5.1任意角和弧度制（七大考点）（原卷版）

任意角和弧度制1.了解任意角的概念,区分正角、负角、零角与象限角；2.理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角所组成的集合；3.了解角度制与弧度制的概念,能进行弧度和角度的互化；4.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.一、任意角1.任意角（1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．（2）角的表示如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边．“角”或“”可以简记成“”．（3）角的分类类型定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角（4）相等角与相反角①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称.②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为.③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.④角的减法可以转化为角的加法．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．（1）为任意角，“”这一条件不能漏；（2）与中间用“”连接，如可理解成．二、弧度制1．角的单位制（1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．（2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．2．角度与弧度的换算角度化弧度弧度化角度度数弧度数弧度数度数3．扇形的弧长公式及面积公式弧长公式面积公式角度制弧度制（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制．（2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①考点01与任意角有关的概念辨析1．下列命题正确的是（

）A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．小于的角是锐角D．集合内的角不一定是钝角2．如图，花样滑冰是冰上运动项目之一．运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．运动员顺时针旋转两圈半所得角的度数是，逆时针旋转两圈半所得角的度数是．3．（多选）下列命题不正确的是（

）A．终边相同的角都相等 B．钝角比第三象限角小C．互为相反的两个角关于轴对称 D．锐角都是第一象限角4．（多选）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（

）A．小赵同学说：“经过了5h，时针转了．”B．小钱同学说：“经过了40min，分针转了．”C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35时，时针与分针所夹的钝角为．”D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．”5．时针走过1小时30分钟，则分钟转过的角度是.考点02终边相同的角的表示及应用6．终边落在直线上的角的集合为（

）A． B．C． D．7．（多选）与463°角终边相同的角可以表示为（

）A． B． C． D．8．在与角终边相同的角中最大的负角是；最小的正角是.9．写出与的角终边重合的所有角组成的集合．10．写出终边在如图所示的直线上的角的集合．考点03象限角和区域角的表示11．已知α是第二象限角，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角12．如果角α为锐角，那么，所在的象限是．13．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

14．在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)；(2)；(3)．15．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.16．写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．(1)

(2)

考点04判断所在象限17．若角的终边落在第三或第四象限，则的终边落在（

）A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限18．若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角19．（多选）已知是第三象限角，则不可能是第几象限角（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限20．（多选）若是第三象限的角，则可能是（

）A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角21．已知角的终边在第四象限.（1）试分别判断、是哪个象限的角；（2）求的范围.考点05角度与弧度的互化与应用22．3rad是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四23．（多选）把表示成，的形式，则值可以是（

）A． B． C． D．24．（多选）下列转化结果正确的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是25．将下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)326．将下列角度与弧度进行互化：(1)；(2)；(3)；(4)．考点06用弧度制表示角的集合27．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（

）A． B．C． D．28．终边与坐标轴重合的角的集合为．（弧度制表示）29．用弧度制写出终边落在直线上的角是．30．在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中31．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).考点07扇形的弧长公式及面积公式32．扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（

）

图1

图2A． B． C． D．33．设扇形周长为，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为（

）A．12 B．16 C．18 D．2434．某时钟的分针长，时间从12：00到12：25，求：(1)分针转过的角的弧度数；(2)分针扫过的扇形面积；(3)分针尖端所走过的弧长（取，计算结果精确到）．35．已知两圆锥的底面积分别为、，其侧面展开图中圆心角之和为，则两圆锥的母线长之和的最小值为（

）A． B． C． D．36．扇形的周长为.(1)若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.37．已知扇形的圆心角为，半径为．(1)若，，求扇形的周长和面积；(2)若扇形的面积是定值，求扇形的周长最小时，圆心角的值．基础过关练1．与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．2．已知为第二象限角，那么是（

）A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角3．已知扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角的弧度数是（

）A．2 B．1 C． D．44．下列命题中，正确的是（

）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角C．若两个角的终边重合，则这两个角相等D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关5．（多选）与角终边相同的角的集合是（

）A． B．C． D．6．（多选）下列说法正确的是（

）A．1弧度的角与的角一样大B．三角形的内角必是第一或第二象限角C．若是第三象限角，则是第二或第四象限角D．终边在轴正半轴上的角的集合为7．已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是．8．如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则．9．沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算．10．在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在轴的非负半轴上；(2)终边在上．11．设角.(1)将角用弧度表示出来，并指出它是第几象限角；(2)将角用角度表示出来，并在内找出与它终边相同的角.12．时钟的分针长5cm，从到，分针转过的角是多少弧度？分针扫过的扇形面积是多少？分针尖端所走过的弧长是多少？（取，计算结果精确到）能力提升练1．设，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．2．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与太阳光线所成的角约为.他又派人测得，两地的距离km，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（

）（）A．km B．km C．km D．km4．（多选）下列结论中不正确的是（

）A．终边经过点的角的集合是B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角D．，，则5．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是．6．（1）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为，分针转过的角的度数为．（2）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则．7．如图，扇形半径为6，阴影部分周长为，则矩形面积等于.8．（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合