小学四年级上册 数学《奥数》知识点讲解第13课 数学竞赛试题选讲 试题附答案

小学四年级上册数学奥数知识点讲解第13课《数学竞赛试题选讲》试题附答案

第十五讲数学竞赛试题选讲

例1计算：(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)(1988年北京市小学数学

奥林匹克邀请赛试题)

例2计算：1+2+3+4-+99+100+99+-+4+3+2+1

例3计算:1X2+2x3+3X4+…+100X101

例4计算：'南

例5在下面各数之间，填上适当的运算符号和括号，使等式成立：10693

2=48(1994年北京市小学生“迎春杯”决赛试题)

例6右图中六个小圆圈中的三个分别填有15、26、31三个数.而这三个数分别

等于和它相邻的两个空白圆圈里的数的和，那么，填在三个空白圆圈里的数

审，最小的一个数是.

例7已知算术式abed-efgh=1994,其中abed、efgh均为四位数；a、匕

c、d、e、f,g,h是0、1,2、…、9中的8个不同整数且a声

0,e卢0.那么abed与efgh之和的最大值是___,最小值是____.

例8如右图，AB、CD、EF、MN互相平行，则右图中梯形的个数与三角形的个数

相差多少？

例9如下图（1），由18个边长相等的正方形组成的长方形ABCD中，包含“*”

在内的长方形及正方形一共有多少个？

D....,.,C

--------------AM'N'E'F'd寸

111

'BAMNEFGB

(1)(2)

例10如右图，在5X8的长方形中，挖去一个IX4的长条（阴影部分）.请把

它划分成两部分，使它们能拼成一个正方形.

CD

例11用6个IX2的长方形拼成一个2X6的长方形（如右图），一共有多少种不

同的拼法.

123456

789101112

例12某车间原有工人不少于63人.在1月底以前的某一天调进了若干工人，以

后，每天都再调1人进车间工作.现知该车间1月份每人每天生产一件产品，共

生产1994件.试问：1月几号开始调进工人？共调进了多少工人？

答案

第十五讲数学竞赛试题选讲

例1计算：Q+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)(1988年北京市小学数学

奥林匹克邀请赛试题)

解法L

原式=[(1989+1)*2]2-(1988*2)X(1988*2+1)

=9952-994X995

=995X(995-994)

=995.

解法2：去括号，得

原式=1+3+5+…+1989-2-4-6----1988

=1+(3-2)+(5-4)+-+(1989-1988)

=1+1+1+-+1

995个1相加

=995.

说明：解法1是应用两个常见的公式：

前n个奇数的和

1+3+5+…+(2n-l)=n2.

前n个偶数的和

2+4+6+…+2n=nX(n+1).

解法2是采用适当分组的方法转化为相同加数的加法问题，即将低级运算

(加法)转化为高级运算(乘法).

例2计算：1+2+3+4-+99+100+99+-+4+3+2+1

解：运用加法的交换律与结合律，得

原式=(1+99)+(99+1)+(2+98)+(98+2)+…

+(50+50)+100

=100+100+100+100+-+100+100

'、_________________________________________________________________________________________>

100个100相加

=100X100

=10000.

说明：由本例可以推广为一般公式：

1+2+3+-+(n+1)+n+(n-1)+…+3+2+l=n2.

例3计算：1X2+2X3+3X4+…+100X101

分析根据题目数据的特点，把各加数作如下恒等变形：

1X2=(1X2X3)+3；

2X3=(2X3X4-1X2X3)+3；

3义4=(3X4X5-2X3X4)+3；

100X101=(100X101X102-99X100X101)+3；然后运用拆项对悄的方

法即可计算出和式的结果.

解：原式二[1X2X3+(2X3X4-1X2X3)+(3X4X5

-2X3X4)+”•+(100X101X102-99

X10QX1Q1)卜3

=[1X2X3+2X3X4-1X2X34-3X4X5

-2X3X4+-+100X101X102-99X100

X10U-3

=100X101X102+3

=343400.

说明：本题可以推广为一般公式：

lX2+2X3+3X4+-+nX(n+l)=nX(n+1)X(n+2)+3.

lll-ll2

例4计算：isti

解：因为

111111111=9X12345679,

于是有

原式=in“Tixnr“n

'----------''----------'

18个1,18个1、

=111-11X(9X12345679012345679)

18个1

（由乘法结合律）

=（111-11X9）X12345679012345679

、____>

18个1

=999…99X12345679012345679

18个9

=（1000-00-1）X12345679012345679

18个0

=12345679012345678987654320987654321.

例5在下面各数之间，填上适当的运算符号和括号，使等式成立：10693

2=48（1994年北京市小学生“迎春杯”决赛试题）

解：填法不唯一.下面给出几种常见的填法：

10X6-（9-3）X2=48；

（10+6）X（9-3X2）=48；

10+6X（9-3）+2=48；

10X（6+9）+3-2=48；

（10+6）X（9-3）*2=48.

说明：在欧美流行一种数学游戏：试用4个给定的自然数经过四则运算的结

果等于24.本例与这种游戏是类似的，它们对于发展学生的数学思维是十分有

益的.

例6右图中六个小圆圈中的三个分别填有15、26、31三个数.而这三个数分别

等于和它相邻的两个空白圆圈里的数的和，那么，填在三个空白圆圈里的数

中，最小的一个数是.

解：设15与26之间的圆圈里的数是a,

26与31之间的圆圈里的数是b,

15与31之间的圆圈里的数是c,

依题意，有

a+b=26,b+c=31,a+c=15；

于是可知2(a+b+c)=26+31+25,

即a+b+c=36；

因此，最小数是："36-31=5.

例7已知算术式说丽=1994,其中航工嬴均为四位数；a、人

c,d,e、f,g、h是0、1、2、…、9中的8个不同整数且ar

0,e卢0.那么痂与瓯之和的最大值是最小值是

分析本题可转化为如下数字迷：

efgh

十)1994

abed

解：先确定g=0,c=9.

假设竖式加法中，十位数字g沪0或者个位数字h+4)10,则百位上的数字

b=f,不合题意.因此，可以推断g=0且h+4<10.于是c=9.

又由abed=efgh+1994可知，abed与逐洞时增大且同时减小.为了使

A=码+画尽可能大，首先应该使首位数字a尽可能大，考虑到字母c=9

卢a,则取a=8,而fr0=8且£=匕+1,故有f+9>10,于是e=6；其次应该使百位数

字b尽可能大，由b与提相邻自然数，则取b=4、f=5；最后令个位数字d尽可能

大，则取d=7,故有h=3.这样就得到A的最大值为：8497+6503=15000.

类似地，要使A尽可能小，依次取a=3、e=l,b=4、f=5,d=6、h=2.这样就

得到A的最小值为：

3496+1502=4998.

例8如右图，AB、CD,EF、MN互相平行，则右图中梯形的个数与三角形的个数

相差多少？

解：首先计算右图中三角形的个数.由于所有三角形都以0点为顶点；且以

AB或CD或EF或MN上的线段为底的三角形各有：

4+3+2+1=10（个）.

因此，图中一共有三角形：

10X4=40（个）.

其次计算上图中模形的个数.由于从AB、CD、EF、MN中任意选出两条为

上、下底时各有梯形：

4+3+2+1=10（个）.

而从4条线段中选出两条线段的不同选法有

（4X3）+2=6（种）,

所以，上页图中一共有梯形

10X6=60（个）.

于是上页图中梯形个数与三角形个数相差

60-40=20（个）.

例9如下图（1）,由18个边长相等的正方形组成的长方形ABCD中，包含“*”

在内的长方形及正方形一共有多少个？

分析本题是有条件限制的几何图形的计数问题，为了不重不漏，必须适当

分类计算.

DC

良M'N'EFGB'

B

ABAMNEFG

(1)(2)

解：按照竖直方向上线段的长度分三类进行计数：

①高是1个单位长度（如上图（2））时，实质上是计算在底边AB上包含线

段EF的线段数.为了方便起见，又分四种情况讨论：

1°包含AFF'A'的长方形有AFF'A'、AGG'A'、ABB7A7,共3个；

2。包含MFF，M;的长方形（不在1°中的）有MFF，M，、MGG'M'、MBB?

M，，共3个；

3°包含NFF，N，的长方形（不在1°、2°中的）有NFF，N<NGG/Ny,

NBB，N，，共3个；

4°包含EFF，Ey的长方形及正方形（不在1。、2。、3。中的）有EFF，

E•,EGG'EJEBB'E',共3个.

总计包含“*”的长方形及正方形有：

3X4=12（个）.

②高是2个单位长度（如下图（1））时，类似情况（1），总计包含“*”

的长方形及正方形有：

3X4=12（个）.

③高是3个单位长度（如上图（2））时，总计包含“*”的长方形及正方形

也有：

3X4=12(个)•

综上所述，长方形ABCD中包含“*”的长方形及正方形一共有:

12X3=36(个).

例10如右图，在5X8的长方形中，挖去一个IX4的长条（阴影部分）.请把

它划分成两部分，使它们能拼成一个正方形.

解：从长方形ABCD中挖去阴影部分后剩下的面积是

5X8-4=36.

由此可知，拼成的正方形的边长是6.

根据这一要求，并且考虑分成的两部分如何拼合，就会得出如下用虚线表

示的划分（如下图（1）所示）：

III

(1)(2)

用上述划分后拼成的正方形如上图（2）.

例n用6个IX2的长方形拼成一个2X6的长方形（如右图），一共有多少种不

同的拼法.

123456

789101112

分析研究用IX2的长方形拼成2Xn的长方形的方法，从简单情况入手，逐

次讨论：

①当n=l时，显然只有1种拼法；

②当n=2时，2X2的长方形有下图（a）及图（b）两种不同的拼法;

(a)(b)

③当n=3时，2X3的长方形的拼合问题分两类（如下图（c）及图（d））：

图（c）即转化为2X1的长方形拼合问题，由①可知，仅有一种拼法；上图

（d）即转化为2X2的长方形拼合问题，由②可知仅有2种拼法.于是2X3的长

方形的拼法一共有：

1+2=3（种）；

④当n=4时，2X4的长方形的拼合问题亦分为两类（如图（e）及图

（f））：

12341234

56785678

(e)(f)

图（e）即转化为2X2长方形拼合问题，图（f）即转化为2X3长方形拼合

问题，由②和③可知，2X4长方形的拼合方法一共有：

2+3=5（种）；

⑤当n=5时，类似③、④的情况两类拼法，2X5的长方形的拼法一共有：

3+5=8（种）s

⑥当n=6时，2X6的长方形的拼法一共有：

5+8=13（种）.

说明：上述解决问题的方法常称为归纳递推的方法，今后还要专门介绍.

例12某车间原有工人不少于63人.在1月底以前的某一天调进了若干工人，以

后，每天都再调1人进车间工作.现知该车间1月份每人每天生产一件产品，共

生产1994件.试问：1月几号开始调进工人？共调进了多少工人？

解：因为原有工人不少于63人，并且

1994=63X31+41,

1994=64X31+10,

1994<65X31,

所以，这个车间原有工人不多于64人，即这个车间原有工人63人或64人.

这个车间原有工人1月份完成产品是

63X31=1953或64X31=1984（件）.

于是可知，余下的41件或10件产品应该表示为连续自然数之和.据已知，

不能是1月31日调进工人，设第一天调进x名工人，共调入n天，那么显然24n4

8.事实上，九个连续自然数之和最小为

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45〉41.

经检验，当n=2时x=20,并且有：

20+21=41；

当n=4时x=l,并且有：

1+2+3+4=10.

答:从1月30日开始调进工人，共调进工人21名；或者从1月28日开始调进

工人，共调进工人4人.

说明：本题是用于考查学生掌握连续自然数求和及解决实际问题的能力.

习题十五

1.计算：1-2+3-4+5-6+--98+99

2.计算：88888X88888^-(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1)

3.计算：11X12+12X13+13X14+-+50X51

4.设n=lll…1P,那么n的各位数字之和是

27个1

5.试在15个8之间适当的位置填上适当的运算符号+、-、X、+,使运算

结果等于1986：

888888888888888=1986.

6.在右图中所示的三角形三边之长互不相等，现在要将1,2