江苏南京市2026年普通高等学校招生全国统一考试样卷数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏南京市2026年普通高等学校招生全国统一考试样卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=−7,−3,A．−7,−3 B．1,52．已知复数z满足1+2iz=3−4iA．3 B．5 C．3 D．53．在平行四边形ABCD中，M为CD的中点．记ABA．12a−b B．−124．已知函数fx=x2+x,A．116 B．18 C．145．记以长方体ABCD−A1B1C1DA．{4} B．{4,6}6．在△ABC中，A=π6，BCA．0，2 B．0，2 C．7．已知O为坐标原点，AB为圆O:x2+y2=4的一条弦，弦AB绕点A．22,4 B．2,4 8．设sinα+2sinβA．[−2,2] B．−1二、多选题9．一组数据a1,a2,…,a2023(a1<A．k=a1012 B．a1011<m10．已知函数fx=x2+2x≥0,gA．若关于x的方程fx−gxB．存在P,Q关于直线C．若存在P,Q关于yD．若存在P,Q满足∠11．在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为正方体内（含表面）的动点，A．CN+B．点M的轨迹形成图形的面积为2C．点M的轨迹与正方体表面交线的长度为πD．当点M在侧面BB1C三、填空题12．(3−x)(13．设函数f(x)=cosx,g(x)=cos14．已知直线l的倾斜角为锐角，且过抛物线y=x2的焦点，与抛物线交于A、B两点.若在该抛物线的准线上存在一点C，使得△AB四、解答题15．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE−BCF和一个正四棱锥（Ⅰ）证明：平面PAD⊥（Ⅱ）求正四棱锥P−ABCD的高h16．已知函数fx(1)讨论函数fx(2)当a>0时，若m为函数fx17．已知双曲线Γ:x2−y23=1的右焦点为F，过点F的直线l交双曲线Γ右支于A、B两点（点A在x轴上方），点C在双曲线Γ的右支上，直线A(1)求双曲线Γ的渐近线方程；(2)若点A2,3，且tan(3)若△ABC的重心G在x轴上，记△AFG、△C18．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(1)求角C的取值范围；(2)证明：cos(3)求1tan(提示：1tanA+19．定义：若一个数列an满足其首项为0，且对于∀n∈N*,a(1)求证：Pa(2)在“可取数列”an中，设随机变量Y是a①Y的概率分布；②Y的期望EY答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江苏南京市2026年普通高等学校招生全国统一考试样卷数学试题》参考答案题号12345678910答案BDAACDADADBCD题号11答案ACD1．B【分析】根据函数定义域求法可求得集合B，由交集定义可得结果.【详解】∵B=x故选：B.2．D【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z，即可求出z，再根据复数的乘法计算可得.【详解】因为1+所以z=则z=所以z⋅故选：D3．A【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断.【详解】因为四边形ABCD又因为M为CD的中点，所以M在平行四边形中，BCMB故选：A.4．A【分析】运用二次函数的性质求得−2<【详解】当−2<x故当x=−12时，当0≤x<c时，f(则−c≥−14，解得0故选：A.5．C【分析】应用三棱锥的体积公式计算求解判断选项.【详解】以长方体ABCD因为AB=2，A所以VAVA则V的取值集合为4,故选：C.6．D【分析】由题意CB⊥A【详解】若满足条件的△A则CB⊥A当CB⊥A当AC≤B所以AC的取值范围是0,故选：D7．A【分析】根据题意可知弦AB绕点O旋转一周时，AB上所有点到点O的距离范围是d,2，又点1,1∈【详解】设圆心O到弦AB的距离为d，圆O半径r弦AB绕点O旋转一周时，AB上所有点到点O的距离范围是所以AB扫过的区域Ω是内半径为d，外半径为2又点1,1∈Ω，其到原点O的距离为所以0≤又AB8．D【分析】应用sinα+2sinβ【详解】因为sinα+2则M=又因为2sinβ=令t=sinβ,M所以当t=12时，Mmin=-1所以M的取值范围是-1故选：D.9．AD【分析】利用中位数的定义可判断A选项；举反例可判断B选项C；利用均值和方差公式可判断D选项.【详解】对于A选项，因a1样本数据最中间的项为a1012由中位数的定义可知，k=对于B，不妨令an=n则m=对于C，不妨令an=n则m=对于D，数据2ai=其方差为s2故选：AD10．BCD【分析】根据给定条件，求出方程fx−gx=0在0,【详解】函数fx对于A，方程fx−g显然函数h(x)在0,1因此关于x的方程fx−gx=0在对于B，设点Q(t,ae−t)，依题意，点即关于t的方程t=a2e−2tφ′(t)=(2而函数y=t−2,因此函数φ(t)的值域为(0,+∞所以存在P,Q关于直线对于C，设点P(u,u2+2),即aeu=u2即函数F(u)在[0,+∞)上单调递减，对于D，令P(x1,x显然x1x2≠0，且x1>当0<x<1时G′(x)>因此G(x)max=而0<x1x12+故选：BCD11．ACD【分析】对于A，由图通过折叠相关平面，使C，A，C1，D共面，据此可判断选项正误；对于B和C，由题设可得M的轨迹为如图以A为顶点，AB【详解】对于A，由图注意到△AC1D≅△AC1则DN+C对于B，注意到∠BAC=∠B1AB=π则点M的轨迹所形成图形的面积为：14对于C，由B分析，点M的轨迹与正方体表面的交线长度为：AC对于D，注意到D1C1AC1=33，过N从而33AN（此时P，N，M分别位于正方形AD12．−【详解】(3−x)(所以(3−x)(13．π2【分析】先分析函数f(x)=cos【详解】根据余弦函数的性质，函数f(x)=cos那么函数f(x)=cosx的单调区间长度为π，在任意长度为函数g(x)=cos单调递减区间2kπ≤又对于任意的t∈R，函数f(x)当φ=π2时，函数g(x函数f(x)=cos⁡x的极值点为x=kπ,k∈Z，函数g(同理，当φ=kπ+π2,故答案为：π214．2【分析】设直线AB的方程为y=kx+14(k>0)，与抛物线的方程y=x【详解】抛物线y=x2的焦点为0设直线AB的方程为y=kx可得x2设Ax1,y1，Bx2,y在该抛物线的准线上存在一点C，使得△A可得CH⊥A由|A可得|C设Cx又CH的斜率为−1k，可得解得C的横坐标为x0=k32所以CH由|CH|=32故答案为：215．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）h=【详解】试题分析：（Ⅰ）根据AB⊥平面AD试题解析：（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE−BC所以AB⊥AD，又所以AD⊥平面ABFE所以平面PAD⊥（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD方向为如图设正四棱锥P−ABCD的高为h，AE=AD=2，则A0,设平面ACF的一个法向量则{m⋅AF=2x设平面AFP的一个法向量n取x2=1，则y2=二面角C−AF所以cosm解得h=点睛：本题主要考查了直线与平面，平面与平面垂直的证明，注意条件的合理转化，和用向量解立体几何时法向量的求解和应用.16．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先得到函数的定义域，求出导函数，然后分三种情况讨论即可求得结果；（2）根据（1）中的结论得到单调区间，将不等式转化为函数之间的关系，即可得到恒成立问题，构造新的函数，再根据导数讨论单调性即可.【详解】（1）函数fx的定义域为−f′①当a+1≤0即函数fx单调递增，增区间为−②当1+a>0时，令当−1<−a+可得函数fx的减区间为(−a③当−a+1≤−可得函数fx的减区间为−1,综上，当a≤−1当−1<a<0当a≥0时，减区间为−1（2）由（1）可知当a>0时，函数fx的减区间为−可知m>2a因为f0=0，m所以fm=0又由f2令t=2a可得f=1令gx=2可得函数gx单调递减，有g可得当t>2时，故有f2a+【点睛】方法点睛：借助导数讨论函数单调区间的方法：（1）根据函数解析式得到函数的定义域，单调区间均在定义域内讨论；（2）求出函数的导函数，根据导函数的正负来判断原函数的单调性，这个时候注意分情况讨论，大多数时候需要令导函数为零求出极值；（3）本题关键点是利用单调性和零点定义将不等式转化为恒成立问题，然后通过换元构造新的函数，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想和分类讨论思想的应用.17．(1)y(2)点C的坐标为26(3)S1S【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程；（2）由点A2,3可得B2,−3（3）设直线AB:x=ty+2,【详解】（1）已知双曲线Γ:x2−y（2）双曲线Γ:x2又A2,3，所以A因为tan∠BA则直线AC:y所以x2−y23则yC=−2×（3）设直线ABx=ty则y1因为直线l过点F且与双曲线Γ右支交于A、B两点，所以t∈又因为△ABC的重心G在x由点Q在点F的右侧，可得y3<0，所以y1+而y1−y所以S1S2代入化简可得：S1所以S1当且仅当t=1111时等号成立，所以S18．(1)π(2)证明见解析(3)2【分析】（1）根据锐角三角形，结合余弦定理，再通过对勾函数的性质求解即可.（2）通过余弦定理，正弦定理求解即可.（3）设x=1tanA，y=【详解】（1）因为三角形ABC是锐角三角形，故a2+b2>cosC=a2+当t=12或t=2时，t+1y=t+1t∈2（2）由正弦定理可得，2R即sin2sin21=1以及4=代入可得，1+整理可得cosC所以两侧同时除以cosC−2（3）设x=1tanA，y=1tan由在三角形中tanA=−所以tanA所以1tan即xy+y且x2+y因为k=2sinC