高考数学 数列的综合应用课后作业 文 新人教A版

课后作业(三十三)数列的综合应用一、选择题1．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝()A．2B．4C．8D．162．(2012·北京高考)已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是()A．a1＋a3≥2aB．aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,3)≥2aeq\o\al(2,2)C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a23．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N*)，第k项满足750＜ak＜900，则k等于()A．8B．7C．6D．54．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为()2412xyzA.1B．2C．3D．45．各项均为正数的等比数列{an}的公比q≠1，a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq\f(a3a4＋a2a6,a2a6＋a4a5)＝()A.eq\f(\r(5)＋1,2)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1－\r(5),2)D.eq\f(\r(5)＋1,2)6．(2013·西安质检)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A．①和⑳B．⑨和eq\o(○,\s\up1(10))C．⑨和⑪D.eq\o(○,\s\up1(10))和⑪二、填空题7．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为________．8．(2012·湖南高考)对于n∈N*，将n表示为n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，当i＝k时，ai＝1；当0≤i≤k－1时，ai为0或1.定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn＝1；否则bn＝0.b2＋b4＋b6＋b8＝________．9．对正整数n，若曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{eq\f(an,n＋1)}的前n项和为________．三、解答题10．(2012·重庆高考)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．11．(2012·安徽“江南十校”高三联考)若数列{an}满足：a1＝eq\f(2,3)，a2＝2，3(an＋1－2an＋an－1)＝2.(1)证明数列{an＋1－an}是等差数列；(2)求使eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)＞eq\f(5,2)成立的最小的正整数n.12．(2013·长沙模拟)一企业的某产品每件利润100元，在未做电视广告时，日销售量为b件．当对产品做电视广告后，记每日播n次时的日销售量为an(n∈N*)件，调查发现：每日播一次则日销售量a1件在b件的基础上增加eq\f(b,2)件，每日播二次则日销售量a2件在每日播一次时日销售量a1件的基础上增加eq\f(b,4)件…，每日播n次，该产品的日销售an件在每日播n－1次时的日销售量an－1件的基础上增加eq\f(b,2n)件．合同约定：每播一次企业需支付广告费2b元．(1)试求出an与n的关系式；(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大，求每日电视广告需播多少次．解析及答案一、选择题1．【解析】∵数列{an}是等差数列，∴a3＋a11＝2a7由2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0得4a7－aeq\o\al(2,7)＝0，又an≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝beq\o\al(2,7)＝42＝16.【答案】D2．【解析】设{an}的公比为q(q≠0)，则a2＝a1q，a3＝a1q2，∴aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,3)＝aeq\o\al(2,1)(1＋q4)≥aeq\o\al(2,1)·2q2＝2aeq\o\al(2,2).【答案】B3．【解析】由an＋1＝3Sn及an＝3Sn－1(n≥2)，得an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)，又a2＝3S1＝3，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，（n＝1），,3×4n－2，（n≥2），))又750＜ak＜900，验证k＝6.【答案】C4．【解析】由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为eq\f(1,2)的等比数列，故有x＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，eq\f(5,2)，故第四列的公比为eq\f(1,2).∴y＝5×(eq\f(1,2))3＝eq\f(5,8)，同理z＝6×(eq\f(1,2))4＝eq\f(3,8).因此x＋y＋z＝2.【答案】B5．【解析】由题意知，a3＝a2＋a1，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，又q＞0，∴q＝eq\f(1＋\r(5),2)，∴eq\f(a3a4＋a2a6,a2a6＋a4a5)＝eq\f(aeq\o\al(2,1)q5＋aeq\o\al(2,1)q6,aeq\o\al(2,1)q6＋aeq\o\al(2,1)q7)＝eq\f(1＋q,q（1＋q）)＝eq\f(1,q)＝eq\f(\r(5)－1,2).【答案】B6．【解析】设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i个树坑距离的和是S＝10(i－1)＋10(i－2)＋…＋10(i－i)＋10[(i＋1)－i]＋…＋10(20－i)＝10[eq\f(（i－1＋1）（i－1）,2)＋eq\f(（1＋20－i）（20－i）,2)]＝10(i2－21i＋210)．∴当i＝10或11时，S有最小值．【答案】D二、填空题7．【解析】由题意知aeq\o\al(2,3)＝a1·a7，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴等比数列{bn}的公比q＝eq\f(a3,a1)＝eq\f(a1＋2d,a1)＝2.【答案】28．【解析】依据所给定义：2＝1×21＋0×20，b2＝1；4＝1×22＋0×21＋0×20，b4＝1；6＝1×22＋1×21＋0×20，b6＝0；8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，b8＝1.故b2＋b4＋b6＋b8＝3.【答案】39．【解析】由题意，得y′＝nxn－1－(n＋1)xn，故曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线的斜率为k＝n2n－1－(n＋1)2n，切点为(2，－2n)，所以切线方程为y＋2n＝k(x－2)．令x＝0得an＝(n＋1)2n，即eq\f(an,n＋1)＝2n，则数列{eq\f(an,n＋1)}的前n项和为2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2.【答案】2n＋1－2三、解答题10．【解】(1)设数列{an}的公差为d，由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋2d＝8，,2a1＋4d＝12，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2.))所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，即an＝2n.(2)由(1)可得Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n（2＋2n）,2)＝n(n＋1)．因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以aeq\o\al(2,k)＝a1Sk＋2.从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.11．【解】(1)证明由3(an＋1－2an＋an－1)＝2可得：an＋1－2an＋an－1＝eq\f(2,3)，即(an＋1－an)－(an－an－1)＝eq\f(2,3)，∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝eq\f(4,3)为首项，eq\f(2,3)为公差的等差数列．(2)由(1)知an＋1－an＝eq\f(4,3)＋eq\f(2,3)(n－1)＝eq\f(2,3)(n＋1)，于是累加求和得：an＝a1＋eq\f(2,3)(2＋3＋…＋n)＝eq\f(1,3)n(n＋1)，∴eq\f(1,an)＝3(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))，∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)＝3－eq\f(3,n＋1)＞eq\f(5,2)，∴n＞5，∴最小的正整数n为6.12．【解】(1)由题意，电视广告日播k次时，该产品的日销售量ak满足ak＝ak－1＋eq\f(b,2k)(k∈N*，a0＝b)，∴an＝b＋eq\f(b,2)＋eq\f(b,22)＋…＋eq\f(b,2n)＝eq\f(b[1－（\f(1,2)）n＋1],1－\f(1,2))＝b(2－eq\f(1,2n))，(n∈N*)．所以，该产品每日销售量an(件)与电视广告播放量n(次/日)的关系式为an＝b(2－eq\f(1,2n))，(n∈N*)．(2)该企业