地球物理计算方法秋一章插值

地球物理计算方法

地球物理与信息技术学院课堂情况反馈复习问题（插值问题）数值方法（拉格朗日插值）误差分析（余项定理）上节课讲了些什么？拉格朗日插值：问题：方法：复习已知函数y=f(x)在n+1个节点x0,x1,x2,..xn，上的函数值y0,y1,y2,..yn，求任意一点x’的函数值f(x’),构造一个n次代数多项式pn(x)函数来替代未知（或复杂）函数y=f(x),则用pn(x’)为函数值f(x’),的近似值。设构造pn(x)即是确定n+1个多项式的系数拉格朗日插值：方法：存在性复习当n+1个点的横坐标x0,x1,x2,..xn互不相等，则总能够构造唯一的n次多项式函数pn(x)，使pn(x)也过这n+1个点，即pn(x)存在且唯一。拉格朗日插值：方法：线性插值复习插值基函数：插值系数：

y0，

y1拉格朗日插值：方法：抛物线插值复习拉格朗日插值：方法：n次插值复习拉格朗日插值：误差分析：余项定理复习当函数f(x)在区间[a,b]上连续且n+1阶可导，则总存在，使得：其中：第1章插值方法1.5牛顿插值公式拉格朗日插值多项式构造简单，结构紧凑内容引入已知:函数在n+1个点的值(x0,y0),(x1,y1),….(xn,yn),求:当x=x’时，y’的值。拉格朗日插值的缺点：无承袭性牛顿插值：具有承袭性的插值公式若计算发现插值精度不够，想增加插值节点，则所有插值基函数lk(x)都要重新计算。泰勒插值具有承袭性：线性插值的结果不精确，那么再加上一项，就变成了泰勒抛物插值。其中：插值系数：把多项式Pn(x)表示为如下一般形式：1.1承袭性的插值公式基函数：

待定系数ci确定？办法：可由个插值条件确定依次递推可得c3,c4……cn,为给出一般表达式，引进差商的定义：因变量之差和自变量之差之比叫差商。

一阶差商：

二阶差商：(一阶差商的差商）定义2.差商及其性质n阶差商：……零阶差商：

f[xi,xj,xk]是指f[xi,xj,xk]=f[xj,xk]-f[xi,xj]xk-xi一般的,可定义区间[xi,xi+1,…,xi+n]上的n阶差商为

差商计算可列差商表如下：

差商表xi=1,2,3,4,5时，f(xi)=1,4,7,8,6，求四阶差商：-1/3-1/61/24-2ABCD提交单选题2分21(1)差商与函数值的关系：函数f(x)

的n阶差商f[x0,x1,…,xn

]可由函数值f(x0),f(x1),…,f(xn)

的线性组合表示为：差商的性质：(2)差商与它所含节点次序无关．-----------

对称性

223、差商表示牛顿插值多项式思路：对于n+1个插值节点及其样本值，我们可以计算各阶差商;根据差商的概念，把差商与牛顿多项式的插值系数ci联系起来；牛顿插值多项式用差商表示;令：其中：牛顿插值公式余项（截断误差）25由插值多项式的唯一性可知：n次牛顿插值多项式与n次拉格朗日插值多项式完全相同，只是表达形式不同。故，拉格朗日余项定理与牛顿余项定理相同：性质3n阶差商和n阶导数之间有下列关系则牛顿插值公式又可以写为：各插值节点全部趋近于x0时，有：

泰勒插值是牛顿插值在极限条件下的特例。28牛顿插值公式特点：（1）承袭性：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即（2）利用差商表，计算多点插值，比拉格朗日插值公式计算方便。29例1：已知函数f(x)当x=-2,-1,0,1时，其对应函数值为f(x)=13,-8,-1,4。求f(0.5)的值。解：根据已知点，填写以下差商表：xiyi一阶差商二阶差商三阶差商*-2131-1-8-21(x+2)0-1714(x+2)(x+1)145-1-5(x+2)(x+1)x30流程图：（了解）差分形式的插值公式（了解）：

当节点等距时，利用差分的概念，可使Newton插值多项式得到简化。定义（向前差分）设有等距节点xi=x0+ih(i=0,1,…,n),其中h>0是步长。记fi=f(xi)(i=0,1…,n)⊿fi=fi+1-fi称为f(x)在点xi处的一阶向前差分。⊿nfi=⊿n-1fi+1-⊿n-1fi称为f(x)在点xi处的n阶向前差分。规定fi=⊿0fi

为f(x)在点xi处的零阶差分。定义(向后差分)设节点xi=x0+ih(i=0,1,…,n),其中h>0

是步长。记fi=f(xi)(i=0,1…,n)▽fi=fi-fi-1

称为f(x)在点xi处的一阶向后差分。▽nfi=▽n-1fi-▽n-1fi-1

称为f(x)在点xi处的n阶向后差分。规定fi=▽0fi

为f(x)在点xi处的零阶差分。定义(中心差分)设节点xi=x0+ih(i=0,1,…,n),其中h>0

是步长。记fi+1/2=f(xi+1/2)

(i=0,1…,n)δfi=fi+1/2-fi-1/2

称为f(x)在点xi处的一阶中心差分。δnfi=δn-1fi+1/2-δn-1fi-1/2称为f(x)在点xi处的n阶中心差分。规定fi=δ0fi

为f(x)在点xi处的零阶差分。33差分与差商的关系34Newton向前插分公式：Newton向后插分公式：以下说法错误的是：拉格朗日插值与牛顿插值都是代数插值方法对于同一插值问题，相同次数的拉格朗日插值多项式与牛顿插值多项式是相同的对于同一插值问题，相同次数的拉格朗日插值基函数与牛顿插值基函数是相同的对于同一插值问题，相同次数的拉格朗日插值与牛顿插值的截断误差是相同的ABCD提交多选题2分第1章插值方法1.6埃尔米特插值问题已知:函数y=f(x)在n+1个点的值x0,x1,x2,…xn,上的函数值y0,y1,….,yn,及其导数值y’0,y’1,….,y’n。求:当x=x’时，y=f(x’)的值。1、pn(x)与f(x)在插值节点相等（插值的基本条件）2、在节点上