数学必修第一册全册综合检测题-寒假作业12（解析版）-2020-2021学年高一数学寒假复习巩固练习（人教A版2019）

2021年专题12人教A版(2019)数学必修第一册全册综合

检测题一寒假作业12(解析版)

一、单选题

Y2

1.命题“DxNO,cosx>1-----"的否定是()

2

22

A.3x0<0,cosx0>1-B.3x0<0,cosx0<1-

C.3JC0>0,cosx0>1-D.3x0>0,cosx0<1-

【答案】D

【分析】

根据全称量词的否定是存在量词可得答案.

【详解】

因为全称量词的否定是存在量词，

所以命题“Vx»0,cos尤的否定是：训20,cos/<1-冷.

故选：D

2.已知全集。={1,2,3,4,5},集合4={2,4},8={3,4},则A&3)=()

A.[2,3,4}B.{1,2,4,5}C.{2,5}D.{2}

【答案】B

【分析】

根据补集的定义求出,再利用并集的定义求解即可；

【详解】

因为全集。={1,23,4,5},B={3,4},

所以。8={1,2,5},

又因为集合4={2,4},

所以AD(63)={1,2,4,5},

故选：B.

x+l,xWO

3.函数f(x)=«的零点是()

、lgx,x>0

A.(-1,0),(1,0)B.-1,1C.(-1,0)D.-1

【答案】B

【分析】

分别令x+l=0,lgx=0解方程即可.

【详解】

x+1=0

」出意,、i-f：x=

%<0

lgx=0

'x>0,解得：x=l.

综匕x=+l.

故选：B

【点睛】

求函数零点类问题分为两大类:

(1)零点直接解出来：方程可解;

(2)二分法估计：方程不可解，用零点存在定理判断零点存在范围，用二分法求近似值.

4.下列命题中，正确的是()

A.若ac>be,贝!Ia>6B.若a>b,c>d,贝!]a+c>b+t/

若则!>一

C.a<b,D.若a>bc<d则

ab99cd

【答案】B

【分析】

本题可通过c<0判断出A错误，然后通过。<0、〜>0判断出C错误，最后通过。=0

判断出D错误，即可得出结果.

【详解】

A项:若ac>be,evO,则〃<匕，A错误;

B项：若a>b,c>d,则a+c>b+d,B正确;

11

>O则<

C项：若a<h,a<0,-b-Cfaix；

。

D项：若a>b<c<d.c=0,则一不存在，D错误,

c

故选：B.

试卷第2页，总17页

5.为了得到函数y=sin（3x-Wj的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）.

7E兀

A.向右平移£个单位长度B.向左平移;个单位长度

99

7T7T

C.向右平移丁个单位长度D.向左平移彳个单位长度

33

【答案】A

【分析】

由条件利用函数丁=乐皿西+9）图象的平移变换即可求解.

【详解】

把函数y=sin3x的图象向右平移］个单位长度可得

.』万.八兀）

y=sin3x=y=sin3x—,

LI9jj-I3）

故为了得到函数^=5皿（3%-1）的图象，

只需把函数y=sin3x的图象向右平移1个单位长度.

故选：A

6.已知/（x）=|lnx|,若“=c=/（3），则（）

A.a<b<cB.h<c<a

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

【分析】

本题首先可根据/（X）=|lnx|将。、〃、C依次转化为In5、In4、M3,然后通过y=InX

的单调性即可得出结果.

【详解】

因为/（x）=|lnR,

所以a==In；=ln5,8=/［；）=卜n；=In4,c—./（3）=|ln3|=In3,

因为y=lnx是单调递增函数,

所以In5>ln4>ln3,即a>b>c,

故选：D.

7.已知幕函数y=/（x）的图像过点2,T，则下列关于/（X）说法正确的是（）

A.奇函数B.偶函数

C.定义域为［0,+«>）D.在（0,+8）单调递减

【答案】D

【分析】

设出某函数的解析式，将所过点坐标代入，即可求出该函数.再根据幕函数的性质的结

论，选出正确选项.

【详解】

设幕函数为"X）=,aCR,因为函数过点［2,孝），

所以2"=也=2^,则二=一工，

22

‘所以/（X）=”,

该函数定义域为（0,+8），则其既不是奇函数也不是偶函数，

且由-L<0可知，该幕函数在（0,+8）单调递减.

2

故选：D.

3

8.已知函数了（幻=2）一一在区间（1,2）上有一个零点七,如果用二分法求方的近似值

x

（精确度为0・01）,则应将区间（1,2）至少等分的次数为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】

根据二分法的定义可得1<0.01,解得〃>6即得.

2"

【详解】

由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的;，则等分〃次后的区间长度变为

原来的L

2"

则由题可得二<0.01,即2">100>26，:.n>6,

则至少等分的次数为7.

试卷第4页，总17页

故选：c.

.f5^V5nil(13万。)_

9.已知sin---------=---------9则cos--H-=()

(122)4I122；

A而而「石75

A.-----B1.t---C.----nD.

4444

【答案】D

【分析】

利用三角函数的诱导公式即可求解.

10.下列可以表示以加=卜|04%＜1｝为定义域，以％=卜|0＜丁＜1｝为值域的函数

【答案】C

【分析】

根据题意，依次分析选项中的图象，综合即可得答案.

【详解】

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，其对应函数的值域不是N={y[O<y<l},A错误；

对于8,图象中存在一部分与8轴垂直，该图象不是函数的图象，B错误；

对于C，其对应函数的定义域为“={工1怎>1}，值域是N={y|（^61},C正确;

对于D，图象不满足一个》对应唯一的>,该图象不是函数的图象，。错误；

故选：C.

12ITI

11.已知。〉0,人>0,若不等式一+,2；；~恒成立，则实数比的最大值为（）

ah2a+b

A.10B.9C.8D.7

【答案】C

【分析】

由已知可得机v（：+'|）（2a+/?）,即求++的最小值，由基本不等式可

得答案.

【详解】

所以（工+2）（2〃+8）=4+2+色24+2、^^=8，

{abp'ab\ab

当且仅当2=色即方=2a等号成立，要使不等式恒成立，所以加48

ab

所以实数机的最大值为8.

故选：C.

【点睛】

易错点晴：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“-正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数：

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最

大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等''是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号

则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

12.设动直线X=4与函数/(工)=2sir?[?+x]和g(x)=Gcos2x+1的图象分别

试卷第6页，总17页

交于M、N两点，贝！l|肱V|的最大值为()

7135

A.—B.—C.-D.一

2222

【答案】A

【分析】

利用三角恒等变换思想化简得出g(x)二/'(x)=-2sin[2x-/]+g,求出

g(x)-/(x)的值域，由此可求得的取值范围，即可得解.

【详解】

71

/(x)=2sin2=l-cos2—+x=l-cos——I-2x=1+sin2x

—+X[14JJ(2)

3

g(x)-/(x)=

2

-1<sin^2x-yj<1,可得一gV-2sin^2x-yj+^-<:,

/\□r-|i

所以，|A^V|=-2sinla--+二e0,-,即.

<3/2[_2Jmax2

故选：A.

【点睛】

方法点睛：三角函数最值的不同求法：

①利用sinx和cosx的最值直接求：

②把形如y=asinx+Ocosx的三角函数化为y=Asin(Q)x+s)的形式求最值;

③利用sin尤±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求最值.

二、填空题

13.已知幕函数f(x)=(加+1)-1,则/(2)=.

【答案】y

【分析】

由条件可得加=0,然后可得答案.

【详解】

因为/(x)=(加+1»2〃1是塞函数，所以帆+1=1,即〃7=0

所以/瓮)=无，所以/(2)=2-|=；

故答案为：一

2

14.设奇函数/(x)对任意的司，we(e,O)(X|NW)，有且

W一玉

/(2020)=0,则二幻一/(一划〉0的解集.

X

【答案】(-2020,0)0(0,2020)

【分析】

可根据函数的单调性和奇偶性，结合/(2020)=0和/(—2020)=0,分析出/(%)的正

负情况，求解.

【详解】

“X)对任意的西，』€(-8,0)(入产&),有/(6/(』<0

x2-x1

故/(X)在(-0),0)上为减函数，由奇函数的对称性可知/(X)在(0,+8)上为减函数

/(2020)=0,则/(—2020)=0

贝ijxe(-oo,-2020),/(x)>0,xG(-2020,0),f(x)<0

xe(0,2020),/(x)>0,xe(2020,+oo),/(x)<0

2/(x)

XX

XG(-OO,-2020),/(X)>0,3£H

X<0:

XG(-2020,0),/(X)<0,

X

XG(0,2020),/(X)>0,^H

X>0:

XG(2020,4W),/(X)<0,

X

试卷第8页，总17页

故/(%)/(一〉0解第为：

0(_2020,0)U(0,2020)

X

故答案为：(-2020,0)^(0,2020)

【点睛】

正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数

人丫)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2加一无)=一火x)或/(—x)=/(x)是定义域上的

恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于),轴对称，反之也成立.利用

这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.

15.若函数/(x)=2sin[%x+£j的图象在闭区间日,机上是轴对称曲线，则加的

最小值为.

【答案】—

12

【分析】

先由正弦函数的对称性，求出/(x)的对称轴，再由函数/(x)在闭区间上是轴

_4

对称曲线，得出+〈)=?+〃?(根>?),即可求出结果.

【详解】

一7171

当/(X)的定义域为/?时，图象的对称轴满足：7TX+-=k7r+-(keZ),即对称轴方

62

程是8=女+；(左eZ),

'21'

因为函数/3)在闭区间—,m上是对称曲线，

_4_

’21

m>—

459

所以21，所以「造

2k+—=—+加

II3J4

因为ZeZ,所以左取最小值5时，机最小值为负.

12

故答案为：—.

12

16.对于函数/(x)、g(x),设机6何/(力=0},"={x|g(x)=O},若存在切、

〃使得|租-“<1,则称“X)与g(x)互为“友好函数”.已知函数

/(x)=log3(x+2)—与g(x)=a4+2V+I-2互为“友好函数”，则实数a的取值

范围是•

【答案】一别

【分析】

求出函数/(%)的零点为尤=1,由题意可求得函数g(x)零点的取值范围是(0,2),由

/(x)=0可得出a=，令♦=〃«)=2/_2f,则

实数。的取值范围即为函数〃(/)在re(；』)的值域，利用二次函数的基本性质求出为

函数人(/)在的值域，即为实数〃的取值范围.

【详解】

由于函数y=log3(x+2)为增函数，函数为减函数，则函数/(%)为增函数,

因为/(l)=log33-e°=。,.•./?!=1.

由于/(x)=log3(x+2)-e」、与g(x)=a4+2x+J2互为“友好函数”,

则|〃一1|<1,可得一1<〃一1<1,解得0<“<2,

所以，函数g(x)=a@+2*T—2的零点的取值范围是(0,2),

,+122

由g(x)=a4+2-2=0可得a=~''=2•(；J一2(gJ，

%«)=2r-2t,则实数。的取值范围即为函数在

的值域.

当re时，〃（。=2*-2/=2l-r4°-

试卷第10页，总17页

因此，实数a的取值范围是一；，°）

故答案为：一3，°）

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系

中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、解答题

17.已知命题人实数x满足--46+3/<0（a>0）,q：实数x满足

x2-5x—6<0

x2-5x+6>0

（1）若q为真命题,求实数的取值范围.

（2）若力是r的充分不必要条件，求实数”的取值范围.

【答案】（1）3<xW6或一l4x<2（2）{a|l<a<2}.

【详解】

试题分析：（1）根据题意可知，命题p,q分别表示一元二次不等式的解集，然后利用且

命题为真，得到实数X的取值范围.

（2）根据rp是rq的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件，利用集合的思想

来求解得到.

（1）当a>0时，{x|x2-4ax+3a2<0}={x|（x-3a）（x-a）<0}={x|a<x<3a},如果a=l时,则

x的取值范围是{x|lVxV3},而{x|x2-x-6W0,且x2+2x-8>0}={x|2VxW3},

因为pAq为真，所以有{x|lVxV3}n{x|2Vx=3}={x|2VxV3}.故实数x的取值范围是

{x|2<x<3}.

（2）若rp是rq的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件.由⑴知，（x|2VxW3}

是{x|a〈xV3a}（a>0）的真子集，易知a<2且3V3a,解得{a|lVa«2}.故实数a的取值范围

是{a|l〈aW2}.

考点：本试题主要考查了命题的真值的判定，以及充分条件的判定的运用.

点评：解决该试题的关键是对于命题p,q的正确表示，尤其是含有参数的一元二次不等

式不等式的求解，注意根的大小的确定解集，并利用数轴法来得到集合的包含关系进而

求解.

18.已知函数,f（x）=/nr?+x+皿加eR）.

（1）若HxeR,/（力=0,求实数机的取值范围；

（2）当机=；时，解关于x的不等式/（X）>O.

【答案】（1）—；（2）{x[x<-2—6或x>—2+6}.

【分析】

（I）由HrcR,=0,转化为方程〃I/+%+〃2=0有实数解，分〃2=0和根。0

讨论求解.

（2）由机=[,则不等式为三+4%+1>0,然后利用一元二次不等式的解法求解.

【详解】

（1）因为小wR,/（X）=O,

所以方程"IT?+l+m=。有实数解，

当m=0时，x=0»成立

当相。。时，A=l-4/?z2>0，

解得一根（工，且加00,

22

综上：实数〃?的取值范围是一;,;；

（2）当/〃=；时，关于x的不等式/（力>0,

即为》2+4%+1>0

相应方程f+4x+l=0，A=2A/3>0.

则方程有两个根％=—2—百,々=—2+百，

所以不等式的解集是{x[x<-2-6或》>一2+6}.

19.已知函数“力是定义在R上的奇函数，当x〉0时，〃x）=x+g+l.

（1）求/（X）在R上的解析式；

试卷第12页，总17页

(2)判断，(力在(0,1)的单调性，并给出证明.

X4----F1,X>0

X

【答案】⑴f(x)=＜0,x=0；(2)详见解析.

11八

X4-----1,XV0

X

【分析】

(1)首先设尤＜0,利用函数是奇函数，/(-x)=-/(x),求〃x)；⑵利用函数

单调性的定义证明，首先设0＜为＜々＜1，作差/(西)一/(%2)后，判断正负，得到函

数的单调性.

【详解】

(1)设x＜0时，-x＞0,则/(-x)=-X-'+1,

f(%)是奇函数，.••/(-•X)=-/(%),

即/(x)=_/(_x)=x+g_l,

当x=0时，/(0)=0,

1,c

XH----F1,X>0

X

・•・/(x)h0,x=0

1I八

XH-----1,X<0

X

(2)函数在(0』)内单调递减,

证明：在区间(0,1)内任取.刍，且七<%,

,,、「1A(1A

XH

/(%)-/(々)=\7+1-L^2+—+1

lX\J\X27

当0<王<九2Vl时，%]-X2<0,XyX2-1<0,XyX2>0,

即1(再)〉『(尤2)，

所以函数在区间(0,1)内单调递减.

20.已知/(a)=

cosacos+a|tan(-a+37)

(1)化简/(a)；

(2)若锐角a满足f(&)=也，求sin2a+0sinacosa-cos?a+—乙一的值.

'/3tana

【答案】⑴/(a)=sina；(2)1+五.

【分析】

(1)根据诱导公式，将原式逐步化简，即可得出结果；

(2)根据题中条件，利用同角三角函数基本关系，求出tana,再将所求式子化为关

于tana的式子，即可求出结果.

【详解】

(1)

5%

7t-a)tan(一乃+a)sin+asin2crtancifsin—+a

2____________12J

/(a)

cosa(-sina)tan(-a)

coscosI；+a卜an(-a+37r)

sin2atanorcosor.

---------；-----------=sincr；

cosasinatana

(2)因为/(a)=sina=手，且a是锐角，所以cosa=Jl-sin?a=*•，所以

sina

tana==V2，

cosa

则

.2K.72sin2(74-V2sinacosa-cos2a2

sina+sinacosa-cos-a+------=-------------------------------------+-------

tanasina+cosatana

tan~a+&tana-l2

------7--------1----=1+5/2・

tan-a+1tana

21.已知/+2“+i</〃+】

试卷第14页，总17页

（1）求实数a的取值范围;

（2）求不等式loga（2x-l）<log“（5-4x）的解集；

（3）若函数〃％）=9'-2"3'+1在区间［-1』上有最小值;，求a的值.

【答案】（1）O<£Z<1;（2）［兄1<*<?｝；（3）0=；.

【分析】

（1）利用指数函数单调性，先将所给不等式化为/+2a+i<3a+l，求解，即可得

出结果；

（2）根据（1）的结果，由对数函数单调性，将不等式化为2x—l>5—4x>0,求解,

即可得出结果；

（3）令f=3"，设g（r）=/-2ar+l,|,3，讨论和两种

情况，结合二次函数的单调性，确定最小值，结合题中条件，列出方程求解，即可得出

结果.

【详解】

（1）因为"+2"+i<e3*所以片+2。+1<34+1，

所以所以0<。<1；

（2）因为0<a<l且log"（2x-l）<log“（5-4x）,

所以2x—l>5—4x>0,解得1<九<2.

4

所以不等式的解集为｛兄1（尤<：｝；

（3）令，=33则fe1,3,

设g(f)=/2—2flr+l,fej,3,

当时，g«)=*—2〃+1在区间上单调递减，在区间(a,3］上单调递

31

增，则g").=2-2a2+l=-a2+l=-,解得a=—.

0\/mina42

当时，g⑺="-2q+1在