第二章 电阻电路的等效变换

第二章电阻电路等效变换

一般来说，分析和计算电路的基本定律是欧姆定律、基尔霍夫定律。但对于结构复杂的电路，计算起来往往极为繁琐。因此，要根据电路的结构特点去寻找简便的分析和计算方法。本章介绍电路等效变换的概念。内容包括：电阻的串联、并联与混联，星形联结与三角形联结；电源的串联与并联，电源的等效变换以及一端口电路输入电阻计算。目的：简化电路，便于计算！引言§2-2电路的等效变换★对电路进行分析和计算时，有时可以把电路的某一部分简化，即用一个较为简单的电路替代原电路。如下图：Requs+-+-uR12i(b)us+-RR1R2R3R5R4i12+-u(a)对外等效简化电路分析什么称为“等效概念”上页电路图，图（a）中端子1-2以右的电路被图（b）

Req替代后，1-2以左部分电路的任何电压和电流都将维持与原电路相同。这就是电路的“等效概念”。用等效电路的方法求解电路时，电压和电流保持不变的部分仅限于等效电路以外，这就是“对外等效”的概念。“对外等效”也就是对外部特性等效。

对外等效变换等效：当电路中某一部分用其等效电路代替后，没有被代替部分支路的电压和电流均应保持不变。也就是说，用等效电路的方法求解电路时，电压和电流保持不变部分仅限于等效电路以外，也就是所谓的“对外等效”的概念。等效电路是被代替部分的简化或结构变形，因此，对内不等效。U＋－RLI

等效电路被替代电路外电路（没有被替代电路）电压、电流保持不变内电路电流、电压有可能发生变化如何才能做到对外等效变换？Requs+-+-uR12i(b)us+-RR1R2R3R5R4i12+-u(a)对外等效简化电路分析等效变换前后，端口的电压或者电流必须保持不变！§2-3简单电阻电路的等效变换一。电阻的串联1.电路特点:在一条支路上的各元件相互鱼贯而联的方式.+_R1Rn+_uki+_u1+_unuRk(a)各电阻顺序连接，流过同一电流(KCL)；(b)总电压等于各串联电阻的电压之和(KVL)。KVLu=u1+u2

+…+uk+…+un

由欧姆定律uk=Rki(k=1,2,…,n)结论：Req=R1+R2+…+Rn=

Rku=（R1+R2+…+Rk+…+Rn)i=Reqi对外等效串联电路的总电阻等于各分电阻之和。

2.等效电阻ReqR1Rn+_uki+_u1+_unRku+_Reqi+_u3.串联电阻上电压的分配由即电压与电阻成正比故有例：两个电阻分压,如下图+_uR1R2+-u1-+u2iººº+_uR1Rn+_u1+_uniº(注意方向!)二、电阻并联(ParallelConnection)inR1R2RkRni+ui1i2ik_1.电路特点:(a)各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压(KVL)；(b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。由KCL:i=i1+i2+…+ik+in=u/Req故有u/Req=i=u/R1+u/R2

+…+u/Rn=u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)即1/Req=1/R1+1/R2+…+1/Rn令G=1/R,

称为电导Geq=G1+G2+…+Gk+…+Gn=

Gk=1/RkinR1R2RkRnii1i2ik2.等效电阻Req+_等效uiReq+_u?Rin=1.3∥6.5∥13由G=1/1.3+1/6.5+1/13=1故R=1/G=13.并联电阻的电流分配由即电流分配与电导成正比知对于两电阻并联，R1R2i1i2iºº13

1.3

6.5

Rin=?ºº有三、电阻的混联混联：既有串联又有并联的电阻单口分析：同时利用并联、串联的性质进行解答。[例1]在图所示的电路中，Us=15V,R1=R2=R3=5Ω,R4=10Ω,计算电流I。通过电阻等效变换，将上图(a)所示电路依次化为图(b),(c),(d)。在图(a)中，R2、R3串联，所以，图（b）中等效电阻R为在图(b)中，R、R4并联，所以，图（c）中等效电阻为在图(c)中，与R1串联，所以，图（d）中等效电阻为所以，电流为

R=(40∥40+30∥30∥30)=30

40

30

30

40

30

ººR40

40

30

30

30

ººR例2.求如图所示电路的等效电阻R。ABCCABC技巧：给各结点编号，然后按点合并，即相同的点画一起。例3.计算下图所示电阻电路的等效电阻R。

RR=1.5Ω如何简化下面电路？1k

1k

1k

1k

1k

E

§2-4Y形和Δ形电阻网络的等效变换无源°°°三端无源网络:引出三个端钮的网络，并且内部没有独立源。

三端无源网络的两个例子：

，Y网络：Y型网络

型网络R12R31R23i3

i2

i1

123+++–––u12

u23

u31

R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+++–––u12Yu23Yu31Y下面是

，Y网络的变形：ºººººººº

型电路(

型)T型电路(Y

型)R12R31R23i3

i2

i1

123+++–––u12

u23

u31

R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+++–––u12Yu23Yu31Y应用：简化电路RAB=?AB1

1

2

1

2

2

如何进行等效变换?Y接:用电流表示电压u12Y=R1i1Y–R2i2Y

接:用电压表示电流i1Y+i2Y+i3Y=0

u31Y=R3i3Y–R1i1Y

u23Y=R2i2Y–R3i3Y

i3

=u31

/R31–u23

/R23i2

=u23

/R23–u12

/R12R12R31R23i3

i2

i1

123+++–––u12

u23

u31

R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+++–––u12Yu23Yu31Yi1

=u12

/R12–u31

/R31(1)(2)上述公式如何得到?由式(2)解得：i3

=u31

/R31–u23

/R23i2

=u23

/R23–u12

/R12i1

=u12

/R12–u31

/R31(1)(3)根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得由Y接接的变换结果：或类似可得到由

接

Y接的变换结果：R12R31R23i3

i2

i1

123+++–––u12

u23

u31

R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+++–––u12Yu23Yu31Y理解性记忆三个电阻相等时？类似可得到由Y接

接的变换结果：R12R31R23i3

i2

i1

123+++–––u12

u23

u31

R1R2R3i1Yi2Yi3Y123+++–––u12Yu23Yu31Y简记方法：特例：若三个电阻相等(对称)，则有

R

=3RY(外大内小)13或注意：(1)等效对外部(端钮以外)有效，对内不成立。(2)等效电路与外部电路无关。应用：例4.简化电路RAB=?AB1

1

2

1

2

2

变换前后，注意对应端口连接！应用：简化电路例5.桥T电路1k

1k

1k

1k

1k

E1/3k

1/3k

1k

1k

E1/3k

1k

1k

E3k

3k

3k

变换前后，注意对应端口位置！①②③①②③④①②④④进行Δ-Y变换需要注意两点：①画草图帮助确定变换方案；②标出Δ或Y形网络的对外连接点，避免等效变换后的连接错误。R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234生活知识：惠斯通电桥电路应用惠斯通电桥电路原理图四、实验原理

调节R使图中B点与D点之间的电位差为零时，表明电桥两端达到平衡。此时：即：其中R1、R2、R均已知，Rx即可由上式计算得出。生活知识：惠斯通电桥电路应用由于惠斯通电桥的这种特点，使其具有测试灵敏度高、测量精确和使用方便等特点，被广泛应用于现代工业自动控制电器技术和非电量电测法中。五、趣闻轶事惠斯通电桥其实不是惠斯通本人发明的在测量电阻及进行其它电学实验中经常会用到一种叫惠斯通电桥的电路，很多人误认为它是惠斯通本人发明的。其实这是一个误会，这种电桥是由英国发明家克里斯蒂在1833年发明的。但是由于惠斯通是第一个使用这种电桥来测量电阻的人，所以习惯上人们把这种电桥称为惠斯通电桥。

冰箱、空调温度控制电路

根据桥式电路制成的热敏电阻式温度控制器，就是将惠斯通电桥的一个热敏电阻桥路作为感温元件，直接放在适当的位置，三极管的发射极和基极接在电桥的一个对角线上。当热敏电阻受到温度变化的影响时，其阻值就发生相应的变化。通过平衡电桥来改变通往三极管的电流，再经放大来控制制冷设备的运行，达到温度控制。图中RT——热敏电阻，RP——温度调节电位器，K——控制压缩机起动的继电器。接入三极管，用于控制后面电路普通电阻换为热敏电阻，作为感温元件§2-5理想电源的串联和并联等效变换一、理想电压源的串联对外等效条件uS=

uSk

(

注意参考方向)二.、理想电流源的并联等效条件：

iS=

iSk。uSn+_+_uS1ºº外电路+_uSºº外电路iSººiS1iS2iSkºº外电路外电路电流相同的理想电流源才能串联,并且每个电流源的端电压不能确定。串联:电压相同的电压源才能并联，且每个电源的电流不确定。+_5VIºº5V+_+_5VIºº并联:ººiSiS外电路外电路外电路电流源与其他元件的串联等效N可以是电压源、电阻等元件！i+u

-ab外电路i+u-abN推广外电路bi

+u-a外电路虚元件电压源与其他元件的并联等效变化N可以是电流源、电阻等元件！i+u-外电路i+u-外电路i+u-N推广外电路虚元件理想电压源与任何一条支路(含电流源或电阻支路)并联后，其等效电源仍为电压源；理想电流源与任何一条支路(含电压源或电阻支路)串联后，其等效电源仍为电流源。例1：例2：=6AR1R2试化简下面电路。4A科学抽象实际独立电源电路电压源与内阻串联

实际电源是实际独立电源的抽象模型，当计及本身的功率损耗,电源分为实际电压源和实际电流源两种。

§

2-6实际电源之间的等效变换电流源与内阻并联为什么这样表示？两种电源(电路)的等效（对外）IUS+UR0＋－－IsR0U＋－

只考虑其外部特性，如果电压源和电流源具有相同的外特性，相互间是可以进行等效变换。目的是需要时简化电路！

对于图中外电路而言，不管电源是何种形式，效果都是一样，对外等效变换条件？U＋－RLI

电源外电路ba2.实际电压源模型U=US-IR0--外特性方程IR+U-USR0+–外特性曲线IUUSUSR0

O请用KVL列出回路方程3.实际电流源模型I=IS-IR0---外特性方程外特性曲线baIR+U-R0IR0IsUIISO请用KCL列出方程等效条件（在给定的参考方向下）U=Us

I·R1U=IR0·R2=Is·R2

I·R2=(

Is

I)·R2IUS+UR1＋－－IsR2U＋－IIUIR0

Us=

R1=R2Is·R2

如果改变参考方向，上述结论是否还成立？当Is的参考方向为朝下时?恒等外电路两端电压相等电压源模型电流源模型电流源模型电压源模型R1USIs=R2=R1US=Is·R1

R2=R1IUS+UR1＋－－IsR2U＋－IIsR1U＋－IIUS+UR2＋－－注意变换前后的电源参考方向。ABAB还是等效变换吗？问题出在哪里？ABAB应用：利用电源转换可以简化电路计算。例.I=0.5A5A3

4

7

2AI+_15v_+8v7

7

IRRL2R2RRRIS+_ULRLIS/4RI+_UL例求图中UL即2）所谓“等效”是指“对外电路”等效（即对外电路的伏－安特性一致），对于电源内部并不一定等效。例如，在电源开路时：1）注意电压源模型与电流源模型互换前后的电流源、电压源方向。R0

不消耗能量

消耗能量R0

说明IUS+UR0＋－－IsR0U＋－I课后思考：理想电压源（恒压源）与理想电流源（恒流源）之间不能互换。为什么?

IsUS+–1k

0.5II1k

+500I-Iº受控源和独立源一样可以进行电源转换,注意变换过程中保存控制量所在支路，不要把它消掉。同样在变换的过程中注意方向!求图示二端电路的开路电压Uab。解：原电路例：如（a）所示电路。（1）若求及。（2）若求R。解：（1）当时，利用等效变换将图（a）所示电路化简为图（b）所示单回路等效电路。（a）所以有且可求得（2）当时，可知所以(b)§2-7输入电阻一.二端网络无源一端口网络有源一端口网络

对外只有两个端钮的电路称为一端口网络或二端网络。依据内部是否含有独立电源，分为有源网络和无源网络。RAB=?AB1

1

2

1

2

2