多导体传输线频域分析

多导体传输线频域分析

班级:硕3019姓名:郑亚茹学号:3113079008频域多导体传输线方程n+1导体传输线的通解结合终端条件集总电路近似形式1234MENU2n端口表征5计算实例6n+1个导体构成的多导体传输线MTL方程的频域解基本条件：（1）传输线激励源为正弦波（2）传输线上的电压和电流处于稳定状态求解基本方法：相似变换对相量MTL方程解耦1.频域多导体传输线方程假定随时间变化的传输线的激励源是正弦波并处于稳态。因此，传输线上的电压和电流也是与激励源同频率，具有幅值和相位的正弦波。这样，n个传输线的是与电压和电流能够根据它们的相量形式按通常的方式获得n个传输线上的时域电压和电流为用jw替换时域MTL方程中的时间导数，MTL矩阵形式的频域方程由第三章的方程给出其中，和分别为n条传输线上的电压电流组成的列向量，单位长度阻抗矩阵和导纳矩阵如下因为对称性，和是对称矩阵，因此式(7—1)是一组耦合的复系数常微分方程(电压和电流耦合)，将方程两边关于传输线的位置z微分并相互代换，可将其化解为解耦的常微分方程因为和不能互易，应注意乘积项的正确顺序，假定单位参数长度矩阵与z无关，即传输线横截面的尺度和传输线周围介质的特性沿传输线是均匀不变的，换言之，传输线是均匀的。2.n+1导体传输线的通解2.1MTL方程通过相似变换解耦式(7—4)中的和是满秩阵，因此每组电压会影响其他组的电压，电流也一样，求解的基本思想是采用相似变换对方程进行解耦，将二阶微分方程解耦成n组独立形式的双导体传输线方程，最后通过变量变换，将求解结果变换回到原始的电压电流为实现此法，进行如下模量变换其中，和是相量电压和相量电流，和是模电压和模电流，且和必须可逆。将其代入(7—4)，则有我们的目的是找到变换阵和，通过相似变换同时使得和对角化，以实现二阶方程的解耦，即其中是一个n阶对角阵这样就可解耦(7—6)的模方程，同时将产生对应于n个模量的n个传播常数上述问题是典型的特征值/特征向量问题，能够综述如下，希望找到一个n阶非奇异矩阵,以对角化一个n阶矩阵，即这样就可解耦(7—6)的模方程，同时将产生对应于n个模量的n个传播常数由于对称性，可选择因此，表征模电压和模电流的方程是解耦的，可以直接得到它的解为指数矩阵定义为和是n*1待定常数向量，它们与前向/反向模行波有关，利用式(7—5)，可以将求得的模电压和模电流变换回到传输线上实际的电压和电流上式中，传输线电压和电流的通解中包含4n个待定常数:4个n*1向量，，和。现在通过定义特征阻抗矩阵建立他们之间的关系，从而将待定常数的个数降低到2n个，将上式代入到式(7—2)中，可得2.2各类传输线的解

如前所述，求解MTL方程通解的过程过程假定，可以找到一个n×n的非奇异矩阵，来对角化对于实对称矩阵，我们可以进行正交变换，得到一个变换矩阵满足。

将需要对角化的乘积矩阵展开为

存在计算机子程序可以将其对角化，由于MTL的导体数n相当大，为了获得频域响应特性曲线，必须进行频域的重复性计算，在何种条件下可以获得高效稳定的对角化是很重要的，目的在于找到一个与频率无关的转换，这就需要和是独立于频率的，而且只需要计算一次。（1）置于有耗、均匀介质中的理想导体当R=0时，如果包围导体的介质是均匀的,参数为σ,ε,和μ，可得恒等式

此时,已经是对角化矩阵。内部电感为0，即，选择所有特征值相同且等于传播系数

特性阻抗矩阵变为

如果介质还是无损的，则传播常数变为这样衰减常数，相位常数是，传播速度变成

特性阻抗变为实数,由下式给出当R不等于零,但介质是均匀的,导体中，则变为

忽略内部导线电感，仅需要对角化CR,即的特征值为（2）置于有耗、均匀介质中的有耗导体

矩阵C是实对称正定矩阵，R是实对称矩阵。首先对矩阵C进行对角化

（U是正交矩阵，即）矩阵C的特征值为非零正数。矩阵也是实对称的，也可以通过正交矩阵进行对角化为结果表明以及因此于是可得

Eg:一种有损情况——耦合带状线，如果n个导体是相同的，假设参考导体是无损的，则,我们只需要对角化C.因此此时是一个频率无关的正交变换。从而通过变换到获得特征值。

理想导体R=0，无损耗G=0。无损介质一般都是不均匀的，不能利用,事实上,单位长度的电感矩阵和电容矩阵的乘积通常不是对角的,需要对角化的矩阵变成矩阵C是实对称正定矩阵，L是实对称矩阵,可对角化CL（3）置于无耗、非均匀介质中的理想导体这里，变换是实的，可由下式给出可如下获得U和S矩阵要求的特征值为将进行对角化特性阻抗矩阵是实的,变为给出下面两式其中和的特征向量是正交的.采用这种方法的一个例子是耦合微带线一般情况下，导体和和介质都是有损的，即且介质也不均匀，，我们只能寻求依赖于频率的转换矩阵，如下

这里存在的问题是变换矩阵是频率相关的,因此必须在每个频率下重复计算.对于复杂矩阵求特征值和特征向量的子程序，在每个频率处都需要调用一次，如果需要大量的频率响应，这是非常耗时的。（4）一般情况：置于有耗、非均匀介质中的有耗导体（5）循环对称结构

通过前面几节发现在变换过程中除了7.2.2.2节的情况下，变换是与频率无关的，一般情况，变换矩阵都依赖于频率。本节通过讨论MTLs方程的对称性结构，找到数值稳定的矩阵，使对角化。这种转换是独立于频率的，无论传输线是否有损，介质是否均匀，适用于一般情况。考虑到n个相同导体和一个参考导体，其中n导体有关于参考导体具有结构对称性，所以阻抗和导纳矩阵具有以下形式：为了使主对角线的各项相等，n个导体应该是相同，包围导体的介质也需要呈现出对称性(但可以使非均匀的)。

Eg:n个导体是具有绝缘介质的导线，如图1所示.则n根导线的绝缘介质必须具有相同的厚度和介电常数。参考导体无需满足这种条件。通常,一个循环对称矩阵定义为：由于每单位长度矩阵结构的特殊性,即它们每个都可以由同一变换进行对角化这里图1变换过程简单表示为：类似的，和的特征值（传播常数）很容易确定为因此,可以选择

其中和是n×n对角矩阵，对角线元素为：

Eg:以4导体（n=3)传输线为例，符合循环对称结构

导纳矩阵也具有相同的形式，变换矩阵变成特征值（传播常数）：其中,两个传播常数是相等的，将特性阻抗定义为：则特性阻抗矩阵变为：

在很多情况下，MTL都可以近似为一个循环对称结构，一种常见的情况分为三个阶段。高压传输线由三根线组成，为了减少临近电话线的干扰，三个导线经常定期调换。作为近似，假设每根线对地高度相等，相邻导线之间的间隔距离是相同的，有了这个假设，单位长度矩阵和具有循环对称结构，两个传播常数和是相等的，与空气中的传播模式有关。第三个传播常数，与地面的传播模式相关。这种转换被称为对称分量法。这样的线被认为是平衡的。在不平衡的情况下，例如一个阶段可能是对地短路的情况下，不能采用这种变换。

承载密集的绝缘线的电缆线束被认为是循环对称结构，沿线上某点任意位置所有的线都在工作，这就形成了一个n×n每单位长度阻抗和导纳矩阵的循环对称结构，类似于换位配电线路的特殊情况，非对角线元素均相等。如果我们假设导体是相同的，那么主对角线元素也是相等的：这种结构的对角化变换矩阵是实的,并且很容易获得为它的逆阵是特征值为：另一个常见的例子是三导体循环对称传结构.两个完全相同的线在地面的同一高度上，如图2所示.变换矩阵简化为：单位长度的阻抗和导纳矩阵变成图2传播常数为：

前面的学习多导体传输线方程的频域解法，通过矩阵符号来解决多导体传输线方程，核心问题就是通过相似变换进行对角化。在分析的过程中引入了一些基本的参数和定义形式，可以对传输线方程有更加深入地了解。定义特性阻抗为：可以得到特性阻抗矩阵：这一变换称为奇偶模式转换，已经被应用于对称耦合的微带线。前面给出的多导体传输线向量方程的一般解中n*1向量和,其中包含2n个待定常数因此，我们需要2n个额外的约束方程以便求解，如图7.3，这些约束方程由在z=0和z=L处的终端条件给出。激励源和负载阻抗包含在连接于传输线两端的终端网路中。图3（a）所示的在z=0处的终端约束网络提供了联系n个相电压和n个相电流的n个方程。图3（b）所示的在z=L处的终端约束网络提供了联系n个相电压和n个相电流的n个方程。本节最终目的是实现合并终端约束条件，明确确定终端电压和电流，完成解方程最后一步重要运算。3.结合终端条件图3n+1导体传输线终端约束建模联系n端口终端电压和电流的方法很多假使网络是线性的，那么端电压和电流将会是一个线性组合的关系将一个端口进行戴维南等效是有效的方法n×1向量和在终端网络的z=0和z=L处分别受到独立电压源和电流源的影响.n×n矩阵和在终端网络的z=0和z=L处分别受到阻抗和任意受控源的影响。和是满矩阵。因此，沿多导体传输线终端网络的端口之间形成交叉耦合。然而绝大多数情况是这些阻抗矩阵中的终端网络配置是对角的，耦合只发生在沿MTL的方向。如图4所示，用一个阻抗和一个电压源串联形成戴维宁等效，那么（7-65a）中的矩阵变成：3.1广义戴维南等值图4终端无耦合的广义戴维宁等效为了求解和中的2n个待定常数，将在z=0和z=L处（7-64）解的一般形式代入（7-65）给出的广义戴维南等效特性中得到将它们写成矩阵形式为：联立2n个方程组求解和，代入（7-64），可获得沿传输线任意z点处的电压和电流值。另一个合并终端条件的方法是将（7-65），给出的广义戴维宁等效终端关系代入2n端口链参数矩阵特性得到：方程()是一组n集合同步代数方程组,可以得出在z=0处的n个终端电流。继而，在z=L处的n个终端电流可通过（7-70）求得。2n个终端电压和可从（7-65）给出的终端的关系得到。

线性n端口端口电压和电流联系方法是：广义戴维南等效和广义诺顿等效。而在广义诺顿等效中

n×1向量和分别包含终端网络在z=0和z=L处独立电压源和电流源的影响，n×n矩阵和分别包含终端网络在z=0和z=L处阻抗和任意受控源的影响。但是这样沿多导体传输线终端网络的端口之间形成交叉耦合，然而最常见的情况是这些阻抗矩阵中的终端网络配置是对角的，耦合只发生在沿MTL的方向。

3.2广义诺顿等值如图5所示，每条传输线都直接终止在所选参考导体的z=0处，用导纳与电流源并联形成一个诺顿等效。那么，（7-71a）中的矩阵变为：图5无交叉耦合端口的广义诺顿等效

将其写成矩阵形式为：联立2n个方程组求解和，代入（7-64），可获得沿传输线任意z点处的电压和电流。一般方程（7-64）给出的2n个待定常数和可以通过在z=0和z=L处解方程得到。代入（7-71）给出的广义诺顿等效特性中得到：

另一个合并终端条件的方法是将（7-71）给出的诺顿等效终端关系代入（7-69）中得链参数表示得到：方程（7-70a）是一组n集合同步代数方程组,可以求解在z=0处的n终端电压。在z=L处的n终端电压可从（7-70b）求得。2n终端电流和可从（7-71）给出的终端的关系得到。

采取混合形式的原因:

1.参考电导短路—广义诺顿等效失效（终端导纳无穷大）—使用广义戴维宁效（短路相当于零负载阻抗）

2.导体和参考导体之间开路—广义戴维南等价不存在（终端阻抗无大）—使用广义的诺顿等效（终端导纳为0）

3.一端为广义戴维南，另一端为诺顿等效的混合等效（例：平衡电路中的双芯绞合线，不接参考地，此时终端网络需要混合表示）现在我们要获得求解复合表示的方程。将（7-65a）和（7-71b）

代入（7-64）给出的一般方程得到或者通过链参数矩阵3.3混合形式类似的，将（7-65b）和（7-71a）代入（7-64）给出的一般方程得到或者使用链参数矩阵上述混合表示可以描述一个网络终端存在短路终端，另一个网络终端存在开路终端的终端网络。短路、开路终端都存在的终端网络的处理有一个更通用的计算公式：其中和包含终端独立电源的影响，代入（7-80）给出的线电压电流表达式得到：集总电路的概念适用于的最大尺度在电气上是应当充分小的（，）电路

多导体传输线频域近似的方法—集总迭代结构

1）把传输线分成长度为L/N的N部分,如果每个部分的电气长度在特定频率下足够小，即，那么每个部分都可以用一个集总模型代替。2）随着频率增加传输线的分割必须更为精细。3）非线性终端例如晶体管和三极管由于集总电路中包含它们的复杂模型，因此容易被纳入终端。4）总的参数=段长度乘以每单位长度参数5）两种典型集总结构：Pi型和T型。T型图6Pi型和T型集总模型Pi型4.集总电路近似形式6）结构链参数矩阵

传输线整体链参数矩阵表示为集成总部分的N级联形式一旦获得这一总体链参数矩阵，终端条件合并，就能给出多导体传输线的终端电压和电流。

本节通过链参数，Z参数和Y参数研究多导体传输线的双端口特性。视多导体传输线有2n个端口，n个在左侧和n个在右侧，如图7所示。寻求Z=0和Z=L处的n个电压和n个电流之间的关系

图7用链参数矩阵，阻抗矩阵Z和导纳矩阵Y表示2n端口多导体传输线5.2n端口特征重写（7-4）给出的（n+1）导体构成的相量传输线方程，将其写为简洁的矩阵形式为这是一阶常微分方程，它们在形式上和描述自动控制系统及其他线性系统的状态变量方程相同。但MTL方程的自变量是线轴变量z而不是时间t，因此计算的时候，我们可以简单地将t替换为z，从而使用状态变量方程来求解MTL方程。解（7-84）给出的多导体传输线两点（）相量方程得

矩阵为状态转换矩阵，我们称之为链参数矩阵，可以写成：其中5.1频域MTL方程的状态变量方程类比选可以得到整个传输线的链参数矩阵将t换成z可得出链参数矩阵的性质：由（7-87）的逆可以得到：因此（7-89）给出的链参数矩阵的逆的特性是合乎逻辑的。链参数矩阵还存在另一个有用的恒等式，假设有两段完全相同的传输线长度分别为和，其链参数矩阵分别描述为和，总体链参数矩阵可以写作。传输线链矩阵的总长度,，那么：图8基本连参数矩阵定义举例根据该恒等式，可以建立具体如图8所示5.1频域MTL方程的状态变量方程类比用（7-87）给出的链参数矩阵来建立传输线两端相电压和相电流的关系。通过相似变换，求解多导体传输线在z=0和z=L处的向量方程，得链参数子矩阵：

5.2传输线的2n端口链参数矩阵表征并且，作为上述结果的检验，恒等式可以被满足通过计算Z=0和Z=L处的方程（7-13a）和（7-13b）的解可以得到另外一种形式：

由基本对角化我们可以定义矩阵乘积平方根如下：由表7.1有利用（7-90）并做乘法运算可以证明：同理定义：得到和的关系式：特性阻抗矩阵可象征性的写成：5.3链参数矩阵的性质与双导体传输线直接进行类比的附加符号定义可以通过定义双曲函数实现。首先，定义矩阵的指数形式：以及将关系式代入（7-91）和（7-93）得到考虑到矩阵指数，我们定义双曲函数矩阵为同理根据以上定义，（7-88）中链参数子矩阵可以被重新写成：将代入链参数矩阵形式得到将其相乘得出链参数子矩阵的特性：

由链参数子矩阵的级数展开式我们可以得出：代入（7-103）得到链参数子矩阵的定义：这种定义已经被证明在减少解MTL方程中的大型矩阵表达式方面有重要价值。

本节包含以下几点1）非均匀线线的横截面尺寸沿直线轴变化

2）单位长度的参数矩阵是z的函数

3）多导体传输线微分方程成为非恒定系数微分方程，尽管在周围介质为线性时其仍为线性，因此它与求解非线性微分方程的难度相近

4）一个简单的求解非均匀多导体传输线方程的近似方法是：将其看作离散均匀多导体传输线，忽略段间的相互作用，每段都近似为由链参数矩阵描述的均匀传输线模型

5）传输线的总链参数矩阵为5.4非均匀传输线的链参数矩阵近似6）链参数矩阵定义为：许多非均匀传输线都可以用这种形式来近似模型。一旦由（7-107）得到整条传输线的全部链参数矩阵，那么终端约束就能如7.3章所讲进行合并，从而终端电压和电流可以求解。利用均匀传输线段的链参数矩阵，由终端方程还能得到内部点的电压和电流，例如：第二小节传输线右端口的电压和电流可以由终端电压和电流得到。5.5阻抗和导纳参数矩阵特性阻抗和导纳参数矩阵也是联系电压和电流的一种方法。阻抗参数导纳参数两端的电流和按惯例我们定义为指向2n端口的。阻抗参数矩阵（在（7-110）中令电流为0）：在链参数矩阵中，令得到：由上式可以得出：2）令得到：由此推得：我们已经利用（7-88）和（7-101）给出的链参数矩阵定义来给出阻抗矩阵的等价形式，说明了传输线满足如下关系：类似的，令，可得集总Pi型和T型电路也可以由阻抗和导纳参数矩阵得出，将阻抗参数写作：导纳参数矩阵是阻抗参数矩阵的逆矩阵，用同样的方法可以得出：当传输线在某特定频率下的电气长度足够短时得到我们利用了（7-99）的级数展开和（7-96a）的定义以及将（7-120）代入（7-119）得到图6所示的集总T型电路，其垂直分支导纳为，水平分支阻抗为因此，导纳参数可写作：当传输线在某特定频率下的电气长度足够短时得到：将（7-122）代入（7-121）得到图6所示的集总Pi型电路，其垂直分支导纳为，水平分支阻抗为。定义电压反射系数矩阵并由（7-13）写出前向行波的和，以及后向行波的和：

其中：因此前向和后向电压电流关系由阻抗矩阵特性得到6.功率流和反射系数矩阵表征相量电压和电流的通解为同理由（7-13）得：电流反射系数矩阵与电压反射系数矩阵关系

其中：我们定义电压反射系数矩阵为在传输线任意点处联系反射或后向行波电压与前向行波电压：代入（7-125）得到：因此，与电压反射系数矩阵相关的当前的反射系数矩阵为

总的后向行波电流为：将（7-128a）和（7-129）代入（7-126）得到将（7-128b）代入（7-123）得到将（7-127）给出的前向和后向电压代入（7-128）能得到传输线和两点处的反射系数矩阵时计算得到：因此求解得代入（7-97a）给出的恒等式得同理，由（7-124）和（7-128）可以得到电流反射系数关系式输入阻抗矩阵在传输线上任意点处的总电压和总电流关系为将（7-130）和（7-131）代入（7-138）得到同理，电压反射系数矩阵可以根据（7-139）写成输入阻抗矩阵在传输线上某点的形式将（7-140）代入（7-129）给出的电流反射系数关系得电流反射系数矩阵如果传输线终止于处，有负载端的电压反射系数为负载端的电流反射系数为传输线输入端z=0处的电压反射系数记作从（7-143）可以看出：为了消除负载端的反射，传输线必须终止于其特性阻抗矩阵，即另外，传输线沿+z轴方向的平均传输功率传输线平均功率：如果成立，那么7.计算实例本部分将列举几个计算实例，以验证本章所讨论的方法。本章研究的频域模型的计算程序确定通解式（7-68）中的2n个待定常数:.传输线两端端口处的结构配置如图9所示。它们采用式（7-65）的戴维南等值形式表示，其中图9说明数值计算结果的3导体传输线考虑两种3导体传输线（n=2）的结构:一种是3导体带状电缆，另一种是3导体印制电路板。根据MTL模型以及相应的近似集总pi型结构，计算它们的频率响应，并将其与实验结果相比较7.1带状电缆3导线带状电缆的横截面图如图10所示.导线长L=2m.采用RIBBON.FOR程序，根据配置的结构参数，计算出单位长度参数为图10说明数值计算结果的3导线带状电缆的结构尺寸

图11给出了实验结果与MTL模型计算值得比较，包括导线是有耗和无耗的情况，频率范围1kHz到100MHz。可以看到，在100kH以下，导线的损耗是重要的，因此不能忽略。导线的直流电阻是将#36规格集束线（）的电阻除以集束数7得到的0.19444/m。集肤效应应按给定频率下，一根#36规格集束线的半径等于2倍的集肤深度考虑，即。在这个频率上，将电阻视为按的规律变化。实验结果的幅值和相位与计算值十分相符。注意到在150MHz时，导线的长度是一个波长（忽略绝缘介质）。因此在15MHz以下，导线是电气短线。对于无耗情况（包括大部分的有耗情况），串扰的幅值随着频率或者按20dB/十倍频程的比例增加。这是一个普适的结论。图12采用有耗MTL模型和单节与双节集总pi型计算的带状电缆近端串扰电压频率响应的结果与实验结果的比较图11采用MTL模型计算的带状电缆近端串扰电压频率响应的结果·与实验结果的比较