新高考数学二轮复习考点突破学案6.3《直线与圆锥曲线的位置关系》（原卷版）

第3讲直线与圆锥曲线的位置关系[考情分析]直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.考点一弦长、面积问题核心提炼已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1﹣y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2).例1已知焦点在x轴上的椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，短轴长为2eq\r(3)，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝eq\f(18\r(2),7)，求直线l的方程.易错提醒(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等.(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉.(3)|AB|＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立.跟踪演练1已知椭圆C1的中心在坐标原点，一个焦点与抛物线C2：y2＝4x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率为eq\f(1,2).(1)求椭圆C1的标准方程；(2)过F点的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于P，Q两点，且A，P点都在x轴上方，如果|PB|＋|AQ|＝3|AB|，求直线l的方程.考点二中点弦问题核心提炼已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.若E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则k＝﹣eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程为eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则k＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝eq\f(p,y0).例2已知直线l与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2eq\r(3)，则l的方程为________.规律方法处理中点弦问题常用的求解方法跟踪演练2已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x﹣y﹣2＝0对称的不同两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为()A.(1，﹣1)B.(2,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2)))D.(1,1)考点三直线与圆锥曲线位置关系的应用核心提炼直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线方程与圆锥曲线方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.例3(1)记双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________.(2)(多选)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，﹣1)的直线交C于P，Q两点，则()A.C的准线为y＝﹣1B.直线AB与C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2易错提醒(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).跟踪演练3(1)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.1B.2C.4D.8(2)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：eq\f(x2,2)＋y2＝1，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，O为坐标原点，则△OCD面积的最小值为()A.1B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.2专题强化练一、单项选择题1.直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.1D.22.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为eq\f(\r(7),4)，面积为12π，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,32)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,36)＝13.已知双曲线C1：eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝1及双曲线C2：eq\f(y2,b2)﹣eq\f(x2,a2)＝1(a>0，b>0)，且C1的离心率为eq\r(5)，若直线y＝kx(k>0)与双曲线C1，C2都无交点，则k的值可以为()A.2B.eq\f(1,2)C.eq\r(5)D.14.已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，D(2,1)是椭圆M的一条弦AB的中点，点P(4，﹣1)在直线AB上，则椭圆M的离心率为()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(2),2)5.已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x﹣1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x﹣1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是()A.|M1M2|·|M3M4|B.|FM1|·|FM4|C.|M1M3|·|M2M4|D.|FM1|·|M1M2|6.已知椭圆eq\f(x2,5)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P(x0，y0)(x0>0，y0>0)为椭圆上一点，直线PF1，PF2分别交椭圆于M，N两点，则当直线MN的斜率为﹣eq\f(1,9)时，eq\f(x0,y0)等于()A.2B.3C.4D.5二、多项选择题7.已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则()A.y1·y2为定值B.k1·k2为定值C.y1＋y2为定值D.k1＋k2＋t为定值8.已知双曲线C的方程为eq\f(x2,9)﹣eq\f(y2,16)＝1，A，B两点分别是双曲线C的左、右顶点，点P是双曲线C上任意一点(与A，B两点不重合)，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则()A.双曲线C的焦点到渐近线的距离为4B.若双曲线C的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度m(m>0)，则离心率变大C.k1·k2为定值D.存在实数t使得直线y＝eq\f(5,3)x＋t与双曲线左、右两支各有一个交点三、填空题9.直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则实数m的取值范围是______________.10.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为eq\r(5)的直线l与C交于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为eq\r(10)，则F到C的准线的距离为________.11.已知双曲线C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过原点O的直线l交双曲线C于A，B两点，且2|FO|＝|AB|，若∠BAF＝eq\f(π,6)，则双曲线C的离心率是________.12.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，