(2019•无锡)“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公

路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y(km)与出发时间t(A)之间的函数关系式如图1中线段47

所示.在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x(加)与出

发时间t(A)之间的函数关系式如图2中折线段CD-DE-厮所示.

(1)小丽和小明骑车的速度各是多少？

2.25

设小明速度为xkm/h

由题意得：IX(16+A-)=36

x=20

答：小明的速度为20拓?〃?，小丽的速度为

(2)由图象可得：点6表示小明到了甲地，此时小丽没到，

二点£的横坐标=弛=9,

205

点后的纵坐标=且x16=」必

55

.•.点111)

55

八.一次函数综合题(共1小题)

9.(2019•无锡)一次函数y=Ax+6的图象与x轴的负半轴相交于点A,与y轴的正半轴相交于点B,且sin

NABO=叵.△"!〃的外接圆的圆心M的横坐标为-3.

2

(1)求一次函数的解析式;

第14页共40页

（2）求图中阴影部分的面积.

【解答】解：（1）过点,"作极VJ_80于点M

由垂径定理得：点N为5的中点，

•.•朗仁3,...物=6,即4(-6,0),

2

：.ZABO=m°，

V614=6,

：.OB=——QA—=其=蚯,

tan/ABOV3

即6(0,W§),

设旷=依“，将力、4代入得：丫彗x+温，

3

(2)NB=LoB=M，MN=3,

2

tanN飒卡=典=近，则NBM仁30°,

MN3

.../板=60°,

AZ4^9=120°

...阴影部分面积为兀(273)2--(273)2=4K-3V3-

第15页共40页

九.二次函数的应用（共1小题）

10.（2020•无锡）有一块矩形地块4a〃48=20米，比’=30米.为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，

将矩形40分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为*米.现决定在等腰梯形4加9

和比名、中种植甲种花卉；在等腰梯形力腔和。乃修中种植乙种花卉；在矩形分西〃中种植丙种花卉.甲、

乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米,、40元/米）设三种花卉的种植总成本为y

元.

（1）当才=5时，求种植总成本y；

（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本.

【解答】解：(1)当x=5时，£7^=20-2%=10,EH=30-2x=20,

y=2xl(EH^AD)X20x+2xlQGH^CD)XxX6Q+EF・EHX4Q=(20+30)X5X20+(10+20)X5X60+20

22

X10X40=22000；

(2)EF=(20-2x)米，EH=(30-2*)米，

参考(1),由题意得:y=(30+30-2xAr20+(20+20-2xAx・60+(30-2x)(20-2x"40=-400%+24000

(0<x<10)；

(3)S甲=2X_1(E杀AD)Xx=(30-2^+30)x=-2,+60x,

2

同理Sz,=-2x+40jr,

；甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米,，

-29+60x-(-2f+40x)W120,

解得:启6,

故0VxW6,

而y=-400^+24000,

•・•-400<0,

・,•随x的增大而减小，故当x=6时，y的最小值为21600,

即三种花卉的最低种植总成本为21600元.

第16页共40页

一十.二次函数综合题(共3小题)

11.(2021•无锡)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，直线尸-石3与x轴交于点6,与y轴交于点C,

二次函数/=@/+2户。的图象过反。两点，且与x轴交于另一点4点历为线段仍上的一个动点，过

点〃作直线1平行于y轴交加于点F,交二次函数y=a/+2Kc的图象于点E.

(1)求二次函数的表达式；

(2)当以C、E、尸为顶点的三角形与△48，相似时，求线段〃的长度；

(3)已知点N是y轴上的点，若点M尸关于直线叫对称，求点川的坐标.

【解答】解：(1)在y=-广3中，令x=0得y=3,令y=0得x=3,

:.B(3,0),C(0,3),

把8(3,0),f(0,3)代入y=a/+2广。得：

fO=9a+6+C>解得卜=[

I3=c1c=3

二次函数的表达式为y=-9+2广3；

(2)如图：

：.A(-1,0),

,:B(3,0),C(0,3),

：.OB=OC,仍=4,Bg3近,

:.NABC=NMFB=NCFE=45°,

...以C、E、尸为顶点的三角形与△力比相似，6和尸为对应点,

第17页共40页

设E（m,-加2+2〃升3）,则Z7（加，-研3）,

:.EF=（-〃/+研（-研〃〃，CF=y]~2

23）-3）=-/+3/+m2=

①△力比时，笆_=区，

CFEF

-4_372

••_—,

v2m-m^+3m

解得叫=3或m=o（舍去），

2

：.EF=^-,

4

②△胸s/\£7匕时，&L=区，

EFCF

.4_372

••__—,

-m2+3mv2m

解得行0（舍去）或加="，

3

:即=也,

9

综上所述，皮或21

49

（3）连接AE,如图：

:点从尸关于直线比对称，

：.ZNCE=ZFCE,CF=CN,

•.•小〃y轴，

ANCE=ACEF,

：.AFCE=ACEF,

：.CF=EF=CN,

由（2）知:

设E（m,-〃口2加3）,则尸（勿，-加3）,EF=（-才+2研3）-（-/3）=-才+3勿，CF={^^=®m,

第18页共40页

-橘+3/=&勿，解得勿=0（舍去）或m=3-&,

CN—CF—y[2m=3,\[2~2,

"（0,3&+1）.

12.（2020♦无锡）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，直线交二次函数产=上/的图象于点4NAOB

4

=90°,点8在该二次函数的图象上，设过点（0,加（其中0>0）且平行于x轴的直线交直线而于

点M交直线仍于点M以线段句/、QV为邻边作矩形

（1）若点1的横坐标为8.

①用含卬的代数式表示材的坐标；

②点产能否落在该二次函数的图象上？若能，求出卬的值；若不能，请说明理由.

（2）当m=2时・，若点尸恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线04的函数

【解答】解：（1）①I•点]在尸上『的图象上，横坐标为8,

4

：.A（8,16）,

直线》的解析式为尸2x,

；点."的纵坐标为加

M（Ln,ni）.

2

②假设能在抛物线上，连接8.

VZJ60=90°,

直线办的解析式为y=-lx,

2

•.•点N在直线加上，纵坐标为出

:.N（-2/77,m）,

的中点的坐标为/»）,

4

.•/（一旦），2加，把点尸坐标代入抛物线的解析式得到必=丝.

29

第19页共40页

（2）①当点/在y轴的右侧时，设4（a,la）,

4

直线0A的解析式为尸_lax,

4

（竺2）,

a

*：0B10A,

直线班的解析式为尸-2x,可得4（一旦，2）,

a2

:,P&34）,代入抛物线的解析式得到，1-±=±4,

a2a2

解得,a=4&±4,

直线。1的解析式为尸（V2+1）x.

②当点4在y轴的左侧时，即为①中点6的位置，

直线0A的解析式为y=-生Y=-（近±1）x,

a

综上所述，满足条件的直线勿的解析式为尸（V2±Dx或尸-（A/2±1）x.

13.（2019•无锡）已知二次函数旷=。/+灰-4（a>0）的图象与x轴交于4、8两点，（1在8左侧，且以

<OB）,与y轴交于点C

（1）求C点坐标，并判断b的正负性；

（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线”1相交于点〃，已知〃GCA=1：2,直线劭与y轴交于点反

连接必

①若△质方的面积为8,求二次函数的解析式；

②若△腼为锐角三角形，请直接写出力的取值范围.

第20页共40页

【解答】解：(1)令x=0,则尸-4,."(0,-4),

•••勿〈如，，对称轴在y轴右侧,即上>0

2a

Va>0,：.b<0；

CA0ACO2

・1

设力(-2R,0)z?7>0,贝!jA0=2m,DM=m

,：0C=4,:.CM=2,

:.D-6),B(4/7/,0),

则MD_』EJ3E-6,

'BO"0E=0E

：・0E=8,

S〉BEC=LX4X4加=8,

2

♦•/ff==1,

：.A(-2,0),B(4,0),

第21页共40页

设y=a(A+2)(x-4),

即y^ax-2ax-8a,

令x=0,则y=-8a,

：.C(0,-8a),

-8a=-4,a=A,

2

•_12..

•♦y--x-4'

②由①知6(4〃，0)C(0,-4)D(/»,-6),则/的一定为锐角，

C)=16w；+16,5=需+4,D目=9ii；+36,

当必为锐角时，

5+[)/>ck

m+4+9/J+36>16/J+16,

解得-2<Z2；

当/犯9为锐角时，

西+咫>虎,

/+4+16加‘+16>9加'+36,

解得或m<~\历(舍)，

综上：&<m<2,2V2<2m<4；

故：2V2<0A<4.

一十一.全等三角形的判定与性质(共3小题)

14.(2021•无锡)已知：如图，AC,如相交于点0,AB=DC,NABO=NDCO.

求证：(1)/\AB(^/\DCO-,

(2)AOBC=AOCB.

【解答】证明：（1）在△加。和中,

"ZA0B=ZC0D

-ZAB0=ZDC0-

AB=DC

:.l\AB哙△DCO(A4S)；

(2)由(1)知，/\ABO^/\DCO,

第22页共40页

：.OB=OC

OBC=/OCB.

15.（2020•无锡）如图，己知47〃bAB=CD,BE=CF.

求证：（1）XABMXDCE，,

（2）AF//DE.

【解答】证明：（1）•:ABHCD,

：.4B=4C,

■:BE=CF,

:・BE-EF=CF-EF,

即BF=CE,

在△力第和△〃四中，

fAB=DC

<ZB=ZC，

BF=CE

：.l\ABF^/\DCE（弘S）；

（2）・・・△/｝曲9△腔;

:・/AFB=/DEC,

：./AFE=/DEF,

：.AF//DE,

16.（2019•无锡）如图，在△/以中，AB=AC,点。、“分别在力反力。上，BD=CE,BE、缪相交于点，

（1）求证：/\DBC^丛ECB：

（2）求证：OB=OC.

:・/ECB=/DBC,

第23页共40页

'BD=CE

在△殒与中，ZDBC=ZECB>

BC=CB

：./\DBC^/\ECB(SIS)；

（2）证明：由（1）知△如绥△灰»,

:./DCB=4EBC,

：.OB=OC.

一十二.四边形综合题（共2小题）

17.（2021•无锡）已知四边形18切是边长为1的正方形，点《是射线附上的动点，以为直角边在直

线8C的上方作等腰直角三角形力即/力哥'=90°,没BE=m.

（1）如图，若点£■在线段比1上运动，EF交CD千点、P,4F交CD于点、Q,连接明

①当勿=工时，求线段CF的长；

3

②在APQE中,设边数上的高为人请用含面的代数式表示人并求力的最大值；

（2）设过比的中点且垂直于理的直线被等腰直角三角形/加1截得的线段长为八请直接写出y与〃的关

系式.

【解答】解：（1）①过尸作在UL和于C,连接华，如图：

；四边形/腼是正方形，ZA^=90°,

胡£=90°-4AEB=/FEG,NQNG=90°,

•.•等腰直角三角形/加；

：.AE=EF,

在△/期和△比户中，

第24页共40页

'NB=NG

-NBAE=NFEG，

AE=EF

：./\ABE^/\EGF(AAS),

：.FG=BE=k,EG=AB=BC,

3

：.EG-EC=BC-EC,即CG=BE=',

22=;

在Rt△町中，CF^VCG+FG

3

②△/跖绕｛逆时针旋转90°,得△力则，过。作掰1应于"如图:

应1绕｛逆时针旋转90°,得△[£!£),

:ZB的MADE,NB=/ADE=90°,NBAE=NDAE,NAEB=4E,AE=AE,BE=DE,

J.ZADC+AADS=\^°,

：.aD、后共线,

■：NBAE+NEAD=gQ°,

；./加夕+N刃Q90°,

VZ£47?=45°,

...N£4F=N£*4F=45°,

在△£4。和△E40中，

'AE=AE'

Z

-ZEAQ=ZEAQ，

AQ=AQ

:.IXEAgXEAQ(SAS),

:./E=NAEQ,EQ=EQ,

：.NAEB=NAEQ,EQ=DQ^DE=D6BE,

；./Q姑=90°-N4£'0=9O°-NAE片NCEP,即用是/Q%的平分线，

又NC=90°,PHA.EQ,

：.PH=PC,

■:乙BAE=4CEP,NB=NC=90°,

第25页共40页

:、XABESXECP,

・CP—CEpnCP-l~in

BEABm1

CP=m(1-/〃)，

:.PH=h=-m+m=-O--)

24

.•.R=工时，入最大值是工；

24

(2)①当OW人上时，如图:

：.l\ABE^/\EGII,

/>HG=EG)即即二万力

，，7BEAB"V1

HG--nf+—m,

2

'：MG//CD,G为6c中点，

...助V为△力仅的中位线，

:.MN=L)Q,

2

由(1)知：EQ=D5BE,

设DQ=x,则EQ=x+m,CQ=1-x,

中，E%CG=EG,

2

/.(1一勿)"+(1-x)"=(A+/»)

解得X=上d，

ltm

，相N=—IF,

2(ltm)

:.y=NH=MG-HG-MN

=1-(-/»+Affl)-——IZIB—

2

第26页共40页

—i-A/；；-——kziB—+ni,

22（l+m）

②当R>JL时，如图：

1

-HG_GE即HG_mT

ABBE1m

.•.用=2nrl,

2m

同①可得MN=—DQ=———，

22(ltm)

：.HN=MG-HG-MN

=]-2mT_l-m

2m2(1+m)

_1+m2

--------,

2m2+2m

._1+m2

・・yIZ-------,

2m+2m

誉圻+m2(04血会

综上所述，y=\.21.

1+m/>1\

,2m^+2m2

18.(2019•无锡)如图1,在矩形力质中，BC=3,动点尸从，出发，以每秒1个单位的速度，沿射线回

方向移动，作△必少关于直线用的对称△用ZT,设点P的运动时间为/(s).

(1)若A42a.

①如图2,当点夕落在〃1上时，显然△必夕是直角三角形，求此时t的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？

若不存在，请说明理由.

(2)当尸点不与。点重合时，若直线如'与直线切相交于点瓶且当力<3时存在某一时刻有结论/用"

=45°成立，试探究：对于t>3的任意时刻，结论“/阳仁45°”是否总是成立？请说明理由.

第27页共40页

【解答】解：(1)①如图1中,

图1

•.,四边形18口是矩形，

/.Z^C=90°,

然=VAB2+BC2=^21，

VZPCB'=4ACB,NPB'kN46c=90°,

:.△PCB，sXACB,

?Z

•CB=PB

CBAB

y

•V21-2V3=PB

3—访

：.PB'=24-4.

:.t=PB=2我-4.

②如图2-1中，当NPCB'=90°时，

图2-1

•••四边形/腼是矩形，

AZZ?=90o,AB=CA2M，AD=BC=3,

:'DB'(2V3)2-32=^3'

ACB'=CD-DB'=«,

第28页共40页

在RtZ\PC*中，'：B'/=PG+B，d,

，/=(5/3)2+(3-t)2,

:•t=2.

如图2-2中，当/PCB'=90°时,

在Rta/l如，中，DB'=个忠,2-AD2=V3>

ACB'=3愿

在Rt△产田中则有：(3V3)2+(t-3)2=t2＞解得力=6.

如图2-3中，当NCPB'=90°时，易证四边形45r为正方形，易知t=2«.

图2-3

综上所述，满足条件的t的值为2或6或2百.

(2)如图3-1中,

B

图3-1

第29页共40页

,/NJW=45°

；.N2+N3=45°,Nl+/4=45°

又；翻折，

；.Nl=/2,N3=/4,

又,：NADM=NAB'M,AM=AM,

.•.△43△40（AAS）,

J.AD^AB'=AB,

即四边形/腼是正方形，

图3-2

：.ZPAJB=90°-x,

NDAP=x,

易证△朗加丝AM（HD,

NBAM=ADAM,

•；翻折，

:.NPAB=NPAB'=90°-x,

：.ADAB'=NPAB'-N为片=90°-2x,

...NDAM=LNDAB'=45°-x,