高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）第09讲 函数的单调性（教师卷）

第09讲函数的单调性【【考点目录】【【知识梳理】1.函数的单调性与导函数的关系一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．2.利用导数判断函数的单调性的一般步骤方法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求出导数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．注：1.利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．2.(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．3.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.4.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)注：由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)<0，则f(x)单调递减；由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0.【【考点剖析】考点一利用导数求函数的单调区间不含参函数的单调性1．（2023春·高二校考期末）函数的单调递减区间为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数的单调递减区间．【详解】函数的定义域为，，令，∴函数的单调递减区间是，故选：A2．（2023春·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）函数的单调减区间为________.【答案】【分析】求导，利用导函数小于等于0，即可求解.【详解】由题意得，令，解得，所以单调递减区间为，故答案为：3．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）若函数，则的一个单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对函数进行求导，令即可求解【详解】由可得，令，解得，所以的单调递增区间是，故选：B4．（2023秋·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数(1)当时，求的单调区间；(2)当时，求证：．【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为；(2)证明见解析.【分析】（1）直接利用导数求函数的单调区间；（2）即证设，即证.利用导数求出即得证.【详解】（1）解：当时，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）解：当时，即证因为，所以即证设，即证.,当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以.所以原题得证.5．（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知函数，其中为常数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)【分析】（1）由求出，令、解不等式可得答案；（2）转化为在上恒成立，令，即求，利用导数判断出单调性可得答案.【详解】（1）易知函数的定义域为，由得，，令，解得；令，解得，故的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）在上恒成立，等价于在上恒成立，令，则，，在上单调递减，在区间上的最大值为，，即实数的取值范围是．6．（2023·全国·高二假期作业）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)求证：.【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)证明见解析.【分析】（1）求出导函数，利用导数判断单调性；（2）利用分析法证明：先分类讨论，当时，直接证明；当时，转化为只需证.构造函数，，利用导数判断单调性，求出最值，即可证明.【详解】（1），.令得，且当时，，当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.（2）原不等式化为：.当时，，，显然成立；当时，因为，所以只需证.令，，则，.且当，，所以存在唯一使，且时，，时，，即在上单调递增，在上单调递减，又，，所以，即.所以当时，，综上所述：.含参函数的单调性7．（2023春·河南商丘·高二睢县高级中学校考阶段练习）已知.(1)讨论的单调性；(2)若有一个零点，求k的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出定义域，求导，由导函数的正负确定函数的单调性；（2）构造函数，求导确定函数的单调性，确定函数的最值，画出函数的图象，确定参数的取值范围.【详解】（1）的定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增.当时，在上，，单调递增；在上，，单调递减.综上可知，时，在上单调递增.时，在上单调递增，在上单调递减.（2）有一个零点，可得有一个实根，令，.令，得；令，得.∴在上单调递增，在上单调递减.∴.又，∴时，；时，.大致图象如图所示，若直线y＝－k与的图象有一个交点，则或，即或.∴k的取值范围是.8．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知(1)若，讨论的单调性；(2)若对任意恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)在上单调递增(2)【分析】（1）求导可得，再求导分析的最小值，进而可得的单调性；（2）将题意转化为对任意恒成立，再构造函数，求导分析单调性，结合求解即可.【详解】（1），令，则，易得为增函数，令有，故当时，单调递减；当时，单调递增.故.又，故，即，在上单调递增.（2）即，对任意恒成立.设，则.，令，则，故为增函数.又，且，故若要恒成立，则，即.此时对任意恒成立.9．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期末）已知函数.(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若恒成立，求实数的取值集合.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到切线方程；（2），对以及进行讨论，根据导函数的符号即可得到的单调区间；（3）根据（2）的结论，可知，根据题意，应有，即.令，根据导函数即可求得实数的取值集合.【详解】（1）当时，，则.根据导数的几何意义，可得函数的图象在点处的切线斜率，又.所以，切线方程为，整理可得.（2）定义域为R，.当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；当时，解，即，解得，解，得，则在上单调递增，解，得，则在上单调递减.综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）知，当时，在R上单调递增，又，所以当时，，不满足要求，所以.则由（2）知，在时，取得最小值.要使恒成立，则只需满足即可，即.令，即..令，则.当时，，当时，，所以，在处取得极大值，也是最大值，所以.又，所以，所以有.即当时，，有成立.所以，实数的取值集合为.10．（2023春·陕西延安·高二校考阶段练习）已知函数.(1)时，在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数对任意都有成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）将代入函数解析式，求出的值，再根据函数的导函数求出切线方程的斜率，然后利用点斜式方程即可得到答案；（2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可得到答案；（3）若函数对任意都有成立，即可寻找区间上的最小值大于等于0，根据第二问求出的单调区间，进行分类讨论，即可得到答案.【详解】（1）根据题意，当时，，定义域为，所以，当时，，，所以在点处的切线方程为，即.（2）因为函数，定义域为，，因为，所以的正负与的一致，当即时，在上恒成立，因为，所以恒成立，所以函数在区间上单调递增；当即时，令，即，解得，所以函数在区间上单调递增，令，即，解得，所以函数在区间上单调递减.综上，当时，函数的单调增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调增区间为，单调递减区间为.（3）由（2）得，当时，函数在区间上单调递增，所以当时，函数在区间上单调递增，所以，可得对任意都有成立，所以满足题意；当，函数的单调增区间为，单调递减区间为，所以对于，当，即时，函数在区间上单调递增，所以，可得对任意都有成立，所以满足题意，当时，即，此时函数的单调增区间为，单调递减区间为，所以，又因为，根据函数的单调区间可知，所以存在有，与题干矛盾，所以不满足题意.综上，a的取值范围为.11．（2023春·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）设函数.(1)讨论的单调性；(2)若函数存在两个零点，证明：.【答案】(1)当时，在区间上单调递减；当时在区间上单调递减，在区间上单调递增(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论a的取值范围，根据导数的正负，即可得答案;（2）利用函数零点可得，，整理变形可得，换元令，得，结合，需证明，由此构造函数，利用导数即可证明结论.【详解】（1）由于，则定义域为，可得：，当时，∵，∴，故在区间上单调递减；当时，∵，∴由可得，由得，故在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）证明：∵，，，不妨设，则有，，两式相加得，相减得，消去得：，令，则，要证，即证，也就是要证，即证，令，∵∴在上为增函数，，即成立，故.【点睛】关键点点睛：利用导数证明关于函数零点的不等式问题，关键在于正确地变式消去参数，进而构造函数，本题中利用，，将两式相加减，进而消去a，可得，换元令，得，进而根据，需证，从而构造函数，解决问题.考点二函数图象与导数图象的应用12．（2023春·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过函数的奇偶性，变化趋势，特殊值排除答案.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除A选项；又，故排除D选项；，当时，，即在上单调递增，故排除C选项.故选：B.13．（2023·黑龙江·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考学业考试）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据奇偶函数的定义，判断函数奇偶性，利用导数研究该函数的单调性，可得答案.【详解】由，则其定义域为，因为，故函数为偶函数，，，令，解得，可得下表：极小值极小值故选：A.14．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）下列函数的解析式（其中…为自然对数的底数）与所给图像最契合的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题知，所求函数的定义域为，为奇函数，在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：由图像可知，所求函数的定义域为，为奇函数，在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，，故对于A选项，由幂函数性质可知，为奇函数，且在上单调递增，不满足题意；对于B选项，函数的定义域为，不满足；对于C选项，函数，由于函数在上单调递增，在上单调递增，所以函数在定义域上为单调递增函数，故不满足；对于D选项，易得函数为奇函数，，当时，，函数为减函数，时，，函数为增函数，且时，，时，，故满足条件.故选：D15．（2023秋·吉林长春·高二长春市第五中学校考期中）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】当时，，当时，，当时，，根据函数的单调性即可判断.【详解】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；当时，,函数单调递减；当时，,函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选:C.16．（2023秋·四川绵阳·高二校考期中）已知函数（是函数的导函数）的图象如图所示，则的大致图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设函数的图象在轴上最左边的一个零点为，根据函数的图象得到的正负，即得解.【详解】解：设函数的图象在轴上最左边的一个零点为，且.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.故选：C考点三函数的单调性的应用根据函数的单调性求参数17．（2023·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，所以在上单调递增，则，所以.故选:B.18．（2023春·陕西延安·高二校考阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（

）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】由函数在区间上单调递减，等价于在区间上恒成立，分离参数后得到，令，通过即可求出的最大值.【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，所以在上单调递减，上单调递增，故，则，即.经检验，当时，满足题意，所以实数的最大值是.故选：B.19．（2023春·浙江·高二校联考开学考试）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.【详解】由题意，在上恒成立，即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，所以在时，，所以.故选：B20．（2023·高二课时练习）设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.【答案】【分析】先求得的单调区间，再根据函数在区间上是单调函数，列出不等式，即可得到结果.【详解】，，令，解得或，令，解得.故在上严格增，在上严格减，在上严格增.又在区间上是单调函数，则只需，解得.故实数m的取值范围为.21．（2023·全国·高二假期作业）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】求出函数的导数，然后参数分离，先求出函数在内单调时的范围，从而可得不单调时的范围.【详解】由，得，当在内为减函数时，则在内恒成立，所以在内恒成立，当在内为增函数时，则在内恒成立，所以在内恒成立，令，因为在内单调递增，在内单调递减，所以在内的值域为，所以或，所以函数在内单调时，a的取值范围是，故在上不单调时，实数a的取值范围是．故答案为：．22．（2023秋·四川眉山·高二仁寿一中校考期中）若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（

）A．或或 B．或C． D．不存在这样的实数【答案】B【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，依题意函数的极值点在区间上，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：，令，解得，或，所以当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，即函数极值点为，若函数在区间上不是单调函数，则或，所以或，解得或故选：B．23．（2023·高二课时练习）已知函数的单调递减区间为，则的值为________．【答案】【分析】分析可知不等式的解集为，利用韦达定理可求得实数的值.【详解】函数的定义域为，且，由题意可知，不等式的解集为，所以，，解得.故答案为：.24．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在上有解即可得出结果.【详解】函数的定义域为，且其导数为．由存在单调递减区间知在上有解，即有解．因为函数的定义域为，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是．故选:B．利用单调性比较大小25．（2023·四川资阳·统考二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先比较，的大小，构造函数，求，根据与0的符号关系来确定的增减性，进而求得，再把代入即可得到；比较，的大小，根据当时，有，再把代入即可得到，从而即可得解．【详解】令，则，当，，此时单调递增，当，，此时单调递减，所以，所以，即，所以；又设，恒成立，∴当，单调递减，当时，有，则，所以，综上可得．故选：D．26．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导函数求出单调性，利用单调性比较大小.【详解】设，则，当得：，当时，，所以在上单调递增，上单调递减，又，所以，即c<a<b．故选：D．27．（2023春·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知定义在上的函数的导函数，且，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数，因为，所以，因此函数是增函数，于是有，构造函数，因为，所以，因此是单调递减函数，于是有，故选：D利用单调性解不等式28．（2023春·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设函数，则使得成立的的取值范围是___．【答案】【分析】利用导数确定函数为单调性，再确定函数为偶函数，则转化为，求解即可．【详解】∵∴∴为偶函数，∴当时,,,则在上是单调增函数∵,又因为偶函数∴,即得,即,解得故的取值范围为：故答案为:．29．（2023春·河南·高三期末）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，原不等式可整理为，求导得到的单调性，构造函数，求导，根据单调性得到，然后分和两种情况解不等式即可.【详解】不等式可整理为，令，定义域为，则原不等式可看成，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，上单调递增，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，上单调递减，且，所以，即，即，当时，，，所以，解得；当时，，，所以，不成立；综上可得，不等式的解集为.故选：D.30．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，则不等式成立的一个充分不必要条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，再解不等式，求不等式成立的一个充分不必要条件是求其一个真子集.【详解】函数定义域为R，因为，所以是一个奇函数.因为，所以在R上单调递增.因为，又是一个奇函数，所以，又在R上单调递增，所以，解得.不等式成立的一个充分不必要条件是集合的真子集，所以选项C正确.故选：C.31．（2023春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）已知是函数的导数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，求出函数的导数，得到在上单调递增，问题等价于，即可解决．【详解】令，则，因为，所以，即，设，所以，因为，所以，所以在上单调递增，因为，所以，所以等价于，则，即，解得．所以不等式的解集是．故选：C32．【多选】（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数，若，则下列选项正确的是（

）A．B．C．当时，D．若方程有一个根，则【答案】BC【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，可判断A选项；由函数的单调性可判断B选项；利用函数在区间上的单调性可判断C选项；取特例可判断D选项.【详解】对于A选项，构造函数，定义域为，，当时，；当时，．所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为当时，，即，A选项错误；对于B选项，，由于函数在上单调递增，当时，，即，所以，B选项正确；对于C选项，函数，定义域为，令，则；令，可得所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，，则，即，C选项正确；对于D选项，当时，若方程也只有一个根，D选项错误.故选：BC考点四证明不等式17．（2023秋·贵州六盘水·高二统考期末）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个不相同的零点，证明.【答案】(1)时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数导数，对分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调性即可得解；（2）由函数的单调性可确定函数零点在两侧，要证原不等式可转化为证，再由函数的单调性转化为证，构造函数，利用导数即可得证.【详解】（1）的定义域为，且，当时，成立，所以在上单调递增；当时，当时，成立，所以在上为增函数；当时，，所以在上为减函数.综上，时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数.（2）由（1）知，当时，在上单调递增，至多有1个零点，不符合题意；当时，函数在上为增函数，函数在上为减函数，所以为函数的极小值，函数有两个零点则，不妨设，则，要证，即证，因为在上为减函数，所以只要证，又，即证，设函数，所以，所以在上为增函数，所以，所以成立，从而成立.18．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：在上，.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，对a分类讨论：和两种情况，分别求单调区间；（2）对，利用导数讨论单调性，求出最小值，即可得到，即证.（1）函数的定义域为，.若，当时，，此时函数为增函数，当时，，此时函数为减函数；若，当时，，此时函数为减函数，当时，，此时函数为增函数.（2）当时，令，则，当时，，此时函数在递增，当时，恒成立.故在上，.【【过关检测】一、单选题1．（2023春·山东济南·高二济南市历城第二中学校考期末）已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导函数判断函数的单调性，画出函数图像，将有四个零点转化为的图像与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范围.【详解】解：时，，，在上单调递减，在上单调递增，，时，，在上单调递减，在上单调递增，，画出的图像如下图，有四个零点即的图像与有四个不同交点，由图可得，是方程，即的两根，是方程，即的两根，，，则，设，，则，在上单调递增，当时，，即.故选：A.2．（2023秋·山东青岛·高二统考期末）已知函数，曲线与直线有且仅有一个交点，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用导数求出函数的单调区间及最值，从而可得出当时，函数零点的个数，即曲线与直线交点的个数，从而可得出答案.【详解】解：令，，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，当且仅当时，取等号，所以当时，函数只有一个零点，即当时，曲线与直线有且仅有一个交点，所以当时，曲线与直线没有交点，所以.故选：A.3．（2023秋·吉林·高二校联考期末）函数的递增区间是（

）A． B．和C． D．【答案】C【分析】利用导数求的递增区间.【详解】由题设，且，可得，所以递增区间为.故选：C4．（2023秋·贵州黔东南·高二统考期末）已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，求得函数为偶函数，再利用导数求得函数在上单调递增，则再上单调递减，结合对数的运算性质和函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数，则，所以函数为偶函数，又当时，，可得，所以函数在上单调递增，则在上单调递减，又由，，且，所以，即.故选：D.5．（2023秋·浙江台州·高二温岭中学校联考期末）已知是定义在的增函数，设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数和，利用导数求得函数的单调性，得到，再结合函数的单调性，即可求解.【详解】令，可得，当时，，单调递增，又由，所以，即，所以；令，可得，当时，，单调递增，又由，所以，即，所以，所以，因为是定义在的增函数，所以，即.故选：C.二、多选题6．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆外国语学校校考期末）已知函数在上单调递增，则实数的所有可能取值是（

）A． B． C． D．3【答案】ABC【分析】由在上恒成立，参变分离得，结合二次函数求出最小值即可求解.【详解】由题意得在上恒成立，即，整理得，即，又在上单调递增，则最小值为，故，结合选项知，可取0，1，2.故选：ABC.7．（2023春·浙江温州·高二统考期末）函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出函数的导函数，根据函数的图像可知，将用表示，分析从而可得出答案.【详解】解：，由图可知，，则，故C正确；，，两式相减得，即，，则，所以，则，所以，故AB正确；则，故D错误.故选：ABC.三、填空题8．（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是___________.【答案】【分析】根据题意可得在恒成立，即恒成立，即可求出.【详解】由题设，，因为在单调递增，所以在上恒成立，即恒成立，而在上递增，故.故答案为：.9．（2023秋·山东淄博·高二统考期末）已知函数，若对于定义域内任意不相等的实数，都有，则实数k的取值范围是______．【答案】【分析】根据题意可得函数在上递减，则在恒成立，分离参数，构造新的函数，利用导数求出新函数的最值即可得出答案.【详解】解：函数的定义域为，因为对于定义域内任意不相等的实数，都有，所以函数在上递减，，所以在恒成立，即在恒成立，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，所以，所以实数k的取值范围是.故答案为：.10．（2023秋·山东日照·高二校联考期末）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________.【答案】【分析】首先利用导数求函数的单调递减区间，再结合区间的包含关系，列式求实数a的取值范围【详解】，，令，得，而因为函数在区间上单调递减，故，故.故答案为：11．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）若函数在区间内单调递减，则实数a的取值范围是___________.【答案】【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性将问题转化为在恒成立，求出的取值范围即可．【详解】解：由，得，函数在区间内单调递减，在恒成立，在恒成立，在恒成立，，即故答案为：．12．（2023春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考期末）已知函数,__________，若且，则的最大值是__________．【答案】

0

【分析】根据函数解析式可得，进而可得，作出函数的图象，令，则，构造函数，利用导数求出函数在区间上的最大值，即得.【详解】因为，所以，；作出函数的图象，设，则，由，可得，由，可得，令，其中，，可得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，因此，的最大值为.故答案为：0；.四、解答题13．（2023春·山东济宁·高二济宁一中校考期末）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)当时，函数在上单调递增(2)【分析】（1）求导，根据导函数的符号判断；（2）构造函数，求导，对a分类讨论导函数的符号.【详解】（1）当时，，则，令，则，因为为增函数，，所以当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，故，即，所以当时，函数在上单调递增；（2）令，当时，恒成立等价于恒成立，因为，(i)当时，，函数在上单调递增，所以在上恒成立，符合题意；(ii)当时，设，在上单调递增，，①当即时，，函数在上单调递增，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以在上恒成立，符合题意；②当即时，，若，即时，在上恒小于等于0，则在上单调递减，，在上单调递减，，不符合题意；若，即