新教材适用2023-2024学年高中数学第8章立体几何初步8.2立体图形的直观图学案新人教A版必修第二册

8.2立体图形的直观图课标要求能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．素养要求在应用斜二测画法画几何体的直观图的过程中，经历由空间到平面，再由平面到空间的转换过程，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.知识点1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤知识点2用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．练一练：1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴，y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝(C)A．45° B．135°C．45°或135° D．90°[解析]在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴，y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°，故选C.2．(多选题)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是(BC)A．相等的线段在直观图中仍然相等B．平行的线段在直观图中仍然平行C．一个角的直观图仍是一个角D．相等的角在直观图中仍然相等[解析]由斜二测画法原则：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，平行于x轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，A错误；平行线段在直观图中仍然平行，B正确；一个角在直观图中也是一个角的形式出现，C正确；如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，D错误．故选BC.知识点3几何体直观图的画法规则画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x′轴、y′轴都垂直的z′轴，并且使平行于z轴的线段的_平行性__和_长度__都不变．[拓展]在直观图中“变”的量与“不变”量(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；(3)有些线段的度量关系也发生变化．因此图形的形状发生变化．斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变．题|型|探|究题型一水平放置的平面图形直观图的画法典例1用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图．[解析](1)在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，点O′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．[归纳提升]画平面图形的直观图的关键点画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或与轴平行的线段上；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将其转化到与轴平行的线段上来确定．对点练习❶画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图．[解析](1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′轴上截取O′A′＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(\r(3),4)cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．(3)擦去坐标轴得直观图△A′B′C′.题型二几何体的直观图画法典例2用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定)．[解析]画法：(1)画六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于O(如图1所示)，画相应的x′轴和y′轴、z′轴，三轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°(如图2所示)．②在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝eq\f(1,2)MN，以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.③连接A′B′、C′D′、D′E′、F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.(2)画六棱锥P－ABCDEF的顶点，在O′z′轴上截取O′P′＝OP.(3)成图．连接P′A′、P′B′、P′C′、P′D′、P′E′、P′F′，并擦去x′轴、y′轴、z′轴，将被遮挡的线画为虚线，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(图3)．[归纳提升]简单几何体直观图的画法规则：(1)画轴：通常以高所在直线为z′轴建系．(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．(3)确定顶点：利用与z′轴平行或在z′轴上的线段确定有关顶点．(4)连线成图．对点练习❷用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．[解析](1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm.分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱，过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．题型三直观图的还原和计算典例3(1)已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为(C)A．16 B．64C．16或64 D．无法确定(2)(2023·温州高一检测)若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中A′C′∥O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′＝B′C′＝1，O′B′＝2，则原四边形AOBC的面积为(C)A.eq\f(3,2) B．3C．3eq\r(2) D．6eq\r(2)[解析](1)如图所示，①若直观图中，A′B′＝4，则原正方形的边长AB＝A′B′＝4，S正方形＝42＝16；②若直观图中，A′D′＝4，则原正方形的边长AD＝2A′D′＝8，S正方形＝82＝64，故选C.(2)由斜二测画法的直观图知，A′C′∥O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′＝B′C′＝1，O′B′＝2，所以原图形OACB中，AC∥OB，OA⊥OB，AC＝1，OB＝2，AO＝2A′O′＝2eq\r(2)，所以梯形OACB的面积为S＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2eq\r(2)＝3eq\r(2).[归纳提升]1.直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中的相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．2．直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．对点练习❸如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法得到的直观图△O′A′B′(其中∠x′O′y′＝45°)，若A′B′⊥x′轴，O′A′＝2，A′B′＝2eq\r(2)，则△OAB的面积为(C)A．2eq\r(2) B．4C．8 D．4eq\r(2)[解析]由题S△O′A′B′＝eq\f(1,2)×O′A′×A′B′＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，所以eq\f(S△O′A′B′,S△OAB)＝eq\f(2\r(2),S△OAB)＝eq\f(\r(2),4)，解得S△OAB＝8.故选C.易|错|警|示对斜二测画法理解不透，导致判断错误．典例4如图①所示，△ABC水平放置的直观图为△A′B′C′，∠B′A′C′＝30°，∠A′C′B′＝90°，请用作图法画出原△ABC，并量出△ABC的各内角，∠BAC是否等于∠B′A′C′的2倍？∠BCA是否等于∠B′C′A′？[错解]∠BAC＝2∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.[错因分析]错误的原因是对斜二测画法理解不透，在用斜二测画法画直观图时，角的度数一般会发生变化，但这种变化并不是角的度数减小了一半，它的变化与角的两边的位置有关．[正解]如图②所示，画出直角坐标系xOy，以点A为原点．在直观图中过C′作C′D′∥O′y′轴，交A′B′于D′，在Ox轴上截取AB＝A′B′，AD＝A′D′.过D作DC∥Oy轴，使DC＝2D′C′，连接AC，BC，则△ABC为原三角形．用量角器量出∠BAC，可以得出∠BAC≠60°，所以∠BAC≠2∠B′A′C′，∠BCA≠∠B′C′A′.对点练习❹水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是(C)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．任意三角形[解析]将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形．1．下列关于直观图的说法不正确的是(A)A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成135°D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同[解析]平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错．2．如果一个水平放置的正方形的边长为4，那么用斜二测画法画出的其直观图的面积是(B)A．2eq\r(2) B．4eq\r(2)C．8 D．16[解析]如图，若用斜二测画法画出的原正方形的直观图为四边形A′B′C′D′，则A′B′＝C′D′＝4，A′D′＝B′C′＝2，且∠D′A′B′＝45°，∴所求直观图的面积S＝A′B′·A′D′·sin45°＝4eq\r(2).3．下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是(B)A．正三角形的直观图是正三角形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．矩形的直观图是矩形D．圆的直观图是圆[解析]直观图改变了原图中角的大小及图形的形状，所以A、C、D都不正确，故选B.4．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(A)A．平行于z′轴且大小为10cmB．平行于z′轴且大小为5cmC．与z′轴成45°且大小为10cmD．与z′轴成45°且大小为5cm[解析]平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．5．如图所示