能力提升精练课件：3 时 正方形的判定

第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定能力提升精练1.下列说法正确的是(

)A.对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直且一组邻边相等的平行四边形是正方形C.四个角都相等的菱形是正方形D.对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形【解析】A项,对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形,不一定是正方形,不符合题意;B项,对角线互相垂直且有一组邻边相等的平行四边形是菱形,不一定是正方形,不符合题意;D项,对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是菱形,不一定是正方形,不符合题意.故选C.归纳总结利用对角线证明正方形的方法

(1)证“四边形+对角线互相垂直、平分且相等”;(2)证“平行四边形+对角线互相垂直且相等”;(3)证“矩形+对角线互相垂直”;(4)证“菱形+对角线相等”.2.若一个平行四边形绕着对角线的交点旋转90°,能够与它自身重合,则该平行四边形为(

)A.矩形 B.菱形C.正方形 D.无法确定【解析】该平行四边形绕着它的对角线的交点旋转90°,能够与它自身重合,说明对角线互相垂直平分且相等,所以该平行四边形是正方形.故选C.3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF.添加下列一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是(

)A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF【解析】∵EF垂直平分BC,∴BE=CE,BF=CF.∵BE=BF,∴BE=EC=CF=BF,∴四边形BECF是菱形.A项,当BC=AC时,∵∠ACB=90°,∴∠EBC=45°,∴∠EBF=2∠EBC=90°,∴四边形BECF是正方形;B项,当CF⊥BF时,∠BFC=90°,根据“有一个角是直角的菱形是正方形”,可得四边形BECF是正方形;C项,当BD=DF时,根据“对角线相等的菱形是正方形”,可得四边形BECF是正方形;D项,当AC=BF时,无法得出四边形BECF是正方形.故选D.

5.[2021山东青岛期中]如图,已知在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点.(1)求证:BM∥DN.(2)求证:四边形MPNQ是菱形.(3)矩形ABCD的边长AB与AD满足什么数量关系时,四边形MPNQ为正方形?请说明理由.【解析】

(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,又∵M,N分别是AD,BC的中点,∴DM=BN,∴四边形DMBN是平行四边形,∴BM∥DN.(2)由(1)知BM=DN,BM∥DN,∵P,Q分别是BM,DN的中点,∴MP=NQ,MP∥NQ,∴四边形MPNQ是平行四边形.连接MN,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∠C=90°.又∵M,N分别是AD,BC的中点,∴DM=CN,∴四边形DMNC是矩形.

6.如图,Rt△CEF中,∠C=90°,∠CEF,∠CFE的外角平分线交于点A,过点A分别作直线CE,CF的垂线,B,D为垂足.(1)求证:四边形ABCD是正方形.(2)已知AB的长为6,求(BE+6)(DF+6)的值.(3)借助上面问题的解题思路,解决下列问题:若△PQR中,∠QPR=45°,RQ上的高PH=6,HQ=2,则HR=

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【解析】

(1)如图1,过点A作AG⊥EF于点G.∵AB⊥CE,AD⊥CF,∴∠B=∠D=90°,∴∠B=∠C=∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形.∵∠CEF,∠CFE的外角平分线交于点A,∴AB=AG,AD=AG,∴AB=AD,∴四边形ABCD是正方形.

(3)3如图2,把△PQH沿PQ翻折得△PQD,把△PRH沿PR翻折得△PRM,延长DQ,MR交于点G.由(1)(2)得,四边形PMGD是正方形,MR+DQ=QR,MR=HR,DQ=HQ=2,∴MG=DG=MP=PH