向量组的线性相关性2

第四章向量组的线性相关性本章要点一、向量组的线性相关性判定定理二、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系三、线性方程组解的结构

§4.1向量组及其线性组合一、向量的定义二、向量组与矩阵的关系三、线性组合与线性表示四、等价向量组五、向量组的秩与矩阵的秩的关系定义1分量中有复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、向量的定义

1、维向量的概念2、维向量的表示方法

维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：

维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：注意：

１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；

３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如二、向量组与矩阵的关系向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.定义1线性组合三、线性组合与线性表示

向量能由向量组线性表示．定义2定理1：定义２向量组能由向量组线性表示向量组等价．四、等价向量组从而

§4.2向量组的线性相关性一、线性相关的概念二、线性相关的判定与齐次方程组解之间的关系三、小结注意定义3一、线性相关性的概念则称向量组是线性相关的，否则，称它线性无关．定理1向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性

设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有三、线性相关性的判定故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数使因中至少有一个不为0，不妨设则有即能由其余向量线性表示.证毕.定理4下面举例说明定理的应用.结论:解例１解例２分析证定理五证明说明

1.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）

2.线性相关与线性无关的判定方法：两个定理．（难点）四、小结§4.3向量组的秩一、最大线性无关组二、矩阵与向量组秩的关系三、向量组秩的重要结论四、小结定义１最大线性无关向量组最大无关组一、最大线性无关向量组结论说明二、矩阵与向量组秩的关系定理１最大无关组的等价定义１．最大线性无关向量组的概念：

最大性、线性无关性．２．矩阵的秩与向量组的秩的关系：

矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩3．求向量组的秩以及最大无关组的方法：

将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．四、小结§4.4线性方程组的解的结构一、齐次线性方程组的解的结构二、基础解系及其求法三、非齐次方程组解的结构四、小结（1）若为的解，则

也是的解.证明一、齐次线性方程组解的性质（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明

由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．证毕.１．基础解系的定义二、基础解系及其求法定理1例1

求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有２．线性方程组基础解系的求法证明三、非齐次线性方程组解的性质证明证毕．其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.非齐次线性方程组Ax=b的通解为例4

求解方程组解()()nBRAR==()()nBRAR<=２．线性方程组解的情况四、小结１．线性方程组基础解系的求法思考题思考题解答§4.5向量空间一、向量空间的概念二、子空间三、向量空间的基与维数四、小结说明2．维向量的集合是一个向量空间,记作.一、向量空间的概念定义1设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．1．集合对于加法及乘数两种运算封闭指例2

判别下列集合是否为向量空间.解例3

判别下列集合是否为向量空间.解试判断集合是否为向量空间.一般地，为定义2

设有向量空间及，若向量空间，就说是的子空间．实例二、子空间设是由维向量所组成的向量空间，那末，向量组就称为向量的一个基，称为向量空间的维数，并称为

维向量空间．三、向量空间的基与维数定义3

设是向量空间，如果个向量，且满足

（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．说明

（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为

（2）若把向量空间看作向量组