【数学】高一数学下学期第一次月考模拟试卷（平面向量+三角恒等变换）

绝密★考试结束前2022-2023学年高一下学期第一次月考数学模拟试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________班级_________考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2022春·江苏南京·高一南京市雨花台中学校考阶段练习）已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．2．（2022春·山东·高一统考阶段练习）若角，均为锐角，，，则（）A．B．C．D．3．（2022春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）已知、满足：，，，则=（）A．B．C．D．4．（2022春·河北石家庄·高一统考阶段练习）如图，在平行四边形中，E是中点，G为与的交点，若，则用表示（）A．B．C．D．5．（2022春·福建龙岩·高一上杭县第二中学校考阶段练习）在中，若，则－定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形6．（2022春·山东·高一校联考阶段练习）化简（）A．B．C．D．7．（2022春·福建厦门·高一厦门双十中学校考阶段练习）若向量，，，且，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．8．（2023春·湖南邵阳·高一统考阶段练习）函数，若，则的最小值是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2022秋·福建福州·高一统考期末）若，，则（）A．B．C．D．10．（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．在上的投影向量为11．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）对任意的锐角，下列不等关系恒成立的是（）A．B．C．D．12．（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（）A．B．直线过边的中点C．D．若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）已知向量，满足，，，则______．14．（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）_________．15．（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）在中，点是边上（不包含顶点）的动点，若，则的最小值______.16．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知，且，则___________.四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）（1）已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）.（2）设，是不共线的两个非零向量.若与共线，求实数的值.18．（2022春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求；（3）与的夹角的余弦值．19．（2022春·江苏南京·高一南京市雨花台中学校考阶段练习）已知，．（1）求的值；（2）若，，求的值．20．（2021春·江苏苏州·高一苏州市第三中学校校考期中）如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为．（1）如果要使此人游得路程最短，且，求此人游泳的方向与水流方向的夹角和的大小；（2）如果要使此人游得时间最短，且，求他实际前进的方向与水流方向的夹角和的大小．21．（2023秋·广东广州·高一广州市第一中学校考阶段练习）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的最大值与最小值．22．（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（为锐角），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B）（1）求（结果用表示）；（2）若①求的取值范围；②设，记，求的最小值.绝密★考试结束前2022-2023学年高一下学期第一次月考数学模拟试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________班级_________考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2022春·江苏南京·高一南京市雨花台中学校考阶段练习）已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，则，C正确；对于D，，D错误.故选：C.2．（2022春·山东·高一统考阶段练习）若角，均为锐角，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】角，均为锐角，即，而，则，又，则，所以.故选：B3．（2022春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）已知、满足：，，，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，∴，所以.故选：C.4．（2022春·河北石家庄·高一统考阶段练习）如图，在平行四边形中，E是中点，G为与的交点，若，则用表示（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在平行四边形中，，故与相似，所以，即，所以，又，，所以，所以.故选：B5．（2022春·福建龙岩·高一上杭县第二中学校考阶段练习）在中，若，则－定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】由向量的数量积的运算公式，可得，即，因为，所以为钝角，所以－定是钝角三角形.故选：C.6．（2022春·山东·高一校联考阶段练习）化简（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B7．（2022春·福建厦门·高一厦门双十中学校考阶段练习）若向量，，，且，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，且，所以，解得.所以，所以在上的投影向量为.故选：C8．（2023春·湖南邵阳·高一统考阶段练习）函数，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数，因为，则，所以，因为，所以，一个为的最大值，一个为最小值，则，或解得，或所以（i），或（ii）对于（i），当时，的最小值是，对于（ii），当时，的最小值是，综上，的最小值是，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2022秋·福建福州·高一统考期末）若，，则（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】，∵，则，∴.对C，，C对；对A，，，A对；对B，，B错；对D，，D对.故选：ACD.10．（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．在上的投影向量为【答案】ACD【解析】，A正确；由向量加法的平行四边形法则知是以为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，起点是，易知该平行四边形的对角线长不等于的二倍，即，而，因此B错误；，C正确；，在上的投影为，又，∴在上的投影向量为，D正确．故选：ACD．11．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）对任意的锐角，下列不等关系恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】对于A，若，则，整理可得：，对任意的锐角，恒成立，故A正确；对于B，，当，，，，故B不正确；对于C，若，则，整理可得：，对任意的锐角，恒成立，故C正确；对于D，，当，，，，故D不正确.故选：AC12．（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（）A．B．直线过边的中点C．D．若，则【答案】ACD【解析】，则，A正确；若，则，所以是△的重心，直线过中点，而与不平行，所以直线不过边的中点，B错误；又，而，，所以，C正确；若，且，所以，而，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）已知向量，满足，，，则______．【答案】2【解析】因为，所以.故答案为：2.14．（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）_________．【答案】【解析】.故答案为：15．（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）在中，点是边上（不包含顶点）的动点，若，则的最小值______.【答案】【解析】如图，可知x，y均为正，且，，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.故答案为：.16．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知，且，则___________.【答案】【解析】，，则，即，又，则，则，即，则.故答案为：.四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）（1）已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）.（2）设，是不共线的两个非零向量.若与共线，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，，∴；（2）由，不共线可知为非零向量，而与共线，所以存在唯一实数，使得，因为，不共线，所以，解得18．（2022春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求；（3）与的夹角的余弦值．【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）已知向量与的夹角，且，，则，所以；（2）（3）与的夹角的余弦值为.19．（2022春·江苏南京·高一南京市雨花台中学校考阶段练习）已知，．（1）求的值；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，，又，所以，∴.（2）因为，，又因为，所以，由（1）知，，所以．因为，，则，所以．20．（2021春·江苏苏州·高一苏州市第三中学校校考期中）如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为．（1）如果要使此人游得路程最短，且，求此人游泳的方向与水流方向的夹角和的大小；（2）如果要使此人游得时间最短，且，求他实际前进的方向与水流方向的夹角和的大小．【答案】（1），;（2）,.【解析】（1）如果要使此人游得路程最短，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度与对岸垂直，如图，此人游泳的方向与水流方向的夹角，此时，.（2）如下图，设与的夹角为，与的夹角为，实际游泳的距离为，所以，，所以，故当与的夹角为时，此人游泳到对岸用时最短，如下图，当，由于，故，此时，所以.21．（2023秋·广东广州·高一广州市第一中学校考阶段练习）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的最大值与最