数列小题（浙江省2021届高考模拟试题汇编（三模））（解析）

（浙江省2021届高考模拟试题汇编（三模））

数列小题

一、单选题

1（浙江省金华市2021届高三下学期5月高考仿真模拟试题）已知等差数列｛4｝满足

4,>0,4=1,公差为d,数列｛b„｝满足b„=*-2+*外,若对任意的〃eN都有b“>也，

则公差d的取值范围是（）

22222222

TT5957n'79,5

【答案】B

【分析】

根据题意构造函数.f（x）="+eT,解不等式可得到函数的单调性，进而得到当距离2

最近时，力取得最小值，根据％为最小值可得的距离2最近，建立绝对值不等式求解即

可.

【详解】根据题意知，々为最小值，所以为距离2

最近,

令%-2=x,构造函数/(x)=e'+eT,

而等差数列｛4｝满足q>0,4=1,所以

d>0,所以｛q｝是递增数列,

.•.当x>0时，制x）>0,“X）单调递增,

当x<0时，/（x）单调递减;1%-2|4-2|=+4d-+3d-2|

|a5-2|<|a6-2||tz1+4i/-2|<|al+5f/-2|

则对于+,当%—2>0,即

““>2时，单调递增,

当q-2<0,即可<2时，"单调递减,

故选：B.

所以当。“距离2最近时，2取得最小值,

【点睛】

本题的核心是利用函数导数思维根据。的表达式求出当与距离2最近时，£取得最小值,

根据题意可得出距离2最近，再根据已知可得｛4｝是递增数列，且两个数值之间的距离

问题可以使用绝对值思维，所以可得不等式组，解不等式组即可.

2.（浙江省金华市东阳市2021届高三下学期5月模拟考试数学试题）已知四面体ABCD,

分别在棱A。，BD,BC上取"+l（〃eN*,"W3）等分点，形成点列{4},{B„},{C„},

过纥，G（A=1,2,…,可作四面体的截面，记该截面的面积为此,则（）

A.数列{MJ为等差数列B.数列{Mj为等比数列

C.数列为等差数列D.数列“为等比数列

【答案】C

【分析】

设AB=“，CD=b,A3与C£）所成角为6,根据平行关系可利用“，无，。力表示出

AB,,纥Q,根据面积公式得到进而得到*:利用等差数列和等比数列的定义依

次判断各个选项中的数列是否满足定义，由此得到结果.

【详解】

设4?=。，CD=b,A8与CO所成角为。，

由题意可知：AkBkHAB,BkCkHCD,

根据平行线分线段成比例可知：\Bk=|1-一三］。，BkCk=—,

(n+\j〃+1

/.Mk=AkBk-BkCksin0=-------^—absin0,

(〃+l)~

....("+1-"-+("+1—.n—2k,.a

对于A,Mk+t-Mk-----------——-----------absm0=-——absm0,

(n+l)(〃+l)

则不恒等于常数，则数列｛MJ恒为等差数列不成立，A错误;

(〃士y+1)出山。

(〃+i)________

对于B,

%一的匕也Win。(n+\-k)k

(〃+i)

不恒等于不为零的常数，则数列｛MJ恒为等比数列不成立，B错误;

%〃+1-k

对于C,absin0

k(〃+炉

MR+IMRn-\-\—k—\n+\-k

则ahsin0-ahsin0=-------Tabsin6

&+1k〃+1)2n+l)-(〃+l)'

即署-*恒为常数一

为等差数列，C正确;

"+1—%—1J八

Mk+l-------2—absin“

(〃+1)~_n-k1

对于D,铲=,即告不恒等于不为零的常数,

"二"sinen+1-k

■

则数列恒为等比数列不成立，D错误.

故选：C.

【点睛】

思路点睛：本题考查等差数列和等比数列的判定，证明数列是等差或等比数列的基本思

路是利用等差或等比数列的定义式来进行证明.

3.(浙江省温州市普通高中2021届高三下学期5月高考适应性测试数学试题)已知数

列｛%｝,也｝，满足4=1，a=6,~=2a“也+尸次-2a“(〃wN*).若&=4,3的值是

()

A.4B.5D.7

【答案】C

【分析】

根据%=2/可知数列｛%｝为等比数列，将4=2"-'代入%=2"-2%后将其变形可知

数列为等差数列，即可解得d=(7-〃)2"T；将",,=2"T,瓦=(7-〃)2"T代入%=瓦

即可解出答案.

【详解】

因为q=l,%+|=2a-n-=2.

a„

所以数列｛4｝为以1为首项，2为公比的等比数列.

所以&=2"T.

be=勿-2a,=2b“-2"=沁=4-二沁-4=—L,幺=3,

w+innn2"+i2〃22”+|2〃22

所以数列｛多｝为以3为首项，-g为公差的等差数列.

A1

所以才=3+(〃-1)(一Q)n〃=(7—")2"T.

1

ak=bt=>2*-'=(7-*)2*-=>7-A:=l=>Jt=6.

故选：C.

【点睛】

本题考查一阶线性递推公式的通项公式.属于难题.掌握常见的一阶线性递推公式的变形

aa

是解本题的关键.„+i=P„+4o%+id—\=p｛an+—\).

p-1p-L

4.(浙江省Z20联盟2021届高三下学期第三次联考数学试题)已知数列｛a,,｝满足：

(“向+1)=(%+2)(〃€%•),则下列选项正确的是()

"向a"''

A.0cM<1时，a„+l>a„B.4>1时，«„+1<an

C.4=1时,%+i+--->3"+18D.4=4时,an+l+--->2n+2

4«n+ian+l

【答案】D

【分析】

由函数以X)=g苴=%+1+2的单调性,可判定A、B不正确；由D=S"+2),

XX%an

11c311c4

得到a〃+i+---=〃“+—+2+—,得到。〃+[+--->4+—+2〃，可判定C错误，D正确.

。”+1ananan+\4

【详解】

对于A中，由于0<为<1,则(4"产1)=(4+2)>(4+1),

aa

n+ln%

又由函数f(x)=£Wl=匚生土1=%+,+2,当xe(O,D时为单调递减函数,

XXX

可得了(%”)>八%)，所以。用<4,所以A错误.

对于B中,由于4,>1，。,川>1,且"4+|)>/(%),

由/(x)=狂运=-+2X+1=》+_!_+2在―)上单调递增,

XXX

可得所以B错误

对于C、D中，由于色巴士Q=(〃“+2),可得勺讨+11^3

—=%+—+2+——，

a〃+i44

I141

当q=_,〃=1时，可得%+—=4+—+2=—+18<3xl+18=21,所以C不正确;

4a2a14

11八

又由当4>0,可得%>0，从而。〃+1+>。〃+—+2,

利用叠加法，可得4+i+」一>4+'+2〃，

%4

故当q=4时，〃〃+[+」一>2〃+2,所以D正确.

。”+1

故选：D.

【点睛】

(X+记1

方法点拨：构造函数/(力=比以-=矛+±+2,结合函数的单调性，是判定a用与4的

XX

11C311c

大小关系的关键；同时化简。〃+1+=。〃+—+2+—,得到。“+1+＞为+—+2是

解答的关键.

5.（浙江省台州市临海市、绍兴市新昌县高三下学期5月模拟考试数学试题）等差数列

他“｝的公差为d,前n项的和为5“，当首项q和公差d变化时，见+4+即是一个定值，

则下列各数中也为定值的是

A.跖B.S8C.ScD.九

【答案】C

【分析】

利用等差数列的通项公式化简已知的式子，得到关于的的关系式，由已知式子为定值得

到的为定值，再利用等差数列的求和公式及等差数列的性质化简$3,也得到关于内的

关系式，进而得到几为定值.

【详解】

%+%+41=3。|+184=3%,

且。2+6+即是一个定值，

%为定值，

又5=空?'""）=13%,

，几为定值，故选C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前〃项和公式，属于中档题.等差数列

基本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基本量4，d,〃M，S“，一般可以

“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用

等差数列的性质%,+%=《"+。“=2。,.（。+9=，〃+〃=2'）与前”项和的关系.

6.（浙江省绍兴市柯桥区高三下学期5月高考及选考科目适应性考试数学试题）设｛a,,｝

是公比为缪的等比数列，贝！1“辞为门”是“｛q｝为递增数列”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】

试题分析:当里额时,赢/不是递增数列；当物Y般T：1且%Y'时,是

递增数列，但是皴海工不成立，所以选D.

考点：等比数列

7.(浙江省绍兴市诸暨市2021届高三下学期5月适应性考试数学试题)等差数列｛4｝的

前〃项和为S“，S7=14,$=13,则与=()

c3217

A・27B.0C.—D.-----

33

【答案】D

【分析】

根据等差数列的求和公式，列出方程组，解得首项和公差，可得选项.

【详解】

a

S7=7«14--^^J=14\~~~

设等差数列｛4｝的公差为d,则10，解得5则

1uxy/

故选：D.

【点睛】

本题考查等差数列的求和公式.根据题中的条件确定数列的首项和公差是解题的关键,

属了基础题.

二、填空题

8.（浙江省舟山市定海区2021届高三下学期5月适应性考试数学试题）如图，一个，"m

幻方，要求包含1到疝的所有整数，且每一行、每一列及两个主对角线上的整数之和都

相等.早在13世纪中国古代数学家杨辉就作出了5x5的幻方，那么5x5幻方的每一行上

整数之和为.

【答案】65

【分析】

计算出1+2+3+…+25,再除以5可得结果.

【详解】

因为1+2+3+…+25=0+25）x25=i3x25=325，

2

因为5x5幻方的每一行上整数之和相等，共5行，所以每行的整数之和为3专25=65.

故答案为：65.

三、双空题

9.（浙江省金华一中2021届高三下学期5月高考模拟考试数学试题）等比数列｛为｝满

足G+4=92-(”eN*),则a,=；

？+1%+,0§2A+…+1呜=-------------

【答案】31683

【分析】

利用给定的递推公式求出公比生进而求得G；写出数列｛为｝的通项，再求出kg2m•的

表达式即可得解.

【详解】

1a+a

设等比数列｛q｝的公比4,因“eM,a„+1+a„=9-2"-,q='^^=221=2,

而〃2+4=9,即qg+q=9,所以4=3；

«„=3-2-')则厩?=噫2"|="-1,所以数列｛log为是首项为0,公差为1的等

差数列，

log,'+log,+log,H-----Flog,-=0+3+6H----1-99=1683.

故答案为：3：1683

10.(浙江省金丽衢十二校2021届高三下学期第三次联考数学试题)已知S”为数列｛«„)

的前"项和，2s“=3a“-1,且am=4log,4+3,贝ljan=,m+k的最小值为

【答案】3

【分析】

由给定递推公式求出数列｛q｝的通项，把〃?+女建立起关于〃，的函数，利用函数单调性

即可得解.

【详解】

依题意，Vne7V\2S,r=3an-l,则让2,2S,T=3,*-1,两式相减得2q,=3%-3%_1,

%=3《i，而2q=3q-l,即q=l,数列｛%｝是公比为3的等比数列，则%=3"3

因a,,,=4log、4+3,则3m-'=4log,31+3=4k-\,人=』-3"一+」,（A,机eN*）,

44

n

m+k=\-y-'+m+\,因函数/（x）=j3~+x+!是R卜.增函数，则数列

4444

｛1•3"1+机+1｝是递增数列，

44

"7=1时，％=!任N’,不符合要求，历=2时，k=\,所以m+A的最小值为3.

2

故答案为：3-,；3

【点睛】

思路点睛：数列是一类特殊的函数，研究数列单调性可借助对应的函数单调性解决.

11.（浙江省宁波市“十校”2021届高三下学期5月高考适应性测试数学试题）在等比

数列｛4｝中，若4=-1,%=64,贝!|4=,54=.

【答案】-451

【分析】

根据题设条件和等比数列的通项公式，求得数列的公比4=7,结合等比数列的求和公

式，即可求解.

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为q.

因为％=-1，4=%，可得％=W'=64,解得q=Y,

所以S4==51.

1-(-4)

故答案为：-4；51.

12.（浙江省名校新高考研究联盟2021届高三下学期第三次联考数学试题）已知数列

｛q｝为等差数列，5“为卜，“｝的前〃项和，“eN”,若％=18,几=54,贝!|%=

____________，S“=

【答案】-12.21〃-/

【分析】

设等差数列｛为｝的公差为d,根据已知条件建立有关4、d的方程组，解出这两个量,

即可求出知的值，并利用等差数列的前"项和公式求出S..

【详解】

生=4+"=18r=2Q

设等差数列｛叫的公差为d,则由已知得：。，。18x17,一，解得［一.

几=184+―--d=54［a=-2

因此，%=4+161=20+16x(-2)=-12,

2

Sn=nat+'―^~=20〃-n(/i-1)=21n-n.

故答案为-12；2\n-iv.

【点睛】

本题考查等差数列相关量的计算，对于这类问题，一般是根据已知条件，建立有关首项

和公差的方程组，利用方程思想进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.

13.(浙江省绍兴一中2021届高三下学期第三次联考数学试题)设数列｛«„)满足

4+3%+—+(2〃-1)”“=2".｛q｝的通项%=,数列］我的前〃项和是

22n

【答案】

2〃一12/7+1

【分析】

由当"22时，由q+3%+…+(2〃-1)凡=2〃①，得q+3/+…+(2n-3)0,,..=2(H-1)(2),

①一②求出明,注意验证/是否满足该通项公式，然后利用裂项求和法求数列%

2〃+1

的前”项和.

【详解】

解：当”=1时，4=2,

当”22时，由4+3%+…+=2〃①,

得+3a2+…+(2"—3)。"_1=2("-1)②，

①-②得(2〃-I)/=2,

2

当”=1时也满足此式,

7

所以数列｛%｝的通项为=言:

因为~=_=-------------

2〃+1(2,7—1)(2〃+1)2/7-12，?+1

所以数列岛的前”项和s=T+H+…+*2n

2〃+12〃+12n+l

2In

故答案为:

2H-12〃+1

【点睛】

本题考查数列的通项公式及数列求和，重点考查了运算能力，属基础题.

14.（浙江省宁波市正海中学2021届高三下学期5月模拟考试数学试题）若等差数列｛«„）

的首项为4,公差为"，关于x的不等式的解集为［°'叫’贝的=

,使数列｛a,,｝的前〃项和S“最大的正整数〃的值是.

【答案】05

【分析】

根据题意列方程组解得数列｛《,｝为首项为正的递减数列，再由为=-弓>0,4=g<0，

可得数列（«„｝的前〃项和S“最大的正整数及=5.

【详解】

因为关于x的一元二次不等式+（4卜+建0的解集为［0,10］，

d<0

所以ex(