随机变量的均值与方差的计算公式的证明

随机变量的均值与方差的计算公式的证明姜堰市励才实验学校姜近芳组合数有很多奇妙的性质,笔者试用这些性质证明了随机变量的均值与方差的两组计算公式。TOC\o"1-5"\h\z― —k-n! (n—1) —预备知识:1.kCk=( )=n•( )( )=nCk-1nk!An—k! vk—1!\n—k! n-1k2Ck=nkCk—1=nCk—1+n(k—1)Ck—1=nCk—1+n(n—1)Ck—2n n—1 n—1 n—1 n—1 n—2N个球中有M个红色的，其余均为白色的，从中取出n个球，不同的取法有:C0Cn+C1Cn-1+C2Cn-2+ +ClCn-l=Cn(=mi^2,M)).MN—M MN—M MN—M MN—M N公式证明:1.X〜B(n,p)Ge(X)=np.(2)V(X)=np(1—p)证明:E(X)=xp+xp+xp+ +xp11 22 33 nn=0XC0p0(1—p\+C1p(1—p丄-1+2C2p2(1—p\-2+...+nCnpn

n n n n+C1p2

n-1=nC0p(1—p)n—1+C1p2(1—p)n—2+.++C1p2

n-1n—1 n—1 n—1=np.V(X)=(x-卩》p+(x-卩》p+ (x-卩》p1 1 2 2 n n=x2p+x2p+x2p+ +x2p11 22 33 nn—2^(xp+xp+xp+ +xp)11 22 33 nnTOC\o"1-5"\h\z+y2(p+p+p+ +p)1 2 3 n=C1p(—p丄-1+22C2p2(1—p\-2+ +n2Cnpn—2卩2+卩2n n n+C1p(1—p丄-2+ +Cn—1pn—1」=npCo(1—p丄t=npCo(1—p丄tn-1+n(n—1)p2C0(1—p)n—2

n—2+C1p(1—p)n-3+•…+Cn-2pn-2 卩2n—2 n—2二npK1-p)+p]-1+n(n-1)p2K1-p)+p]-2-n2p2=np(L-p)2.XH(n,M,N)1E(X)=nM()V(X)=nM匕-M呎-2.XN N2(N-1)证明:E(X)=x1p1+x2p2+xp+—+xp33(l=min(n,M))nn= 0XC0Cn +C1Cn-1Cn M N-M M N-MN

+2C2Cn-2+•••+lClCn-llMN-M MN-M=CnNMQ0 Cn-1 +C1 Cn-2+—+Cl-1Cn-=CnNM-1N-M M-1N-M M-1N-M=—•Cn-1CnN-1NnMNV(X)=(x-卩》p+(x-卩》p+ (x-卩》p1 1 2 2 n n=x2p+x2p+x2p+ +x2p1 1 2 2 3 3 nnnn-2y(xp+xp+xp+ +xp)nn+卩2\p+p12+p+—+p)3n=CnN1C•C0Cn+12•C1Cn-1MN-MMN-M+22C2Cn-2+—+l2ClCn-l)—卩2MN-M MN-MM(C0 Cn-1M-1 N-MCnNM(M-1)(C+C1 Cn-2M-1 N-M+•••+Cl-1Cn-l)+M-1 N-MCnN0Cn-2M-2 N-M・Cn-1+N-1+C1 Cn-3+•—+Cl-2