【预习】第10讲 复数的概念（教师卷）-【寒假衔接讲义】高一数学寒假讲义练习（新人教A专用）

第第页第10讲复数的概念【学习目标】1、了解从实数系到复数系的扩充过程和方法．2、研究复数的表示、运算及其几何意义．【考点目录】考点一：复数的基本概念考点二：复数相等考点三：复数的几何意义考点四：复数的模考点五：复数的轨迹与最值问题【基础知识】知识点一：复数的基本概念1、虚数单位数叫做虚数单位，它的平方等于，即．知识点诠释：①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．2、复数的概念形如（）的数叫复数，记作：（）；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．知识点诠释：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据．3、复数的分类对于复数（）若b=0，则a+bi为实数，若b≠0，则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数．分类如下：（）用集合表示如下图：4、复数集与其它数集之间的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集．）5、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为．知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：如果，那么特别地：．知识点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样．根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小．知识点三：复数的几何意义1、复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．知识点诠释：实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2、复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是复数的一种几何意义．3、复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数．设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即复数平面向量这是复数的另一种几何意义．4、复数的模设（），则向量的长度叫做复数的模，记作．即．知识点诠释：①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小．②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等．【考点剖析】考点一：复数的基本概念例1．若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，，，，所以．故选：C．例2．设集合，，，则，，间的关系为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．因此只有B正确．故选：B．例3．已知复数（i是虚数单位）（1）复数z是实数，求实数m的值；（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.【解析】（1）复数z是实数，则，解得或；（2）复数z是虚数，则，解得且且；（3）复数是纯虚数，则，解得.考点二：复数相等例4．当x､y为何实数时，复数等于2？【解析】根据题意可知，实部等于2，虚部等于0，即，解方程得，，，所以或或或.故答案为：或或或.例5．）已知复数，若，则___________.【答案】【解析】解：因为所以，解得所以故答案为：考点三：复数的几何意义例6．复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨设复数，则有：则有：故有：解得：故选：B例7．设是复数的共轭复数.在复平面内，复数与对应的点关于轴对称，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：设，则，，依题意得，解得，∴，.故选：B.考点四：复数的模例8．已知复数，则（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】由题意，.故选：D.例9．已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．【答案】【解析】设，则﹒故答案为：考点五：复数的轨迹与最值问题例10．若复数满足，则的最大值是______.【答案】3【解析】设，则，根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，则最大值为，故答案为：3例11．设复数满足，则=__________.【答案】0【解析】设复数，由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，又由，解得，所以.故答案为：.【真题演练】1．已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，而为实数，故，故选：B.2．已知，，(i为虚数单位)，则（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【解析】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.3．当时，复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由题设知：复数对应点为，由，则，故点在第四象限.故选：D4．在复平面内，与复数的共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】复数的共轭复数为，对应得点为，位于第二项限.故选：B5．已知，且．若，则的最大值是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】设，，故，，则，，，当时，有最大值为4.故选：C6．复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是（

）A．圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线.【答案】B【解析】设，则，，因为，所以，整理可得：，所以所对应的点的集合构成的图形是直线，故选：B.7．已知，，则z等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，所以，解得，，即.故选：D8．当时，复数在平面上对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，，点在第四象限．9．i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用a＋bi的形式表示，a，b∈R）．【答案】4－4i【解析】是周期为4的运算，，，，…，代入原式得.故答案为：10．已知实数m满足，求m及x的值．【解析】实数m满足，则，∴，解得，.【过关检测】一、单选题1．已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为（

）A．1 B．3 C．1或3 D．0【答案】B【解析】因为为纯虚数，故，则，解得.故选：B2．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】在复平面所对应的点为，位于第二象限.故选：B.3．已知i为虚数单位，复数，则z的共轭复数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故其共轭复数为，故选：B.4．设，复数，若为纯虚数，则（

）A．3或 B．3 C．或 D．【答案】B【解析】因为复数为纯虚数，所以，解得.故选：B5．设是虚数单位，若复数，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．9【答案】A【解析】因为，所以=，当时，.故选：A.6．若，，则复数等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，则，根据复数相等的充要条件得，解得，故．故选：B．7．已知复数z满足，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，整理得：,所以，消去得,因为方程有解，所以，解得：.故选：D.8．已知复数①在复平面内对应点的坐标为(1，－1)；②复数的虚部为；③复数的共轭复数为；④；⑤复数是方程在复数范围内的一个根.以上5个结论中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为，所以在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，所以①正确；复数的虚部为，所以②错误；复数的共轭复数为，所以③错误；，所以④正确；方程在复数范围内的根为，所以复数是方程在复数范围内的一个根，所以⑤正确；所以正确的命题个数为3个，故选：C.二、多选题9．下列关于的说法中正确的有（

）A．表示点与点之间的距离 B．表示点与点之间的距离C．表示点到原点的距离 D．表示坐标为的向量的模【答案】ACD【解析】由复数的几何意义知复数、分别对应复平面内的点与点，所以表示点与点之间的距离，故A正确；，可表示为点到原点的距离，故C正确；，故B错误；与向量一一对应，则可表示坐标为的向量的模，故D正确.故选：ACD.10．下列说法中正确的有（

）A．若，则是纯虚数B．若是纯虚数，则实数C．若，则为实数D．若，且，则【答案】CD【解析】对于A中，当，可得的不是纯虚数，故A错误；对于B中，当，可得，此时不是纯虚数，所以B错误；对于C中，当时，可得，所以为实数，所以C正确；对于D中，由，且，所以，所以D正确．故选：CD11．（多选）若，且，则等于（

）A．4 B． C．2 D．0【答案】AD【解析】因为，且，所以，解得或，所以或0．故选：AD12．设复数，（R），对应的向量分别为（为坐标原点），则（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则的最大值为【答案】AD【解析】对A，；对B，对应的坐标为，对应的坐标为，因为，故，即，故B错误；对C，若，则，即，因为，故，即，故，故C错误；对D，若，即，其几何意义为到的距离小于等于，又的几何意义为到的距离，故的最大值为故D正确；故选：AD三、填空题13．复数z的虚部为，在复平面内复数z对应的向量的模为2，则复数_______________.【答案】或【解析】设，则有，解得或，所以或，故答案为：或.14．若复数（）在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是_______.【答案】【解析】复数（）在复平面上对应的点位于第二象限.可得解得.故答案为：15．若，且，则的最大值是_______．【答案】【解析】，则复平面上表示复数的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示到点的距离，∵，所以=的最大值为．故答案为：．16．若复数满足（为虚数单位），则的最大值是___________.【答案】【解析】设，，则，即，两边平方得：，整理得：，两边平方得：，将代入中，可得：，所以，则故答案为：四、解答题17．当实数为何值时，复数在复平面内的对应点满足下列条件：(1)位于第四象限；(2)位于实轴负半轴上（不含原点）；(3)在上半平面（含实轴）．【解析】（1）要使点位于第四象限，则有∴∴；（2）要使点位于实轴负半轴上（不含原点），则有∴∴；（3）要使点在上半平面（含实轴），则有，解得或．18．在复平面内A，B，C的对应的复数分别为．(1)求；(2)判定的形状．【解析】（1）根据复数的几何意义，得，，，所以，同理：，．（2）由（1）得，故，所以为直角三角形.19．已知复数（）.试求实数分别为什么值时，分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.【解析】（1）因为（）为实数，所以，解得，所以，当时，为实数.（2）因为（）为虚数，所以，解得且.所以，当时，为虚数.（3）因为（）为纯虚数，所以，，解得.所以，当时，为纯虚数.20．已知复数z=m（m+2）+（m2+m-2）i．(1)若z是纯虚数，求实数m的值；(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．【解析】（1）若复数是纯虚数，则，解得或且，，所以.（2）复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，故的取值范围为.21．已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为．