南昌十中2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第20页/共21页南昌十中2022—2023学年上学期期中考试高二数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上.2.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效.作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损.3.考试结束后，请将答题纸交回.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数满足，其中虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将复数化简为，再求模长即可.【详解】由已知可得，则，所以得模为.故选：.2.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（）A.30° B.120°C.60° D.150°【答案】B【解析】【分析】由直线的方向向量求出斜率，进而求出倾斜角.【详解】因为直线的方向向量为：，所以直线斜率,则倾斜角为120°.故选：B.3.直线与直线平行，那么的值是（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行的等价条件列方程组，解方程组即可求解.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得：，故选：B.4.已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出投影向量公式，即可计算求解.【详解】在上的投影向量故选：C5.过点，且斜率为负数的直线l与函数的图象相交于A，B两点，若M是线段AB上的一个三等分点，则直线l的斜率为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】联立直线与抛物线方程得韦达定理，由三等分点得，结合韦达定理即可求解.【详解】由于直线过点，且斜率为负数，故可设直线的方程为，联立与可得，设,则，由于M是线段AB上的一个三等分点，所以，进而可得所以，故选：A6.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】把直线与双曲线方程联立消去，利用和联立，即可求得的范围.【详解】联立方程组，整理得，设方程的两根为，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，则满足，解得，又由，解得,所以的取值范围是.故选：D.7.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为（）A.(1，1，1) B. C. D.【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：设交于点，连结，因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，，点在上，且平面，所以，又，所以是平行四边形，所以是的中点，因为，所以，故选C．考点：空间直角坐标系中点的坐标．8.已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】设，据双曲线的定义可用表示，作，构造直角三角形可计算得，并用勾股定理列出了，进而可求.【详解】设，则，从而，进而.过作，则.如图：在中，，；在中，，即，所以.故选：A【点睛】（1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义；（2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于的齐次等式，再化为的等式可求；（3）此题的关键是作得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立的齐次等式.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）9.已知向量，下列等式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据条件可得出，然后可看出选项A的等式的左边是向量，右边是实数，显然该等式不成立；进行数量积的运算即可判断选项B，C都正确；根据和即可判断选项D正确．详解】，∴，A：，∴该等式错误；B：，，∴该等式正确；C：，∴该等式正确；D：，，∴，∴该等式正确．故选：BCD．10.若函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A.的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.D.是函数图象的一个对称中心【答案】ACD【解析】【分析】根据图象求得的解析式，然后根据三角函数的周期性、对称性求得正确答案.【详解】由图可知，，由于，所以，所以，所以的最小正周期为，A选项正确.，所以B选项错误.，所以C选项正确.，所以D选项正确.故选：ACD11.如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（）A.直线平面 B.C.三棱锥的体积为 D.异面直线与所成的角为【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，，所以，即，所以，故B正确；，，，设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；设平面的法向量为，则，即，取，则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；，故C错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.12.已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则（）A.直线AB的斜率为 B.C. D.为钝角【答案】CD【解析】【分析】由，以及抛物线方程求得,，再由斜率公式判断A；表示出直线的方程，联立抛物线求得，，即可求出判断B；由抛物线的定义求出，即可判断C；由，求得为钝角，可判断D．【详解】对于A，易得，，由，则的横坐标为，代入抛物线可得，即，，则直线的斜率为，故A错误；对于B：由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，，则，则，代入抛物线得，解得，则，，故，故B错误；对于C,，故C正确；，，，则为钝角，故D正确．故选：CD．三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，若，则_____.【答案】27【解析】【分析】根据向量平行得到，代入数据计算得到答案.详解】，则，即，故，故.故答案为：.14.如果直线l：与椭圆C：总有公共点，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据直线所过的定点与椭圆的位置关系进行求解即可.【详解】直线l：过定点，因为直线l：与椭圆C：总有公共点，所以点在椭圆内部或椭圆上，则有，故答案为：15.已知，，则_______.【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式可将已知等式化简为，根据可求得；根据同角三角函数关系，结合可求得结果.【详解】由二倍角公式可知：，又，即本题正确结果：【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.16.如图，，分别是双曲线C：的左､右焦点，以为直径的圆与C交于点B，弦与C交于A点，连接，若，则C的离心率为___________.【答案】【解析】【分析】根据以为直径的圆与C交于点B，得到，再由，设，，，然后利用双曲线的定义和勾股定理求解.【详解】因为以为直径的圆与C交于点B，所以，.设，则，.因为A，B是C上的点，所以，则，.在中，，即，则，所以C的离心率为.故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知平行六面体，，，，，设，，；（1）试用、、表示；（2）求的长度.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）用向量的线性运算求；（2）把（1）等式平方，由数量积的运算求模．【详解】解：（1）（2），，所以．的长度为．18.在中，的外接圆半径.（1）若，求及边长；（2）求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)根据同角基本关系结合题意可得，在中，利用，即可求出的值；再根据正弦定理，即可求出的值;（2）结合正弦定理，和平面向量数量积公式以及辅助角公式，利用正弦三角函数的性质即可求出取值范围.【小问1详解】解：因为，且所以，又，且所以；由正弦定理可知所以.【小问2详解】解：∵，由正弦定理可得∴，∵，∴，∴，所以的取值范围为．19.平面直角坐标系中，直线，设圆经过，，圆心在上.（1）求圆的标准方程；（2）设圆上存在点P，满足过点P向圆作两条切线PA，PB，切点为，四边形的面积为10，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用代入法，通过解方程组进行求解即可；（2）根据圆的切线性质，结合三角形面积公式、圆与圆的位置关系进行求解即可.【小问1详解】设圆的标准方程为，因为圆经过，，圆心在上，所以有，即圆的标准方程；【小问2详解】四边形面积10，而四边形是由两个全等的直角三角形组成，的面积为5，即，又，，，动点P的轨迹为以为圆心，以5为半径的圆，即点P在圆又点P在圆上，圆E与圆有公共点．，即，解得．实数m的取值范围为20.在直三棱柱中，，延长到，使，连结，得到多面体.

（1）证明：平面；（2）若，，求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行和面面平行的判定可证得平面平面，由面面平行的性质可得结论；（2）将多面体拆分为直三棱柱与四棱锥，根据棱柱和棱锥的体积公式分别求解即可.【小问1详解】连接，

，即，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；，平面，平面，平面；，平面，平面平面，又平面，平面.【小问2详解】多面体为直三棱柱与四棱锥构成的组合体；作，垂足为，

平面平面，平面平面，平面，平面，即为四棱锥的高；，，，，又，；，，为等比三角形，，又，；多面体的体积.21.已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为.求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据离心率以及短轴长，结合的关系即可求解，（2）联立直线与椭圆方程，由两点斜率公式，结合韦达定理即可化简求解.【小问1详解】由题意可知：，解得，所以椭圆方程为【小问2详解】由于，当直线无斜率时，此时直线方程为，此时关于轴对称，显然满足，当直线有些率时，可设直线方程为，联立直线与椭圆方程，设，则，，,，将代入可得，所以，综上可知：22.已知双曲线C经过点，且渐近线方程为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）点A为双曲线C的左顶点，过点作直线交双曲线C于M、N两点，试问，直线AM与直线AN的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）为定值.【解析】【分析】（1）根据渐近线可设双曲线方程为，代入经过的点即可求解，（2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，由斜率公式得斜率之和的表达式，将韦达定理代入化简即可求解.【小问1详解】由渐近线方程为，可设双曲线方程为，将点代入双曲线方程