空间向量及其线性运算

人教A版同步教材精品课件第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算1.空间向量的概念(1)在空间,把具有_____和_____的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的_____或模.空间向量也用有向线段表示,有向线段的_____表示空间向量的模,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或||.大小方向长度长度(2)几类特殊的空间向量:名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做_______,记为0单位向量______的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度_____而方向_____的向量,叫做a的相反向量,记为-a相等向量方向_____且模_____的向量叫做相等向量,_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_______________,那么这些向量叫做_________或平行向量零向量模为1相等相反相同相等同向等长互相平行或重合共线向量2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律【思考】空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法有没有区别?提示:没有区别.3.向量共线的充要条件对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在_______,使a=λb.4.直线的方向向量若非零向量a在直线l上,与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.实数λ5.共面向量(1)定义:平行于___________的向量,叫做共面向量.(2)充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=______.同一个平面xa+yb【思考】若对任意一点O和不共线的三点A,B,C,且则x+y+z=1是四点P,A,B,C共面的充要条件吗?为什么?提示:是.因为P,A,B,C共面的充要条件是存在m,n使即令x=1-m-n,y=m,z=n.则且x+y+z=1.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”).(1)向量的长度与向量的长度相等. (

)(2)空间两向量共线是指表示它们的有向线段在同一条直线上. (

)(3)空间向量的数乘中,λ只决定向量的大小,不决定向量的方向. (

)

2.化简所得的结果是 (

)A. B. C.0 D.【解析】选C.3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1的顶点表示的向量中,模与向量的模相等的向量有

个.

【解析】如图,模与向量的模相等的向量有共7个.

答案:7类型一空间向量的概念及简单应用【典例】1.下列说法中正确的是 (

)A.单位向量都相等B.任一向量与它的相反向量不相等C.若|a|=|b|,则a与b的长度相等,方向相同或相反D.若a与b是相反向量,则|a|=|b|2.如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中:

(1)试写出与相等的所有向量;(2)试写出的相反向量;(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模.【思维·引】1.根据空间向量的定义,逐项验证.2.根据相等向量,相反向量定义求前两问,再根据求向量模的方法求第三问.

【类题·通】利用向量的概念解题时的注意点(1)熟练掌握空间向量的有关概念是解决问题的关键;(2)判断有关向量的命题时,要抓住向量的两个主要元素:大小和方向,两者缺一不可,相互制约.【习练·破】下列命题正确的有:

.(填序号)

①两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;②若向量③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p.【解析】①假命题.当两向量起点相同,终点相同时两向量相等,但两向量相等不一定起点相同,终点相同.②假命题.向量只能比较相等或不相等,不能比较大小.③真命题.方向相同且模相等.④真命题.由相等向量的定义可知此命题正确.答案:③④类型二空间向量加减法运算【典例】如图,已知长方体ABCD-A＇B＇C＇D＇,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.

【思维·引】灵活应用向量的加减法法则进行计算.【解析】(1)

(2)向量如图所示,【内化·悟】向量的减法与加法之间有什么关系?提示:向量减法是加法的逆运算,减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.【类题·通】空间向量加法、减法运算的技巧(1)巧用相反向量:向量减法的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.【习练·破】化简()-()=_______.

【解析】方法一:(利用相反向量的关系转化为加法运算)方法二:(利用向量的减法运算法则求解)

答案:0【加练·固】在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简并在图中标出化简结果的向量.【解析】在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,四边形AA1F1F是平行四边形,所以同理所以如图,类型三空间向量的数乘角度1空间向量的数乘运算【典例】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:【思维·引】将所求向量置于适当的三角形或多边形中,利用三角形法则、平行四边形法则或首尾相接的方法,将所求向量表示出来,然后化简整理.【解析】(1)因为P是C1D1的中点,所以=a+c+=a+c+b.(2)因为N是BC的中点,所以=-a+b+=-a+b+c.(3)因为M是AA1的中点,所以又所以角度2空间向量的共面问题【典例】如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求证:向量共面.【思维·引】把表示出来,利用向量共面的充要条件即可证明.【证明】因为M在BD上,且BM=BD,所以同理所以又不共线,根据向量共面的充要条件可知共面.【类题·通】证明空间三向量共面或四点共面的方法(1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.(2)若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点O,有且x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面.【习练·破】已知非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求证:A,B,C,D四点共面.【证明】令则e1+e2=x(2e1+8e2)+y(3e1-3e2)=(2x+3y)e1+(8x-3y)e2.因为e1和e2不共线,所以所以所以A,B,C,D四点共面.【加练·固】如图,已知四边形ABCD为正方形,P是正方形ABCD所在平面外一点,P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点,求下列各式中x,y的值:【解析】(1)因为所以x=y=-.(2)因为,所以又因为所以从而有所以x=2,y=-2.1.判断下列各命题的真假:①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;②零向量没有方向;③两个有公共终点的向量,一定是共线向量;④有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为 (

)A.2 B.3 C.4 D.1【解析】选C.①假命题,若a与b中有一个为零向量时,其方向是不确定的;②假命题,零向量方向任意,但不是没有方向;③假命题,终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;④假命题,向量可用有向线段来表示,但并不是有向线段.2.(2020·焦作高二检测)在△ABC中,D是线段AB上靠近B的三等分点,E是线段AC的中点,BE与CD交于F点,若=a+b,则a,b的值分别为(

)【解析】选A.取AD的中点为G,连接GE.由已知得GE∥CD,所以DF∥EG,又因为D是GB的中点,所以F是BE的中点,所以所以a=,b=.3.在空间四边形ABCD中,M,G分别是BC,CD的中点,则等于 (

)【解析】选B.如图,4.若空间中任意四点O