新疆维吾尔自治区2022届高三第二诊断性测试数学（理）试题（问卷）

2022年高三年级第二次诊断性测试

理科数学(问卷)

(卷面分值：150分；考试时间：120分钟)

注意事项：

1.本卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷(或答题卡)的指定位置上.

2.答卷前，先将答卷密封线内(或答题卡中的相关信息)的项目填写清楚.

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合4={%,>3},8={%,26},则6,出=()

A.|x|x<3}B.{尤|3cx<6}C.1x|3<x<6}D.{x|x>6}

2.已知向量。=(42),B=(-1,2),若则|a+B|=()

A.5B.6C.V41D.473

3.如图所示是某几何体的三视图，则这个几何体的侧面积等于()

A.10+276B.6+2(73+76)C.6+2(V2+V6)D.10+2(72+73)

4.我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体1【•黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力(SIM)

材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者,

他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”：由线段AB,AC和优弧8C围成，AB,AC与圆弧分别切于

点2、C,直线与水平方向垂直(如图)，已知''水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9：5,贝iJcos/84C=

()

B

1204D,也

B.---C.一

16954

5.在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，要求3人中既有

国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有（）

A.80种B.180种C.260种D.420种

6.设双曲线C：/一V方•=1（。>0/>0）的右焦点为立过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线

在第一象限分别交于43两点，若"=2通，则双曲线C的渐近线方程为（）

A.3,2石C.y=±^x4

B.y=±------xD.y=+—x

353-5

7.已知。=1.6°,8力=108310,。=5抽1一£：0S1,则a,h,c的大小关系是（）

A.a>h>cB.c>h>aC.h>a>cD.h>c>a

8.工业生产者出厂价格指数（PRoduceRPRiceIndexfoRIndustRialPRoducts,简称PPI）是反映工业企业产品

第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，是反映某一时期生产领域价格变动情况的重要经济指标，也

是制定有关经济政策和国民经济核算的重要依据.根据下面提供的我国2020年1月-2021年12月的工业生产

者出厂价格指数的月度同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）和月度环比（将上月作为基期进行

对比的价格指数）涨跌情况的折线图判断，以下结论中正确的是（）

2020年1月一2021年12月的工业生产者出厂价格指数同比、环比涨跌情况

16.0%

12.0%

8.0%

4.0%

0.0%

___--…E___-—““..一......….——....-I.........—....--...."....'

-4.0%1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

2020年a,2021年

一同比增长一-一环比增长

A.2020年各月的PPI在逐月增大

B.2020年各月的PPI均高于2019年同期水平

C.2021年1月-12月各月的PPI在逐月减小

D.2021年1月-12月各月的PPI均高于2020年同期水平

9.设点E为正方形A5C。的中心，M为平面A5CD外一点，为等腰直角三角形，且/肠45=90。，

若尸是线段MS的中点，则（）

A.ME*DF,且直线ME：、。尸是相交直线B.ME=DF,且直线“石、。尸是相交直线

C.ME¥DF,且直线ME、。方是异面直线D.ME=DF,且直线ME、DF是异面直线

10.已知函数y（x）=asin（x—q）+石cos（x-g］是奇函数，g（x）=+,若关于x的方程

7T

g（x）=加在XG0,~有两个不相等实根，则实数机的取值范围是（)

A.B.[L2)C.[V2,2)D.[G⑵

22

11.已知点片、尸2分别是椭圆卞+==19＞。＞0）的左、右焦点，过马的直线交椭圆于A、8两点，0为

回一上，则该椭圆的离心率是（

坐标原点，且满足|04|=|0玛|,「斌)

5

V17512272

A.------B.-C.—D.---

56133

12.已知々＞0,若在（1,+8）上存在x使得不等式e"-alnx成立，则。的最小值为（）

1

A.-B.1C.2D.e

第n卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22

题~第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

7

13.复数z=a+2i,aeR,若一+l-3i为实数，则。=______.

i

14.已知函数/（x）=2/+sinx+2,若/（a）=l,贝4/（—。）=.

15.《数书九章》三斜求积术：“以小斜累，并大斜嘉，减中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜哥乘大斜幕，减

上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”

即方法.以S,a,h,c分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；4,4,也分别为对应的大斜，中斜，小

I.1,,1,

斜上的高则=5*=5物=5也若在^ABC中

4=孚，％="F，儿=4内，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为

16.在棱长为6的正四面体A5CO中，点P为AABC所在平面内一动点，且满足PA+PB=4百，则PD的

最大值为.

三、解答题：第17〜21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或

演算步骤.

17.电影《长津湖》让那些在冰雪里为国而争的战士和他们的故事，仿佛活在了我们眼前；让我们重回那段行

军千里，只为保家卫国的峥蝶岁月；也让我们记住，今天的美好盛世，是那群最可爱的人历经何种困苦才夺来

的.某校高三年级8个班共400人，其中男生240名，女生160名，现对学生观看《长津湖》情况进行问卷调

查，各班观影男生人数记为4组，各班观影女生人数记为B组，得到如下茎叶图.

（1）根据茎叶图完成2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为观看《长津湖》电影与性别有关.

（2）若从高三年级所有学生中按男女比例分层抽样选取5人参加座谈，并从参加座谈的学生中随机抽取2位

同学采访，记X为抽取的男生人数，求X的分布列和数学期望.

参考数据:

P(K2>k)

00.050.0250.010.005

k。3.8415.0246.6357.879

n(ad-be)2,,

K2--------------------------,n=a+b+c+d

(«+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.已知各项均为正数的数列｛a,｝满足q=La3=3寸+2anan+l.

（1）求数列｛q｝的通项公式;

⑵若,nan成等差数列,求数歹Um｝的前〃项和S,,,

19.如图，在平面四边形ABCO中，AB±BC,AB^BC,AD±AC,将AACD沿AC翻折，使点。到达

点S的位置，且平面SAC±平面ABCD.

n

(1)证明

J3

(2)若E为SC的中点，直线BS与平面£钻所成角的正弦值为2—，求二面角S—8。一。的大小.

4

20.已知尸为抛物线C:y2=2px(0>O)的焦点，点M在抛物线C上，。为坐标原点，AOFM的外接圆与

抛物线C的准线相切，且该圆周长为3%.

(1)求抛物线C的方程：

(2)设A(l,2),8是抛物线C上一点，且与力1,直线A3与直线y=x-l交于点Q,过点Q作y轴的垂

线交抛物线C于点M证明：直线BN恒过一定点，并求出该定点的坐标.

21.已知函数/(x)=e*-；工2-eR.

(1)求曲线/(%)在点(0,1)处的切线方程；

(2)当尤20时，/(x)>-«2--,求实数”的取值范围.

22

选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用23

铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系尤。)，中，曲线C的参数方程为F=2c°s0(°为参数).以坐标原点为极点，x轴非负

y=l+2sin夕

半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为°cos(e+?)=-V2.

(1)分别求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)设直线/与曲线C交于A,B两点，线段A8的中点为Q,点P(l,3),求一-。」的值.

\PA\-\PB\

23.选修4-5：不等式选讲

设实数X,y,Z满足r+y2+z2=6.

(1)证明：xy+yz-^-xz<6；

(2)若不+0〉+62K|。+2|+|。+加|对任意的实数”，y,z,Q恒成立，求实数机的取值范围.

2022年高三年级第二次诊断性测试参考答案及评分标准

理科数学

一、选择题:

题号123456789101112

答案BACACBCDBCAD

1.由4={%卜＞3},3={%］无之6},画出数轴，可得亳8={工［3＜尤＜6}.

2.*.*a—(4,2),B=(—1,2),。J_b,工一X+4=0即X=4,，|a+B|=|(3,4)|=5.

3.由三视图可知，这个几何体是底面为直角梯形的棱雒(如图所示)，且PCJ_3C,所以其侧面积为:

-(2x2+2x272+272x273+4x2)=6+272+276.

2

4.设圆弧所在圆心为0,连接OAO8,OC，可知OBJ.A8,NQ46=，N84C,设0。的半径为r,依题

2

r+OA9

意，有即r=—0A，

2r513

/.sinNOAB=—,ABAC=2N0AB

13

,119

...cosABAC=1-2sin2ZOAB=—.

169

5.根据题意选出三名记者的情形有：①两名国内记者一名外国记者(被叫到的顺序是“国内记者一国外记者

f国内记者")CC；C：=80②一名国内记者两名外国记者：C\C\C\+C\C\C\+C]C;C；=180,所以共有

260种.

6.设F(c,0),此双曲线的渐近线方程为y=

a

2

.„..।A八।।।iL-bc-b,口b~bc-b~b2.b2

\FA\=—\AB\=\FB\-\FA\=------，由题意得，—=2----------，得ZP4一二二，.・.一=「=

aaaac3a7t

818

7.V1.6°<1.6°<1.6,1<1.6°<1.6,710g310>log39=2,Vsin1>cos1>0

/.(sin1-cosl)2=1-2sinlcosl<1,/.0<sinl-cosl<1,:.b>a>c.

8.选项A,C指的是“环比”，选项B,D是指“同比”，由于2021年1〜12月同比增长线均在0.0%的上方,

所以2021年1〜12月各月的PP1均高于2020年问期水平.

9.连接所，依题意有B4_LM4,B4_LAD,M4=AB,AB=AO,二乌ALJSAD

:.BM=BD,而尸是E0的中点，E是BD的中点、，：.FM=ED,FE〃MD,即四边形是等腰梯

形，.•.对角线感=止且相交.

4\TT~\TT7t\\71

2xH—I,由xw0,一,得2元HG-,----,

(4J3_4412

me[\/2,2).

11.\OA\=\OF2\,知"_LA苞,即耳AJ.A8,设|明|=12人,|48|=5左,则阳用=134

.•.4。=30%,即2a=154,...1481=332c=7(12A:)2+(3A:)2=3>fnk,

c3后kV17

e=-=--------=------

a15k5

12.•••x"=//=e"nx,.•.不等式即为:ex-x<ea'nx-a\nx

由a>0且x>l,，alnx>0,而y=e*-无在(0,+8)上是增函数

xX(X\

1♦x<alnx,即〃N----,即存在xw(l,+oo),使。N-----，・，・ciN-----

InxInxIInx人而？

设/(幻二4“〉1)，则/'(x)=J；l,xe(l,e)J'(x)<0；xe(e,+oo),/'(x)>0；

InxIn**x

・・・/(x)在(l,e)上递减，在(&+8)上递增，・・・/(x)mm=/(e)=e，

a>e.

二、填空题

7巧_

13.-314.315.-----16.2M

3

13.,.--+l-3i=-^^+l-3i=-1(fl+21Ul-3i=3-(a+3)i,V-+l-3ieR

iii-(-i)i

Q+3=0,即。=—3.

14.设g(x)=2x3+sinx,，/(x)=g(=+2,易知g(x)是奇函数，f(a)=g(a)+2,

由/(a)=l,得g(a)=-l,/(-a)=g(-a)+2=-g(a)+2=3.

15.由ah“=b%,=c)£.，知a：b:c=L：L：L=8:7:5,设,a=8k,b=1k,c=5k

hahbhc

则5=-a2-c2-土+〃'J」#0公)2_(20/)2=10尿2又S='x8Z•述=10&,

42222

\0\[ik2—10>/3A:,・•・左=1,。=8,人=7,c=5

a1+c2-b1即啖-=高=无竽，即R

/.cosB=¥

2QC2

2

16.取AB的中点O,连接OC,以AB为x轴，OC为y轴，建立直角坐标系，则点尸在以A,B为焦点的

椭圆上，且。=2百,c=3,；./=3,即椭圆方程为二+2-=1,易知点O在底面ABC上的射影恰为短

123

轴端点E,：.PD=VPF+ED7=四炉+24

设尸(2石cosPosing),由E(0,同则

(।丫

PE2=12cos2^+3sin2^-6sin0+3=-9sin6+—+16,

I3j

：.(PE2y=16,当sin6=—'取得，|PDJ=-16+24=2屈.

\/max3mu、

三、解答题：

17.（本题满分12分）

（1）列联表如图

观影人数没观影人数合计

男生16080240

女生12040160

合计280120400

片=_吆9®________=400x(160x40-80x120)2。工行<3,841

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)240x160x280x120

所以没有95%的把握认为观看该影片与性别有关，6分

（2）选出的女生人数为5x当=2,选出的男生人数为5x生=3

400400

从参加座谈的学生中随机抽取男生人数为X,则X的可能取值为0,1,2

22

则P(X=0)=TC=1—；P(x=l)=C^'C^'=3—；P(X=2)=C4=3—

C；10C；5Cj10

X012

133

P

10510

aa«

EX=]x-+2x—=-12分

5105

18.(本题满分12分)

⑴由=3。；+anan+l,得(。用+an)(an+l-3an)=O,Van>0,an+a„+1>0

所以凡M=3a“，又知q=l,所以｛%｝是以1为首项，3为公比的等比数列，

故数列｛勺｝的通项公式为%=3"-'；6分

b

(2)由an,^-,nan成等差数列可知，bn=an+nan,

所以"=3"T+小3"T=(〃+1).3"T.

所以S“=2x3°+3x3i+4x3?+…+(〃+l).3"T,①

35„=2x3'+3x32+4x33+.■•+(«+l)-3\②

由①-②，得一2S“=2+3+32+…+3"T—(〃+1)•3n

=2+立2_1_(〃+1).3"=_3”+J.

1-322

故S”=也4-3"12分

44

19.(本题满分12分)

(1)证明：：平面S4c，平面A8CD,A£>_LAC,平面SACD平面A58=AC,

...SAL平面ABC,/.SALBC

又•.,3CLAB,5C_L平面SAB,

ABCLBS6分

(2)如图，以A为坐标原点建立A-xyz空间直角坐标系，3。〃》轴，设45=3。=2,取45=4£>=2加,

则3(2,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2m),E(l,l,m)

由而=(2,0,0),醺=(1,1,例)

设平面E4B的法向量为A=(x,y,z)

n\-AB=2x=0

i可取〃1=(0,771,-1)

n\•AE=x+y+mz=0

设直线5s与平面E钻所成的角为6,B5=(-2,0,2m)

2m

则sin。=[,叫==jr=坐，.♦.机=G或

当根=6时，由前=(0,2,0),旃=(-2,0,26),设平面3cs的法向量为A=(x,y,z)

n\"BC=2y=0-(―

则小一「可取〃1=(6Q1)

n\-BS=—2x+2d3z—0

由可取平面38的法向量(0,0,1),设二面角S-5C—。的平面角为e

_1^=工，所以。_71

则cos0—

V4xl2

同理，当加=J=时，则可取加=(1,0,6),则COS6=—9—=，3,所以。=三

V35/4x126

4TT

综上可得，二面角S-BC—O的大小为一或一12分

36

20.(本题满分12分)

(1)设AOEM外接圆的半径为r,圆心为O

易知圆心o在线段。尸的中垂线x=K上，

4

且圆心到准线的距离="+"=羽=，所以由2万,3p

=3万，解得p=2,

424'4'

所以抛物线C的方程为：V=4元;5分

（2

（2）设5儿，为，由题意知，为力±2,

i47

的方程：y-2=42(x—l),即4

则直线ABy-2(x-l),与y=x-\联立：

A-i邦+2

4

4

y-2“一1），得力=2（h+2）,由题意知:，（先+2『2（%+2）、

%+2N［（％-2）2'＞。-29分

2

y^x-1

2(y0+2)

“°%—2.4(%-2)

•k

,•%BN%+21尤+4

4

则直线RV的方程：y-y=里学二义2、

x-—

北+44J

所以当x=—l,y=2时恒成立，所以直线BN恒过定点（-1,2）12分

21.（本题满分12分）

(1)f\x)=ex-x-a,/f(0)-\-a,

Af(x)在点((),1)处的切线方程为y=(1—a)x+14分

11.3

(2)即e'—厂0一cixN——

222

r1913

令g(x)="_,x9,则g'(x)="—x—q,

令叭x)=g'(x),则(p'(x)=ex-I

当xNO时，”(x)»(),...g'a)在(0,+oo)为增函数，g'(())=l—a

①若a工1,g'(O)>0,xe(0,+oo),gr(x)>0,

，g(x)在(0,+8)上为增函数，只需8(0)=-1/+_120即可，即ae[一6,6],

：.ae[-y/5,l]7分

②若a>1,g'(0)<0,gr(a)=ea-2a,令h(x)=ex-2x,x>1,h\x)=ex-2,

当x>1,〃(x)>0,h(x)在(l,+oo)上为增函数，

/./?(x)>/i(l)=e-2>0,/.g\d)>0.

由零点存在性定理可知，存在不£(0,〃)，使得g〈Xo)=O,且d。一/-。=0

XW(O,Xo)时，g'(x)<o；3£(尤0,4-00)时，gf(x)>0.

・•・g(元)在(0,%)为减函数，(%,+8)为增函数

x[12