平面向量考点梳理讲解总结,高中数学平面向量题及答案解析

考点20平面向量的概念与

【命题解读】

平面向量的概念与运算这一部分，高考的考察比较少，主要集中在向量的运算以及它

的几何性质部分，对于平面向量的运算，要注意运算的法则，注意向量是矢量这一知识点。

【命题预测】

预计2021年的高考对于平面向量的概念及运算部分考察还是以小题为主，如果出题可

能以选择题的形式出现。

【复习建议】

集合复习策略：

1.理解平面向量的概念，几何表示；

2.掌握平面向量的运算及几何意义。

考向一平面向量的概念

1.平面向量的有关概念

名称定义表示

向量在平面中，既有大小又有方向的量

示

向量4的大小，也就是表示向量。的有向线段荏的长

向量的模⑷或1屈1

度（或称模）

零向量长度为0的向量用0表示

单位向量长度等于1个单位的向量用e表示,|e|二l

平行向量方向相同或相反的非零向量（或称共线向量）a//b

相等向量长度相等且方向相同的向量a=b

相反向量长度相等，方向相反的向量向量a的相反向量是-a

2.说明:零向量的方向是不确定的、任意的.

规定:零向量与任一向量平行.

典例制折

1.12020安徽高二学业考试】如图，菱形A8CD的对角线AC和BD相交于点。，则下列

结论中错误的是（）

UUIUUUUI

A.AC1BDB.画=网

C.叫=|西D.AB//CD

【答案】C

【解析】因为四边形A3C。为菱形，对角线AC和8。相交于点。,

UUUUUUII---II—_d_

所以AC_LAD，|AD|=|A4,AB//CD.故A,B,D正确.

而口耳，|比|不一定相等，故C错误.

故选：C

2.12020全国高二课时练习】给出下列四个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；

②若5满足且£,B同向，则£>6；

③不相等的两个空间向量的模必不相等；

④对于任意向量Z，h>必有于+B|V|a|+|5|.

其中正确命题的序号为.

【答案】④

【解析】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误;

对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；

对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；

只有④正确.

故答案为：④

考向二平面向量的线性运算

1.向量的线性运算

向量

定义法则（或几何意义）运算律

运算

⑴加法交换律:a+b=b+a;

求两个向量和的运

加法⑵加法结合律:（a+b）+c-

算

a+（b+c）

平行四边形法则

减去一个向量相当

减法于加上这个向量的a-b=a+(-b)

相反向量

三角形法则

实数2与向量a的积(l)|za|=|2||a|.⑴对向量加法的分配

是一个向量,这种运⑵当2>0时,觞与a的方向相律:4(a+b)=Xa+Xb;

数乘

算叫作向量的数同;当2<0时/。与a的方向相⑵对实数加法的分配

乘,记作Xa反;当2=0时，a=0律:(3+%2)a=2ia+痴

2.常用三角公式

向量的共线定理

向量。（存0）与b共线，当且仅当有唯一的实数2,使b=Xa.

典例剧折

1.12020山东省招远第一中学高三期中】若M为AABC的边AB上一点，且丽=3而万，则

CB=（）

UUUUU1__________UUUuuuuuuct

A.3CM-2G4B.3CA-2CMC.3CM+2CAD.3CA+2CM

【答案】A

【解析】根据题意做出图形，如图,

A

->->f-2ff9（ff、1->2

所以==CB+—8A=CB+—CA-CB\=-CB+-CA>

331J33

所以&=3CM-2CA-

故选：A.

2.【2020忻州市第二中学校高三月考】如图，在平行四边形A3CO中，下列结论中正确的

是（）

A.AB=a）B.AB-AD=BD

C.AD+AB=ACD.AD+BC=0

【答案】C

【解析】在平行四边形A8C。中，AB=-CD，故A错误；

由向量减法法则得—=分，故B错误；

由向量加法的平行四边形法则知通+通=沅，即c正确；

由于通+配=2而，故D错误；

故选：C.

3.12020沙坪坝.重庆南开中学高三月考】在平行四边形ABCO中，|福卜2,|而卜1,

DE=2EC，AE交8。于尸且醺.丽=—2，则下列说法正确的有（）

__19___2.

A.AE=-AC+-ADB.DF=-DB

335

C.（AB,AD）=^D.FBFC=—

25

【答案】BCD

对于选项A：AE=AD+DE=AD+-DC=AD+-(AC-AD^=-AD+-AC,故选

33

项A不正确;

DFDE2___2—2—.

对于选项B：易证△£＞石厂〜ABEA，所以▼=F=W，所以==-DB,故

BFAB33

选项B」E确:

对于选项C：■BD--2>即+§A8)(A£)-A3)

=一2,所以

—21—,2,21----------2uuaiuuui

AD——ABAD一一AB=-2,所以1——ABAD一一x4=-2,解得:ABAD^\'

3333

AB-AD11

cos(AB,AD)因为（而，而）e[0,柯，所以71

|A8|X|AD|-2X1-2,7

故选项C正确;

对于选项D：~FBFC=-DB-

5

9--2—.—-6—-293627

=—xAB-3ABAD-—XAD=—x4---------—,故选项D正确.

252525252525

故选：BCD

检测训练

题组一

1.12019江西八校联考】在△48C中，P,。分别是边AB,3C上的点，且4尸=触，BQ

若霜=mAt=b,则成=（）

A.%+§bB.-乎+§〃

C.\a-\bD.—\a—^b

2.12020珠海市第二中学高二月考】已知£,B为单位向量，则归+耳+忖―］的最大值为

（）

A.273B.V3+1C.3D.272

3.12020黑龙江哈尔滨三中高三期中（理）】在△A8C中，BD=2DC，则而=（）

1―-2--2―►1―►1—.3—•3—►1—«

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

33334444

,1—­—•

4.12020北京顺义高一期末】如图，在矩形ABC。中，E为BC中点，那么向量一AO+AE

2

等于（）

A.ABB.ACC.BCD.砺

5.下面的命题正确的有（）.

A.方向相反的两个非零向量一定共线

B.单位向量都相等

C.若晨5满足间>忖且1与5同向，则〃>5

D.“若A、B、C、。是不共线的四点，且丽=反"0"四边形438是平行四边形”

6.在平行四边形48CO中，。是对角线的交点，下列结论不正确的是（）

A

D

A.AB^CD,BC=ADB.AD+OD^AO

c.AO+OD^AC+CDD.AB+BC+CD^DA

7.[2019辽宁大连双基测试】在锐角AABC中，同f=3砒，筋/=xA^+y祀,贝片.

8.【2019山东菊泽模拟】如图，有5个全等的小正方形，Bb=xAk+yAp,则x+y的值是

始答案解析,

题组一

212I1211

1.A【解析】而=或+殴=§屈+?虎=§或+§（祀一曲）=5^+3祀=]〃+功.

故选A

2.D【解析】设2,5的夹角为氏而由已知条件知

口一彳二|If_21同出|cos6+出『=2(1—cos6),同理有,+彳=2(1+cos6),

.,・卜+q+卜一0=拒(Jl-cose+J1+cos，)=2(sing+cosg)=2拒sing+?)'而

0717t3兀、

-+—e[r—,——],

2444

二,+⑷+卜-q的最大值为20.

故选：D

3.A【解析】AD=AS+fiZ5=Afi+-eC=AS+-(AC-Afi)=-Ae+-AC.

故选：A

4.B【解析】因为在矩形A5C。中，石为3c中点，

所以工期+通=,方+公=前+疑=/.

22

故选：B.

5.AD

【解析】方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A

正确；

单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故8错误；

向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；

A、B、C、。是不共线的点，AB=DC，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCQ

对边平行且相等，反之也成立，故。正确.

故选：AD

6.ABD

【解析】对于A：在四边形A8CO中，AB^DC，故A错误；

对于B：Ad+OD-AD'故B错误：

对于C：AO+OD^AD，AC+CD^AD>故C正确;

对于D：AB+BC+CD^AD>故D错误.

故选：ABD.

7.3

【解析】由题设可得CA+而=3（初一砌，即4面=3屈+祀,亦即秸+了正,则

31

---X

=4=故=3

4,y

8.1

【解析】因为m=微>_油,而初=海，屈=皿+筋=2A齐一成，

所以^>=在一辐=2曲一（2#—硝=3勘一2#.

又屈，#不共线，且尻）=xH&+）#,所以梃+y#=3屐-2#,

所以x=3,y=—2,故x+y=l.

考式21年面向量及埃定理

与坐标表示及运算

签，考占1车虏

【命题解读】

平面向量基本定理与坐标表示及运算是高考的一个热门考点，对于平面向量的考察主

要从这方面出题，尤其是数量积的运算是考察的重中之重，题目的难易度适中，以选择或者

填空为主，出多项选择题的机率也是比较大的，总体来说还是学生比较好得分的。

【命题预测】

预计2021年的高考平面向量基本定理与坐标表示及运算还是以选择题或者填空题为主,

难易度以中等难度为主，数量积的运算考察机率大。

【复习建议】

集合复习策略：

1.理解平面向量基本定理及其意义；

2.掌握平面向量的正交分解和坐标表示；

3.理解平面向量的数量积运算；

4.掌握运用坐标进行平面向量的加法、减法、数乘与数量积的运算。

考向一平面向量基本定理及坐标表示

1.平面向量的基本定理

如果ei，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量”，有

且只有一对实数加，％2，使a=4iei+22e2.其中，不共线的向量ei，e2叫作表示这一平面内所

有向量的一组基底.

2.平面向量的坐标运算

(1)平面向量的坐标运算

a=(xi，yi)b-(X2，>2)

a+b-{x\+x2,yi+yi)a-b-(x\-X2,y\-yi)2a=(Axi，zyi)

(2)向量的坐标求法

已知4(X[,>'i)>8(X2，yi)>则荏=(X2-X1，

2

I荏I=J(X2-XI)2+(y2-yi)-

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi，yD，b=(x2»m)，其中后0,则。〃bo。二劝(2eR)=不出-乃丁产。.

经典例剧折

1.12020湖南省高三月考】如图所示，在AABC中,点。在线段BC上，且5D=3DC,

______A.

若=+则[二

A

Zb

\

BDc

112

A.—B.—C.2D.-

233

【答案】B

___________3______Q______1___a____

【解析】AD-AB+BD^AB+-BC=AB+-（AC-AB）^-AB+-AC,

4444

13Z1

所以;l=—,从而求得一

44〃3

故选B.

一1一4一

2.12020安徽省高三月考一】设。为A48c所在平面内一点，40=-—A3+—AC,若

33

BC=ADC（A&R）,则；1=.

【答案】-3

一］一4一

【解析】•••。为AA8C所在平面内一点，AD=—AB+-AC,

33

.♦.B,C,。三点共线.若月e=/1丈（4eR）,...而一A月=/1/一/1耳万，

化为：髭=!丽+?而，与粕=一，而+，祝，比较可得：!=—』，解得力=一3.

AA3323

即答案为-3.

考向二平面向量的数量积及坐标运算

1.平面向量的数量积

⑴概念

已知两个非零向量a和6,它们的夹角为。，我们把数量MIIMcos。叫作a与6的数量积（或内积）,

记作。"即a-Z>=|a||6|cos。，并规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0.

（2）几何意义

①向量的投影:a|cos6（步|cos。）叫作向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.

②向量的数量积:数量积ab等于a的长度⑷与》在a方向上的投影|"cos6的乘积.

（3）向量的夹角

已知两个非零向量a和。，作而=。.而=。,则/4。8=弥。$先180。）叫作向量。与6的夹角.如果

向量a与b的夹角是90。,我们说a与b垂直，记作alb.

2.平面向量数量积的运算律

已知向量a/,c和实数力

①交换律:a-b-b-a;

②数乘结合律:（2a）仍=，a®=a,（助）（4GR）；

③分配律:（a+b>c=a-c+b-c.

3.平面向量数量积的性质

设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,。是。与e的夹角.

②e・〃=o・e=|a|cos。

③a9b=O.

④当a与b同向时•斤⑷网;当。与b反向时，。山=-|。|网.

特别地=|。产或I。I=^^石

⑤cos9=黑.

\a\\b\

®\a-b\<\a\\b\.

4.平面向量数量积的有关结论

已知两个非零向量。=(即ji)m=(X2j2),。为a与b的夹角.

I«I=VX1+71

a*b-x\X2+y\yi

a_Lb=x\X2^-yiy2=0

必工2+%，2

cos9=

J蜉+y《以+秃

典例制折

1.12020四川省闽中中学高三二模】已知向量々=(1,机)，5=(3,—2),且。+5),5,

则m=

A.-8B.-6

C.6D.8

【答案】D

［解析］'：a=(1,m),h=(3,-2),:.a+b=(4,m-2),

又(1+B)_L5,A3X4+(-2)x(m-2)=0,解得，w=8.

故选D.

2.12020河北省高三月考】已知向量万满足同=后，出|=1,且W+W=2,则向

量£与五的夹角的余弦值为

A近3丘C及D近

2384

【答案】D

21

【解析】由题意可知：忖+1「二7+2万万+万2=3+2£/=4,解得：展5=].

_丁a-b1A/2

COS<Cl、b〉=--r^r-..-=---

同W2724•

故选：D.

3.【2020湖北省高三零模】已知向量万，5满足回=4,日在M上投影为-2,则卜-3同的

最小值为

A.12B.10C.V10D.2

【答案】B

【解析】5在]上投影为一2,即F|COS<G,5>=-2.

•.•|/?|>(),:.cos<a,bxQ>

Xcos<>€[-1,0),|^|mjn=2,

|a-3^|=a2-6ab+9b2=|a|"-6|a||z?|cos<a,b>+9|/?|=9同+64,

/.=—9x4+64=10.

IImin

本题选B.

空检测训练

qJ4J

题组一（真题在线）

1.【2020年高考全国II卷文数】已知单位向量”，加勺夹角为60。，则在下列向量中，与b垂

直的是

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-h

2.【2020年新高考全国I卷】已知尸是边长为2的正六边形ABCQEF内的一点，则A6A豆

的取值范围是

A.(—2,6)B.(-6,2)

c.(-2,4)D.(-4,6)

3.【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a,6满足|a|=2|"，且(。一万)_L6,则a

与6的夹角为

兀兀

A.—B.—

63

-2兀-5兀

C.—D.—

36

4.【2019年高考全国H卷理数】已知而=(2,3),恁=(3,。，阮=1,则福.觉=

A.-3B.-2

C.2D.3

5.【2020年高考全国I卷文数】设向量a=(1,—1),力=(相+1,2〃2-4),若。_16,则

m=.

6.【2020年高考天津】如图，在四边形ABC。中，ZB=6O°,AB=3,BC=6,且

AD=ABC,A力送方=——,则实数4的值为，若M,N是线段8C上的动点，

2

且|丽|=1,则方必•丽的最小值为.

—1——

7.【2020年高考北京】已知正方形A8CD的边长为2,点尸满足AP=—(AB+AC),则

2

\PD\=；PBPD=----------

8.【2020年高考浙江】已知平面单位向量4,02满足|25々2区也.设4=4+02,6=3竹+©2,

向量。，方的夹角为。，则cos?8的最小值是.

9.【2019年高考全国III卷理数】已知小匕为单位向量，且“。=0,若c=2a-也b,则

cos(a,c)=.

10.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABC。中,

AD//BC,AB=2瓜AD=5,NA=3()°,点E在线段CB的延长线上，且

AE=BE,则8/57斤=.

题组二

1.【2020全国高三月考（理）】如图，在AABC中，AB=4,AC=2五,NB4c=135。,

。为边BC的中点，且㈤豆=后方，则向量的的模为（）

A.叵B.述C.叵或。D,叵或述

222222

2.【2020山东济宁•高三其他模拟】已知点M是边长为2的正方形ABC。的内切圆上一动

点，则加.标的取值范围是（）

A.[-1,0]B.[-1,3]C.[0,3]D.[-1,4]

3.【2020湖南长郡中学高三月考】若平面向量»满足同=忖=万石=2,则对于任意

实数；I,|然+。一/网的最小值是（）

A.百B.也

2

C.2D.1

4.【2020河南省高考模拟】已知平面内的两个单位向量），砺，它们的夹角是60。，OC

与砺、砺向量的夹角都为30。，且|双|=26,若反=彳函+〃而，则4+〃值为

A.2GB.473C.2D.4

5.12020沙坪坝重庆八中高三月考】已知向量2=（应,1）,B=（cos，,sin6）（0骸/），则下

列命题正确的是（）

A.若。J_。，则tan0-V2

B.若B在Z上的投影为-]I，则向量£与B的夹角为2千7r

c.存在e,使得i£+川=|£|+|加

D.£石的最大值为百

TT

6.12020重庆西南大学附中高三月考】如图，oABCD中，AB=1,AD^2,ZBAD^-,E

为CO的中点，AE与。B交于F,则下列叙述中，一定正确的是（）

A.乔在府方向上的投影为0

mm1uun7

B.AF=-AB+-AD

33

L1UULILIU

C.AFAB=1

D.若。=:/用5,则tana=^

23

UUIUULU---------------------

7.【2020全国高三月考（理）】已知AABC的重心为G,A£>=XAB，AE=〃AC,其

11

中0<2,//<1,且。，G,E共线，则彳+―=_____.

X"

8.12020湖北省鄂州高中高三月考】在AABC中，通=（0,2）,CB=（V3,1）,则ZR4c

的大小为.

9.12020甘肃省武威十八中高三期末】已知向量）=（1,2）,万=（2,1）,c=（\,n）,若

（2a-3万）±c,则〃=.

10.12020江西省宁都中学高三月考】如图所示,已知点G是AA5c的重心，过点G作直线

UUUUUUULMLILIU1

分别交AB，AC两边于M,N两点，且AM=xAB，AN=yAC，则3x+y的最

小值为.

G

BV

翁答案解析

题组一

1.D

【解析】由已知可得：£%=同网cos60-xlxg=g.

A：因为0+4)4=£彳+2后2=_1+2*1=3/0,所以本选项不符合题意；

22

2j

B：因为(2£+杨彳=2£彳+市=2x—+l=2w0,所以本选项不符合题意；

2

C：因为(£一2杨％=£%—2片=‘-2X1=-3WO,所以本选项不符合题意;

22

一一一---21

D：因为(2a—力•各=2“小—Z?=2x----1=0,所以本选项符合题意.

2

故选：D.

2.A

【解析】如图，

4后的模为2,根据正六边形的特征，

可以得到正在A月方向上的投影的取值范围是(-L3),

结合向量数量积的定义式,

可知而・丽等于A分模与而在A2方向上的投影的乘积，

所以丽•通的取值范围是(-2,6)，

故选：A.

3.B

【解析】因为(。一力)_1_8，所以(G-〃)小一〃2=0,所以所以cos6=

2

ab|ft|1八兀

E^=—=5,所以。与b的夹角为二，故选B.

\a\'\b\2\b\23

4.C

【解析】由宓=不亍一而=(1/一3)，|碇|=J/+«_3)2=1,得,=3,则就=(1,0),

AB.BC=(2,3).(l,0)=2x14-3x0=2.故选C.

5.5

【解析】由a_L〃可得Q・B=0，

又因为Q=(1,-1),坂=(m+1,2m-4),

所以a4=1++(-l)-(2m-4)=0,

即，”=5,

故答案：5.

，113

6.—；——

62

【解析】vAD=ABC.:.AD//BC,

/BAD=180-NB=12(T，

A6-AD=2BC-AB=A|Z?C|-|AB|COS120

=Xx6x3xf—yj=—9A=-g,

解得4=

6

以点8为坐标原点，所在直线为入轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

/k

BM1

■-BC=6,.-.C（6,0）,

•；AB=3,ZABC=60。，A的坐标为

•.•又；则。:1上，，设加（乂0）,则N（x+l,0）（其中0WxV5）,

丽=[_上「理，丽/」「近，

122J122J

加.丽=｝一|卜|）+傍[=/_而+11

=（x-2）2+y,

_________________13

所以，当x=2时，DA/.。灯取得最小值标.

113

故答案为：—；—.

62

7.V5;-1

【解析】以点A为坐标原点，A3、A£＞所在直线分别为工、y轴建立如下图所示的平面直

角坐标系，

/

则点4（0,0）、5（2,0）、C（2,2）、D（0,2）,

IP=l（AB+AC）=1（2,0）+1（2,2）=（2,1）,

则点尸（2,1）,.•.丽=（-2,1）,方=（0,-1）,

因此，|叫=］（一2）2+尸=后,PBPD=0x（-2）+lx（-l）=-1.

故答案为：75;-1.

28

8.

29

【解析】Q2之一，区起，；.4一4〉之+142,

uir3

,•e\tei—~^y

uuuu

（。力?（4+4e*2）2（.作）

20二----------!---ITIT4l+3

cos1212

a-b（2+2q-^XlO+Ge,-e2）5+3q•e2

4八2、4八2、28

=-0--------N彳（1------------------T）

35+3ei-e23*5+3x-29-

4

上心心心、］28

故答案为：—

29

2

9.-

3

【解析】因为c=2a—石），ab-0<

所以a-c=2/-石。•方=2，

\c|2=4|a|2-4y[5a-b+5\b\1=9,所以|c|=3,

ac_2_2

所以cos（a,c）=

|a|-|c|1x331

10.-1

【解析】建立如图所示的直角坐标系，ZDAB=30°,AB=2瓜AD=5,则8（2石,0）,

因为AO〃BC,ZBAD=30°,所以NABE=30°,

因为AE=BE，所以N&4£=30。,

所以直线BE的斜率为手，其方程为y=与(x-2Ji),

直线AE的斜率为-、—,其方程为丁=一-—%.

y=^-(x-2>j3)

3

由《r-得x=6,y=-l,

73

y=----x

13

所以E(、万，一1).

所以丽•荏=(点卷

-).(V3,-1)=-1.

fJ

-14、0^45x

-1

E

-2〉

题组二

1.B【解析】因为A3=4，AC=20,ZBAC=135°,所以福=-8.

因为丽'=府_而=；而_幻3=-(AB+AC]-AB=--AB+-AC,

4、>44

所以瓯=/.而+；可一幕网翔祁』研名

故选：B

2.B【解析】建立坐标系如图所示，

设》(cos。,sin。),其中A(-L-1),80,-1),

易知凉(cos^+l,sin^+l)-(cos^-l,sin^+l)

=cos26-1+sin?8+2sin8+l=2sin8+l，

故选：B.

酢。网=爆.，

3.A【解析】由题意得，设向量夹角为氏

(〃+&(4。+(1-%历］=4+〃石=6,设3+万)与4a+(1—丸历的夹角为乙

二,+q.卜〃+(i-4)qcos7=6,2+目2=7+片+22石=12,

/.|>la+(1-2)^|cos/=^,/G0微卜卜4+(1_丸)目之6

故选：A

4.D【解析】由题意，可得反在NAQB的角平分线上，所以反=依函+砺),

再由反=2函+〃砺可得九=〃，KPOC=A(OA+dB),

再由|。4=26,

得26="2画+丽)2=^2^+2OAOB+OB2)=7>l2(l+2xlxicos600+l)，

解得2=2,故〃=2,所以>1+〃=4,

故选D.

5.BCD

【解析】若a_L8，则。・B=&cose+sine=0,则tan6=-J5，故A错误；

若B在£上的投影为一:，且|5|=1,则|B|cos&,万〉=一：，cos〈Z,B〉=V，故5正确；

若(£+母2=22+片+2£.B，(|£|+|/；1)2=|£「+I〃F+2|£|出|,若|£+引=|£|+|万|,则

a•b=\a\\b\cos〈a,b)=\a\\b\f即cos〈〃,5〉=1,故<>=0\a+b\=\a\+\b\,故C正

确；

〃•〃二&cos6+sine=6sin(8+9),因为0<。<兀，。<0<]，则当°时，a*b

的最大值为JJ，故。正确，

故选：BCD.

6.ABC

TT

【解析】因为在0ABe。中，A6=1,AO=2,N84O=9，在△A3。中，由余弦定理得

BD1=ABr+ADr-2AB-ADcosABAD=l2+22-2xlx2xcos60=3.所以满足

TC

AB2+BD2=AD2-所以=

ATDpAB_1

又E为CO的中点，所以——=——

EFDF~DE~2

所以8E=|BO=手，AF=dAB?+DF?=Jr+(等)=孝'

对于A选项：乔在4与方向上的投影为忸斗以）5乙钻尸=？一乂0=0，故A正确;

mmtiunmmuun91X111岫2/11r111nl\1111Hl2101

对于B选项：AF=AB+BF=AB+-BD=AB+-(BA+AD]=-AB+-AD故B正确；

33、/33f

in皿uun^2A1

对于c选项：A「AB=N-xlx亘=1,故c正确；

丁

对于D选项：tanNE48=3叵，设。=」/B48,所以tanNE48=?tan?=空，解得

321-tan2a3

tana=--（负值舍去），故D不正确,

2

故选：ABC.

7.3

【解析】•「△ABC的重心为G,...AG=；（而+/）,

vD,G,E共线，则存在实数加，使得而=加南+（1—加）醺,

二；A5+；AC=mAD+—in)AE-AmAB+/u(\-m)AC,

,1

Am=—

1,1

3解得*豆d豆'

〃(1_〃?)=;

故答案为：3.

c兀

8.一

3

【解析】由题意，得/=丽+元=而_而=(0,2)_(且,1)=卜6,)

因为河卜网=|网=2,

TT

所以△ABC为正三角形，从而ZBAC=—.

3

9.4

【解析】25-35=(-4,1),

•.,(21-3石)_1_0,；.(21-3孙c=0,/.n=4.

故答案为4.

10.2

3

UULT]UULTUUUI1UL1I1I

【解析】根据条件：AC=-AN,AB=-AM,

yx

mi1lun1iuruuuiLIILMIIiux

又AG——ABH—AC,***AG=——AM+--AN.

333x3y

11।

又M,G,N三点共线,・..「+丁=L

・・・x>0,y>0,

fl

3x+y=（3x+y）一十一

3yJ

，3x+y的最小值为史2叵,

3

xy

当且仅当丁费时"=”成立.

JJ-AsVcfa4+2\/3

故答案为———.

3

考点22年面向量的应用---

正余核定理

63—％-3.巨］；+

4，巧足、「

【命题解读】

平面向量基的应用是考试经常出现的，尤其是正余弦定理，是高考必考知识点之一,

纵观每年的高考题，都有正余弦定理的题目，对于这部分的考察主要是以大题为主，偶尔会

出现填空或者选择，主要是掌握正余弦定理的应用。

【命题预测】

预计2021年的高考平面向量的应用及正余弦定理肯定还是以解答题的形式出现，主要

出现在第17题的位置，需要加强题目练习，掌握正余弦定理的知识点。

【复习建议】

I.了解平面向量的应用；

2.掌握正余弦定理的知识点；

3.理解正余弦定理在解题中的应用。

考向一正弦定理与余弦定理

1.正弦定理

~~r~7==(其中R是△ABC的外接圆的半径)

sinAs\nBsinC

⑴〃=2RsinA力=2RsinB,c=2RsinC;

(2)a:b:c-sinA:sinB:sinC;

(3)sinA=MsinB=&inC=^~;

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