人教版八年级上册数学第13章 轴对称 单元测试卷（含答案解析）

人教版八年级上册数学第13章轴对称单元测试卷

一、选择题（共10小题；每小题3分，共30分）

1.在XABC中，口0，8为钝角.用直尺和圆规在边上确定一点D.使口八〃。=

2口区则符合要求的作图痕迹是（）

2.如图，在4A8C中，边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP,若口八=

C.130°D.150°

3.如图，已知△Q8C中，口儿:吕二彳9，尸是高加和C6的交点，QD=3,CD=5,

则线段BF的长度为（）

A.7D.4戊一3

4.在等边A4?C中，D,E分别为A及AC边上的动点，BD=2AE,连接OE,以OE为边

在AABC内作等边ADER,连接C尸，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，ZECFtfj

变化情况是（

A.不变B.变小C.变大D.先变大后变小

5.如图，四边形ABCD中，NBAD=120°,ZB=ZD=90°，在8C、C£＞上分别找到一点M、

N,使周长最小时，则ZAAW+ZAMW的度数为（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

6.如图,在等边三角形ABC中，在AC边上取两点加,A/,使口小BZ=30°.若八例=m,

/A/=x,CN=n,则以x,m,n为边长的三角形的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随x,加，〃的值而定

7.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.己知A、B是两格点，如果C也是

图中的格点，且使得A45C为等腰三角形，则点C的个数是（)

A.10B.6C.7D.8

8.如图，ZMON内有一点P,P点关于OM的轴对称点是G,P点关于ON的轴对称点是H,GH

分别交OMON于A、B点.若GH的长为10cm,求4PAB的周长为（）

A.5cmB.10cmC.20cmD.15cm

9.如图，四边形ABCD中，HD,AC=5,\JDCB=90°,则四边形ABCD

的面积为（）

A.15B.12.5C.14.5D.77

10.尺规作图要求：i.过直线外一点作这条直线的垂线；ii.过直线上一点作这条直

线的垂线；适.作角的平分线.下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图，则正确的配

A.①一ii，②一i,③一iiiB.①一ii,②一iii,③一i

C.①一iii,②一ii,③一iD.①一iii,②一i,③一ii

二、填空题（24分）

11.如图，NAOB=30°,OC为N4O8内部一条射线，点尸为射线OC上一点，OP=6,点M,N

分别为04,边上动点，则△MA俨周长的最小值为

12.如图，在AABC中，A8=AC=10cm,AB的垂直平分线交AC于点D,且△BCD的周

长为17cm,则BC=cm.

13.在平面直角坐标系中，点M(a,力与点N(3,-l)关于x轴对称，则a+b的值是

14.如图，直线Z,为线段48的垂直平分线，交A8于M,在直线乙上取一点G，使得

MCLMB,得到第一个三角形凶8£；在射线例&上取一点使得GC2=BG；得到第

二个三角形A/1BG；在射线MG上取一点G，使得GG=BC2,得到第三个三角形

15.如图，AC平分ZDC3,CB=CD,D4的延长线交8c于点E,若NE4C=49,则NS4E

的度数为.

16.如图，在AA3C中，8c的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三

角形，则N8=°.

三o解答题(66分)

17.(6分)如图，在中，ZA=90。，AB=AC,。为BC的中点，E,尸分别是A8,

AC上的点，且求证：(1)DE=DF；(2)DE1DF.

18.(8分)如图，已知A8〃CD,A8=C2AE=ED,

(1)求证：BE=CF；

(2)若E尸平分NB尸C,求证：AB肝是等腰三角形.

AD

E

19.(8分)如图.等腰AABC中，AB=AC,点D为直线BC下方一点，

(1)如图1,若BD=CD,求证：AD平分

⑵如图2,若ZABD+ZACD=180。(448。>ZAC£>),DA平分/或心，过点A作CD的垂线,

垂足为点E,DE=3,CD=5.求BD的长度.

20.(10分)如图，aABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D,DF_LCA,DG±

AB,垂足分别为F、G

.⑴求证：BG=CF；

(2)若AB=17,AC=5,求AF的长度.

21.(10分)如图，在等边AABC中，点E在AC上，点D在8C的延长线上

(1)如图1,AE=EC=CD,求证：BE=ED-,

(2)如图2,若E为AC上异于A、C的任一点，AE=CD,(1)中结论是否仍然成立？为什

么？

22.(12分)如图，4ABC中，/ACB=90°,以AC为边在AABC外作等边三角形ACD,过点

D作AC的垂线，垂足为F,与AB相交于点E,连接CE.

(1)说明：AE=CE=BE；

(2)若AB=15cm,P是直线DE上的一点.则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC

的值.

AEB

23.(12分)(8分)【问题提出】在bABC中，口/?。8=2口8,AD为口区外:的角

平分线，探究线段A8,AC,CD的数量关系.

(1)【问题解决】如图7,当口4：8=9。°,过点D作DELAB,垂足为E,易

得AB=flC+CD-,由此，如图2,当口八。8。90°时，猜想线段A8,AC,CD

有怎样的数量关系?给出证明.

(2)【方法迁移】如图3,当口闩。笈彳9。°,AD为4ABe的外角平分线时，探

究线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系?直接写出结论，不证明.

E/

BCD

图3

答案解析

一、选择题（共10小题；每小题3分，共30分）

1.在4ABC中，"CB为钝角.用直尺和圆规在边AB上确定一点。.使AADC=

2乙B,则符合要求的作图痕迹是（）

B

【解析】•••^ADC=2乙B且Z.ADC=NB+乙BCD,

**.乙B=LBCD.

当点D是线段BC的垂直平分线与AB的交点时，DC=DB.

设BC的垂直平分线与BC交于点M.

DC=DB,

在△OMC与2DMB中MC=MB,

DM=DM,

•••△DM3AOM/SSS）,

Z-B=乙MCD.

当点D是线段BC的垂直平分线与AB的交点时，有乙40c=2NB.

2.如图，在&ABC中，边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP,若乙4=50°,

则4BPC=（）

【解析】连接AP,延长BP交AC于D,

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A

D

・・・Z.BPC=乙PDC+Z.ACP=Z.BAC+乙ABP+乙ACP,

•・•点P是AB9AC的垂直平分线的交点,

・・・PA=PB=PC,

・••乙ABP=LBAP,Z-ACP=^CAP,

・•・乙BPC=Z.BAC+^BAP+乙CAP=乙BAC+Z.BAC=2乙BAC=2x50°=100°,

故选B.

3.如图，已知AABC中，乙4cB=45°,F是高BD和CE的交点，AD=3,CD=5,

则线段BF的长度为（)

B.1D.4V2-3

B

【解析】•:F是高BD和CE的交点,

・・・乙CDF=Z-ADB=乙CEB=90°,

vZ.CFD=乙BFE,

•••Z.DCF=Z.DBA,

vZ.ACB=45°,Z-CDB=90°,

:.乙DCB=乙DBC,

:.CD=BD,

在ACDF和小BDA中，

、乙DCF=LDBA,

CD=BD,

、乙CDF=Z.BDA,

.*.△CDg△BDA(ASA),

・•.DP=AD=3,

・・・BF=BD-DF=5-3=2,

故选：B.

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4.在等边AABC中，D,E分别为AB,AC边上的动点，BD=2AE,连接力E,以£>E为边在

△ABC内作等边ADM,连接C/，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，/ECF的变

化情况是（）

A.不变B.变小C.变大D.先变大后变小

【答案】A

【详解】如图，在AC上截取C7V=AE,连接RV.

,/AABC是等边三角形，

AZA=60°,AB=AC.

VBD=2AE,:.AD=EN.

ADE尸是等边三角形，

ADE=EF,"EF=60°.

ZADE=180°-Z4-ZAED=180°-60°-ZAED=1200-Z^ED,

Z7VEF=180°-ZDEF-ZAED=180°-60°-ZAED=1200-ZAED,

:.ZADE=ZNEF.在和ANE尸中，

AD=EN,

:"NADE=NNEF,

ED=EF,

:△ADE/ANEF(SAS),

AE=FN,ZFNE=ZA=6O0,

：.FN=CN,

』NCF=/NFC.

'：ZFNE=ZNCF+ZNFC=f)O°,

Z^CF=30°,即NECF=30°,

NEC厂的大小不变，故选A.

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B

5.如图，四边形488中，ZBAD=120\ZB=ZD=90°,在8C、CD上分别找到一点M、

N,使AAMN周长最小时，则ZAMV+ZAMW的度数为（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

【答案】C

【详解】作A关于BC和CD的对称点A',A",连接A'A",交BC于M,交CD于N,则A'A"

即为△AMN的周长最小值.

VZDAB=120°,，NAA'M+/A”=60°.

VZMA'A=ZMAA',NNAD=NA”,

且/MA'A+/MAA'=NAMN,ZNAD+ZA^ZANM,

.•.ZAMN+ZANM=ZMA'A+ZMAA'+ZNAD+ZA,,=2(ZAA'M+ZA")=2x60°=120o.

故选C.

6.如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M,N,使乙MBN=30°.若AM=m,

MN=x,CN=n,则以x,m,n为边长的三角形的形状为（）

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m

BC

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随x,m,n的值而定

【解析】将ZABM绕点B顺时针旋转60。得到4CBH.连接HN.

•••△ABC是等边三角形，

Z.ABC=Z-ACB=Z,A=60°,

v乙MBN=30°,

••・44BM+4C8N=30°,

・••乙NBH=Z.CBH+乙CBN=30°,

••・乙NBM=乙NBH,

・・・BM=BH,BN=BN,

,MNBM咨ANBH,

MN=NH=%,

•・•乙BCH=^A=60°,CH=AM=m,

・•・乙NCH=120°,

.•.X,m,n为边长的三角形4NCH是钝角三角形,

故选：C.

7.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，如果C也是

图中的格点，且使得“1BC为等腰三角形，则点C的个数是（）

A.10B.6C.7D.8

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【答案】D

【详解】解：如图，分情况讨论：

①AB为等腰4ABC的底边时，符合条件的C点有4个；

②AB为等腰4ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.

故选：D.

8.如图，ZMON内有一点P,P点关于0M的轴对称点是G,P点关于ON的轴对称点是H,

GH分别交OM、ON于A、B点.若GH的长为10cm,求4PAB的周长为（）

【答案】B

【详解】试题分析：..1点关于OM的轴对称点是G,P点关于ON的轴对称点是H,

；.PA=AG,PB=BH,

.".△PAB的周长=AP+PB+AB=AG+AB+BH=GH=10cm.

故选B.

9.如图，四边形ABCD中，4B=AD,AC=5,^DAB=乙DCB=90。，则四边形ABCD

的面积为（）

12.5C.14.5D.17

B

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【解析】如图，过4作AEA.AC,交CB的延长线于E,

Z.D+Z.ABC=180°=Z.ABE+Z.ABC,

z.£)=/.ABE,

又v/.DAB=/.CAE=90°,

乙CAD=Z.EAB,

又AD=AB,

:.XACD迫AAEB,

AC=AE>SMCD=S—EB，

四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等,

S^ACE=_x5x5=12.5,

四边形ABCD的面积为12.5,

故选B.

io.尺规作图要求：i.过直线外一点作这条直线的垂线；ii.过直线上一点作这条直

线的垂线；iii.作角的平分线.下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图，则正确的配

①②③

A.①一ii,②一i,③一iiiB.①一ii,②一iii,③一i

C.①一iii,②一ii,③一iD.①一iii,②一i,③一ii

D

【解析】图中的作图分别是作角平分线、过直线外一点作已知直线的垂线和过已知直线上一

点作该直线的垂线.

二、填空题（24分）

11.如图，N4O8=30°,OC为NAO8内部一条射线，点尸为射线OC上一点，OP=6,点、M,N

分别为边上动点，则△MNP周长的最小值为.

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oB

6

【解析】

【分析】

作点P关于0A的对称点Pi,点P关于0B的对称点P2,连结P1P2,与0A的交点即为点M,

与0B的交点即为点N,则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可.

【详解】

解：作点P关于0A的对称点Pi,点P关于0B的对称点P2,连结P1P2与0A的交点即为点

M,与0B的交点即为点N,

0PMN的最小周长为PM+MN+PN=PIM+MN+P2N=PIP2,即为线段P1P2的长，

连结OPi、0P2.则OPI=OP2=OP=6,

X00PIOP2=20AOB=6O",

00OP1P2是等边三角形，

团PIP2=OPI=6,

即EIPMN的周长的最小值是6.

故答案是：6.

12.如图，在AABC中,A8=AC=10cm,A8的垂直平分线交AC于点。，且△5。的周

长为17cm,则8C=cm

【解析】

第16页共29页

【分析】

根据OE是4B的垂直平分线可得AD=%>,结合ABCD的周长为17cm可得结论.

【详解】

回是AB的垂直平分线，

回AD=BD-

回△BCD的周长为17cm,

QBC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=n(cm),

乂国AB=AC=10cm,

EBC=17-10=7(cm).

故答案为：7.

14.在平面直角坐标系中，点M(a涉)与点N(3,-l)关于x轴对称，则a+b的值是.

4

【解析】

【分析】

根据关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b的值即可求得答案.

【详解】

•.•点M(a,b)与点M(3,-l)关于x轴对称，

..6?=3,b=1,

则a+b的值是：4,

故答案为4.

14.如图，直线L为线段AB的垂直平分线，交AB于在直线乙上取一点G，使得

MG=MB,得到第一个三角形AABG；在射线MG上取一点C?,使得GG=BG；得到第

二个三角形AABCz；在射线MG上取一点G，使得6。3=8。2,得到第三个三角形MBC3......

依次这样作下去，则第2020个三角形A48C202。中ZAC2O2OB的度数为

【解析】

【分析】

第17页共29页

根据前3个三角形总结出N4Q8的规律，利用规律即可解题.

【详解】

第一个二角形中，NAG3=90o=黄

第二个三角形中，

SCjQ=BC、

,ZC2C,B=ZC,BC2

・.・/。2&8+/。田。2=45°

.•.NC2G8=22.5。

AC2=BC2

90°

・•・ZAC2B=2/C2GB=45°=—

90°

同理，第三个三角形中，NAG8=22.50=黄

90°

第2020个三角形AABGoz。中^AC2moB的度数为声

90°

故答案为了而

15.如图，AC平分NOCB,CB=CD,D4的延长线交BC于点E,若NE4C=49,则NS4E

的度数为.

D

82°.

【解析】

【分析】

如图，连接瓦），延长C4与8。交于点尸,利用等腰三角形的三线合一证明C尸是BO的垂直

平分线，从而得到AB=AD,再次利用等腰三角形的性质得到：ND4F=NBAF,从而可得答

第18页共29页

案.

【详解】

解：如图，连接80,延长C4与8。交于点£

•・・AC平分NOC3,CB=CD,

..ChBD,DF=BF,

.•.C9是8。的垂直平分线，

/.AB=AD,

ZDAF=NBAF,

•.­ZE4C=49°,

/.ZDAF=ZBAF=ZEAC=49°,

/.ZBAE=180°-49°-49°=82°,

故答案为：82°.

16.如图，在AABC中，8c的垂直平分线分别交8C、A8于点E、F.若是等边三

角形，则/8=1

30

【解析】

【分析】

根据垂直平分线的性质得到回B=E)BCF,再利用等边三角形的性质得到回AFC=60。，从而可得回B.

【详解】

解：回EF垂直平分BC,

0BF=CF,

第19页共29页

00B=0BCF,

瓯ACF为等边三角形,

03AFC=6O°,

0E)B=!3BCF=3O,.

故答案为：30.

一、解答题(共66分。)

17.(6分)如图，在AABC中，ZA=90。，AB^AC,。为3c的中点，E,F分别是48,

AC上的点，且=求证：

(1)DE=DF；(2)DE1DF.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【解析】

⑴

证明：连接AD,如图,

VZBAC=90°,。为3c的中点,

/.AD=BD=CD=-BC,

2

；AB=AC,NBAC=90°,

ZB=ZC=45°,

：AB=AC,力为BC的中点，

ZDAC=±ZBAC=-^0=45?,

22

第20页共29页

，/B=NDAF=45°,

在ABDE与AADF中，

BD=AD

■NB=ZDAF,

BE=AF

.".△BDE^AADF(SAS),

ADE=DF.

(2)

证明：由(1)知：Z\BDE空Z\ADF,

.\ZBDE=ZADF,

VAB=AC,。为BC的中点，

.".ADIBC,

；.NADB=90°,

AZBDE+ZEDA=ZADB=90°,

•\ZEDF=ZADF+ZEDA=90°,

ADE1DF.

18.(8分)如图，已知A8〃8,A8=CZ),AE=a>,

⑴求证：BE=CF；

⑵若E尸平分ZBFC,求证：AB所是等腰三角形.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据AB〃C£>,可得/A=/D,利用SAS证明4ABE<Z\DCF即可得出结论；

(2)根据全等三角形的性质可得NAEB=NDFC,进而可得NBEF=/CFE,然后利用角平分

线的定义等量代换后可得NBEF=NBFE,求出BE=BF可得结论.

第21页共29页

AB=DC

(1)证明：AB//CD,/.ZA=ZD,在ZkABE和ADCF中，，ZA=ND,.".△ABE^ADCF

AE=DF

(SAS),.\BE=CF；

(2)证明：VAABE^ADCF,，NAEB=NDFC,；NBEF=180"—NAEB,ZCFE=180°

-ZDFC,/.ZBEF=ZCFE,又；E尸平分NBFC,AZBFE=ZCFE,ZBEF=ZBFE,

BE=BF,...“BE尸是等腰三角形.

19.(8分)如图.等腰AABC中，A5=AC,点D为直线BC下方一点,

⑴如图1,若BD=CD,求证：AD平分NBDC

⑵如图2,若ZABD+ZACD=180°(ZABD>ZACO),DA平分N80C,过点A作CD的垂线,

垂足为点E,DE=3,CD=5.求BD的长度.

【答案】(1)证明见详解

⑵1

【解析】

(1)

证明：-：AB=AC,DB=CD,

.■.AD垂直平分BC，

-,-AB=AC,

.•.A£>平分NBDC；

(2)

解：如图，过点A作Ab_L3。于F,

第22页共29页

A

•/ZABD+ZACD=180o,ZABD+ZABF=180°,

・•.ZABF=ZACE,

在A43户和A4C石中，

^AFB=AAEC=90°

<NABF=NACE

AB=AC

.-.AABF^MCE(AAS),

:.AF=AE,BF=CE,

在RtAADF和RtA/WE中,

jAD=AD

[AF=AE'

RtAADF^RtAAZ)E(HL),

:.DF=DE,

・.・DE=DF=3,CD=5

:.CE=2=BF,

:.BD=DF-BF=1.

20.（10分）如图，△ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D,DF±CA,DG

±AB,垂足分别为F、G.

(1)求证:BG=CF；

⑵若AB=17,AC=5,求AF的长度.

第23页共29页

【答案】⑴见解析

(2)6

【分析】(1)连接8。，CD,证明ABDGgACO尸，由此可得BG=CE；

(2)由勾股定理证AF=AG,由ABDG丝ACDF证3G=CF，设3G=b=x,AG=AF=y,

则由题意可列出关于x,y的二元一次方程组，由此进行求解.

⑴

证明：连接80，CD.

:AO平分NBAF，DGA.AB,DF1CF,

DG=DF.

••1垂宜平分BC,

BD=CD.

在Rt^BDG与Rt^CDF中，

[DG=DF

\BD=CD'

■■■RtABDGqRt/XCDF(HL).

BG=CF.

(2)

解：•；R3DG冬RtACDF,

BG=CF.

:DG=DF,

AD2-DG'=AD2-DF2,EPAG2=AF~,

：.AG^AF.

设3G=CF=x,AG=AF=y,

则AB=8G+AG=x+y=17①，

AC^CF-AF=x-y=5®.

联立①②，解得x=ll,y=6.

第24页共29页

•••AF的长度为6.

21.(10分)如图，在等边AABC中，点E在AC上，点D在BC的延长线上.

⑴如图1,AE=EC=CD,求证：BE=ED；

(2)如图2,若E为AC上异于A、C的任一点，AE=CD,(1)中结论是否仍然成立？为什

么？

【答案】⑴证明见解析

⑵成立，理由见解析

【解析】

(1)

证明：；A/WC是等边三角形，AE=EC=CD,

，BE平分ZABC,NCED=ZD.

ZACB=NCED+ZD=60。，

NCED=ZD=30。，NEBD=-4ABC=30°,

2

NEBD=ZD,

：.BE=ED；

(2)

解：(1)中的结论仍然成立，理由如下：

:AABC是等边三角形,过点E作EF〃BD交AB于点F,如图所示,

则NAFE=NABC,ZAEF=ZACB,

；.AAFE是等边三角形.

"：AE=CD,

第25页共29页

，AE=AF=EF=CD,

：.AB-AF=AC-AE,

即8尸=£€.

,/NBFE是zMFE的外角，ZECD足AABC的外角,

ZBFE=NECD,

EF=CD

在4BFE和AECD中，-4BFE=ZECD,

BF=EC

；.ABFE丝AECD(SAS).

：.BE=ED

22.（12分）如图，ZXABC中，/ACB=90°,以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD,过

点D作AC的垂线，垂足为F,与AB相交于点E,连接CE.

（1）说明：AE=CE=BE；

（2）若AB=15cm,P是直线DE上的一点.则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC

【答案】（1）证明见解析；（2）当点P在E处时，PB+PC=15cm.

【分析】（1）根据等边三角形“三合一”的性质证得DE垂直平分AC；然后由等腰三角形的

判定知AE=CE,根据等边对等角、直角三角形的两个锐角互余的性质以及等量代换求得/

BCE=/B；最后根据等角对等边证得CE=BE,所以AE=CE=BE；

（2）由（1）知，DE垂直平分AC,故PC=PA：由等量代换知PB+PC=PB+PA；根据两点之

间线段最短可知，当点P、