高考复习数学课件

第一节随机抽样

三种抽样方法有什么共同点和联系？提示:（1）共同点：抽样过程中，每个个体被抽到的机会均等.（2）联系：系统抽样中分段确定第一个个体时采用简单随机抽样.分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样.1.某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是（）(A)1000名学生是总体(B)每个学生是个体(C)1000名学生的成绩是一个个体(D)样本的容量是100【解析】选D.1000名学生的成绩是总体，其容量是1000，100名学生的成绩组成样本，其容量是100.2.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）(A)随机抽样(B)分层抽样(C)系统抽样(D)以上都不是【解析】选C.由所给的数据可以看出这种抽样方法为系统抽样.3.某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）(A)9(B)18(C)27(D)36【解析】选B.由已知得中年职工人数和老年职工人数共为430-160＝270（人）.中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工人数为180，老年职工人数为90，样本的容量为则样本中的老年职工人数为4.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，相应产品数量比为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，那么样本的容量n=_____.【解析】由已知得：

×n＝16，∴n=80.答案:805.某住宅区现有居民2万户，分别居住在新旧楼房中，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带，调查结果如下表所示：则该住宅区已安装宽带的户数估计有_____户.【解析】由题意知200户中已安装宽带的有95户，则×20000=9500（户）.答案:95001.简单随机抽样的特点（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的.（2）简单随机抽样样本数n小于等于样本总体的个数N.（3）简单随机抽样样本是从总体中逐个抽取的.（4）简单随机抽样是一种不放回抽样.（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为2.抽签法和随机数法的适用情况在简单随机抽样中，抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况.3.系统抽样的步骤系统抽样的四个步骤可简记为：“编号——分段——确定起始的个体号——抽取样本.”4.三种抽样方法的关系三种抽样方法中简单随机抽样是基本方法，系统抽样和分层抽样都要用到简单随机抽样.有时要同时用这三种抽样方法来得到样本.

简单随机抽样【例1】广州某大学为了支持2010年广州亚运会，决定从2010级学生报名的30名志愿者中，选取10人组成志愿小组.请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.【审题指导】考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数表法都可容易获取样本，要按这两种抽样方法操作步骤进行.1【自主解答】抽签法：第一步：将30名志愿者编号，编号为1，2，3，…，30.第二步：将30个号码分别写在30张外观完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签.第三步：将30个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀.第四步：从盒子中逐个抽取10个号签，并记录上面的编号.第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员.随机数表法：第一步：将30名志愿者编号，编号为01，02，03，…，30.第二步：在随机数表中任选一数开始，按某一确定方向读数.第三步：凡不在01～30中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次记录下10个得数.第四步：找出号码与记录的数相同的志愿者组成志愿小组.【规律方法】1.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.2.随机数表中共随机出现0，1，2，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数的机会都是相等的.在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.【互动探究】把本例中“30名志愿者”改为“1800”名志愿者，仍抽取10人，应如何进行抽样？【解析】因为总体数较大，若选用抽签法制签太麻烦，故应选用随机数表法.第一步：先将1800名志愿者编号，可以编为0001，0002，…，1800.第二步：在随机数表中任选一个数，例如选出第2行第5列的数2.第三步：从选定的数开始向右读，依次可得以0736，0751，0732，1355，1410，1256，0503，1557，1210，1421为样本的10个号码，这样我们就得一个容量为10的样本.【变式训练】某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2010年应届毕业生报名的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组.请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.【解析】抽签法第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3，…，18；第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员.随机数表法第一步：将18名志愿者编号，编号为01，02，03，…，18；第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数；第三步：每次取两位，凡不在01～18中的数，或已读过的数，都跳过去不作记录，依次记录下6个符合条件的数；第四步：找出号码与记录对应的志愿者，就是志愿小组的成员.

系统抽样【例2】某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程.【审题指导】解答本题的关键是确定分段间隔，分组组数，以及确定首个个体.2【自主解答】按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为

=59,我们把295名同学分成59组，每组5人.第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生.采用简单随机抽样的方法，从第1组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(1≤l≤5)，那么抽取编号为l+5k(k=0,1,2,…,58)的学生，得到59个个体作为样本，如当l=3时的样本编号为3,8,13,…,288,293.【规律方法】解决系统抽样问题要掌握系统抽样的特点1.元素个数多且均衡的总体2.各个个体被抽到的机会均等3.起始用简单随机抽样4.（不整除剔出余数）【变式训练】在1000个有机会中奖的号码（编号000～999）中，在公证部门监督下按照随机抽样的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的？依次写出这10个中奖号码.【解析】运用系统抽样的方法来确定中奖号码的，中奖号码依次为088，188，288，388，488，588，688，788，888，988.

分层抽样【例3】一个单位有500名职工，其中不到35岁的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，如何抽取一个容量为100的样本？【审题指导】因为不同年龄段有明显的差异，故利用分层抽样.3【自主解答】（1）确定样本容量与总体的个数之比为：100∶500＝1∶5；（2）利用抽样比确定各年龄段应抽取的个体数.依次是即25，56，19；（3）利用简单随机抽样或系统抽样的方法，在各年龄段分别抽取25，56，19人，然后合在一起，就是所要抽取的样本.【规律方法】分层抽样是一种实用性、操作性强，应用比较广泛的抽样方法，但必须保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.【变式训练】某单位最近组织了一次健身活动、活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中的一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.（1）在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例；（2）在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.【解析】（1）设该单位参加健身活动的共有a人，则参加登山组的有人，游泳组的有人；参加游泳组的青年人为:42.5%a-×50%=a×30%;参加游泳组的中年人为:47.5%a-×40%=a×37.5%;参加游泳组的老年人为10%a-×10%=×10%.∴在游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为（2）200人中游泳组占的人数为200×(1-)=150(人)，则青年人人数为150×40%=60；中年人人数为150×50%=75；老年人人数为150×10%＝15.【例】某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1、2、…、270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1、2、…、270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是（）（A）②、③都不能为系统抽样（B）②、④都不能为分层抽样（C）①、④都可能为系统抽样（D）①、③都可能为分层抽样【审题指导】分析四组号码，根据各抽样方法的特点判断.【规范解答】选D.因为系统抽样法得到的号码成等差数列，所以①，③可能为系统抽样；用分层抽样法一、二、三年级分别抽取人数为4、3、3，所以①、②、③都可能为分层抽样；④不可能为系统抽样，也不可能为分层抽样,故选D.【规律方法】系统抽样和分层抽样的区别：系统抽样要求均衡分成几部分，然后从每一部分中抽取相同数目的样本；而分层抽样必须有明显的差异，而且每一层按各层在总体中所占的比例进行抽样.简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础.【变式备选】某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么（）(A)①是系统抽样，②是简单随机抽样(B)①是分层抽样，②是简单随机抽样(C)①是系统抽样，②是分层抽样(D)①是分层抽样，②是系统抽样【解析】选A.因为①中牛奶生产线上生产的牛奶数量很大，每隔30分钟抽一袋，这符合系统抽样；②中样本容量和总体容量都很小，采用的是简单随机抽样.

抽样方法解答题的答题技巧【典例】（14分）（2010·广东高考）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.【审题指导】理解图表信息，利用随机抽样方法易求（1）、(2)；用列举法求（3）.【规范解答】（1）因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，在大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目.所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的.………4分（2）应抽取大于40岁的观众人数为（名）.………7分（3）用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁的有2名（记为Y1,Y2），大于40岁的有3名（记为A1,A2,A3）.5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2,Y1A1,Y1A2,Y1A3,Y2A1,Y2A2,Y2A3,A1A2,A1A3,A2A3.……………10分设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”，则A中的基本事件有6种：Y1A1,Y1A2,Y1A3,Y2A1,Y2A2,Y2A3，故所求概率为P（A）＝…………14分【失分警示】在解答本题时有两点容易造成失分.一是通过表格分析时得到收看新闻节目的观众与年龄无关而错误.二是在用列举法写出不同取法时容易漏，而使得概率不准.解决分层抽样问题时，以下几点易造成失分：1.分层中不明确有几层；2.计算比例时找不准比例关系，出现计算错误.【变式训练】一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.【解析】应采用分层抽样方法.（1）将3万人分为五层，其中一个乡镇为一层.（2）按照各层所占比例确定各乡镇应抽取的个体数.300×=60(人);300×=40(人);300×=100(人);300×=40(人);300×=60(人),因此用系统抽样的方法依次从各乡镇抽取人数分别为60人，40人，100人，40人，60人的样本.（3）将300人合到一起即得到一个样本.1.（2010·重庆高考）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则样本容量为（）(A)7(B)15(C)25(D)35【解析】选B.由题意得得x=15.2.(2010·四川高考)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）(A)12,24,15,9(B)9,12,12,7(C)8,15,12,5(D)8,16,10,6【解析】选D.各层依次抽取的人数为

×160=8，

×320=16，

×200=10，

×120=6，故选D.3.（2010·上海高考）将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取____个个体.【解题提示】解答本题关键在于确定抽样比例.【解析】按比例抽取，则应从C中抽取个体数为100×＝20.答案:204.（2010·安徽高考）某地有居民100000户，其中普通家庭99000户，高收入家庭1000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行抽查，发现共120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是_______.【解析】该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有99000××=5700（户），所以所占比例的合理估计是：5700÷100000=5.7%.答案:5.7%一、选择题（每小题4分，共20分）1.春节前夕，质检部门检查一箱装有2500件包装食品的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是（）(A)总体是指这箱2500件包装食品(B)个体是一件包装食品(C)样本是按2%抽取的50件包装食品(D)样本容量是50【解析】选D.因为是研究2500件包装食品的质量，故总体是2500件包装食品的质量，同样个体是一件包装食品的质量，样本是50件包装食品的质量，故选D.2.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查采用的抽样方法依次是()(A)分层抽样法，系统抽样法(B)分层抽样法，简单随机抽样法(C)系统抽样法，分层抽样法(D)简单随机抽样法，分层抽样法【解析】选B.主要考查三种抽样方法的区别与联系.在①中，由于不同的地区的产品销售情况差异较大，为了抽样的公平性，应采用分层抽样.在②中，总体中个体差异不大，总体中个体数量也不大，故采用简单随机抽样，故选B.3.（2011·龙岩模拟）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）(A)4(B)5(C)6(D)7【解析】选C.应抽取的植物油类种数为20×0.1=2，果蔬类食品种数为20×0.2＝4，所以共抽取2+4＝6（种）.4.（2010·湖北高考）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()(A)26，16，8(B)25，17，8(C)25，16，9(D)24，17，9【解析】选B.依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3+12（k-1）.令3+12（k-1）≤300得k≤因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3+12(k-1)≤495得<k≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25＝17.结合各选项知，B正确.5.某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,已知从女学生中抽取的人数为80,则n为()(A)16(B)96(C)192(D)112【解析】选C.由∴n=192.二、填空题（每小题4分，共12分）6.（2011·普宁模拟）某高中有三个年级，其中高一学生共有600人，若采用分层抽样抽取一个容量为45的样本.已知高二年级抽取20人，高三年级抽取10人，则该高中学生的总人数为_____.【解析】高一年级抽取45-20-10=15（人），则共有600×45÷15=1800（人）.答案:18007.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号分别为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6，则在第7组中抽取的号码是________.【解题提示】利用的是系统抽样，平均分了10组.根据所给条件求出抽取的号码.【解析】因为第7组抽取的号码个位数字为3（6+7＝13），所以抽取的号码是63.答案:638.(2011·福建四校模拟)某工厂有甲、乙、丙三类产品的数量成等比数列且公比为2，现要用分层抽样的方法从中抽取140件进行质量检测，则乙类产品应抽______件.【解析】设甲产品的数量为a,则乙产品的数量为2