随机过程知识点

第一章：预备知识§1.1概率空间§1.1概率空间随机试验，样本空间记为Q。定义1.1设Q是一个集合，F是。的某些子集组成的集合族。如果OuF；右Auf，则A—O\Aef；若Auf,n—1,2,…，则UAuF；nnn—1则称F为b-代数(Borel域)。(O,F)称为可测空间，F中的元素称为事件。由定义易知：定义1・《设(O,F)是可测空间，P(・)是定义在F上的实值函数。如果则称P是(O,F)上的概率，(O，F，P)称为概率空间，P(A)为事件A的概率。定义1.3设(O,F，P)是概率空间，GuF，如果对任意A,A，…,AuG，n—1,2,…有:1 2npfHa]=Hp(a)ii'i—1丿i—1则称G为独立事件族。§1.2随机变量及其分布随机变量X，分布函数F(x)，n维随机变量或n维随机向量，联合分布函数，&,tuT｝是独立的。§1.3随机变量的数字特征 t定义1・7设随机变量X的分布函数为F(x)，若^丨xIdF(x)<g，则称—gE(X)= xdF(x)—g为X的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes积分。方差，Bxy—EIxX—EX)Y—EY)」为X、Y的协方差，而为X、Y的相关系数。若PXY—0,则称X、Y不相关。(Schwarz不等式)若EX2<g,EY2<g,则§1.4特征函数、母函数和拉氏变换定义1.10设随机变量的分布函数为F(x)，称为X的特征函数随机变量的特征函数具有下列性质：⑴g(0)—1,|g(t)|<1,g(—t)—丽1(2)g(t)在(—g,g)上一致连续。(3)g(k)(0)—ikE(Xk)(4)若X,X, ,X是相互独立的随机变量，则X=X+X+ +X的特征函数TOC\o"1-5"\h\z1 2 n 1 2 ng(t)—g(t)g(t)g(t)，其中g(t)是随机变量X的特征函数，i—1,2,,n.1 2 •n i i .…定义1.11设X—(X,X,,X)是n维随机变量，t=(t,t,,t)uR,则称1 2 n 1 2 ng(t)•—g(t,t, ,t)—E(eitX')—E[exp(i工tX)],12n kkk—1为X的特征函数。 …定义1.12设X是非负整数值随机变量，分布列则称P(s)d=E(SX)=兰Pskkk=0为X的母函数。§1.5n维正态分布定义1.13若n维随机变量X=(X,X，…,X)的联合概率密度为12n式中，a=(a,a，…,a)是常向量，B=(b)是正定矩阵，则称X为n维正态随机变量或服从n维正态分1 2 n jnxn布，记作X~N(a,B)。可以证明，若X〜N(a,B)，则X的特征函数为为了应用的方便，下面，我们不加证明地给出常用的几个结论。性质1若X〜N(a,B)则E(X)=a,B=b,l=1,2，…,n。k kXX kl性质2设X〜N(a,B)，Y=XA，若ABA正定，则Y〜N(aA,A'BA)。即正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量。性质3设X=(X,X,X,X)是四维正态随机变量，E(X)=0,k=1,2,3,4，贝y1 2 3 4 k§1.6条件期望给定Y=y时，X的条件期望定义为由此可见除了概率是关于事件｛Y=y｝的条件概率以外，现在的定义与无条件的情况完全一样。E(X|Y=y)是y的函数，y是Y的一个可能值。若在已知Y的条件下，全面地考虑X的均值，需要以Y代替y，E(X|Y)是随机变量Y的函数，也是随机变量，称为X在Y下的条件期望。条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个十分重要的概念，下面我们介绍一个极其有用的性质。性质 若随机变量X与Y的期望存在，则E(X)=E[E(XIY)]=JE(XIY=y)dF(y) (1)Y如果Y是离散型随机变量，则上式为如果Y是连续型，具有概率密度f(x),则(1)式为第二章随机过程的概念与基本类型

§2.1随机过程的基本概念定义2.1设(。，FP)是概率空间,T是给定的参数集，若对每个teT,有一个随机变量X(t,e)与之对应，则称随机变量族｛X(t,e),tgT｝是(0,F,P)的随机过程，简记为随机过程｛X(t),teT｝oT称为参数集，通常表示时间。通常将随机过程｛X(t,e),teT｝解释为一个物理系统。X(t)表示在时刻t所处的状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为Io从数学的观点来说，随机过程｛X(t,e),teT｝是定义在TxQ上的二元函数。对固定的t,X(t,e)是定义在T上的普通函数，称为随机过程｛X(t,e),teT｝的一个样本函数或轨道，样本函数的全体称为样本函数的空间。§2.2随机过程的函数特征X=｛X(t),teT｝的有限维分布函数族。有限维特征函数族：其中：定义2.3设X=｛X(t),teT｝的均值函数m(t)defE[X(t)],teT。二阶矩过程，协方差函数：D(t)=B(t,t)defE[X(t)-m(t)]2,teTX X X相关函数：R(s,t)=E[X(s)X(t)]X定义2.4设｛X(t),teT｝,｛Y(t),teT｝是两个二阶矩过程，

互协方差函数，互相关函数。§2.3复随机过程定义2.5 设｛X,tgT｝,｛Y,tgT｝是取实数值的两个随机过程，若对任意tGTttZ二X+iY, t t tt2.2复随机过程｛X,tgT｝的协方差函数B(s,t)t2.2复随机过程｛X,tgT｝的协方差函数B(s,t)具有性质t 对称性：B(s,t)二B(t,s)；非负定性1)2)§1)2)§2.4几种重要的随机过程一、 正交增量过程定义2.6设&CLgT｝是零均值的二阶矩过程，若对任意的t<t<t<tgT,有公式34TOC\o"1-5"\h\zeIx(^2)—xi)Ix(tJ—)]=o， 1234则称x(t)正交增量过程。二、 独立增量过程和t<t<…<tGT,随机变量又称可加过和t<t<…<tGT,随机变量又称可加过x(t)—xC)xC)—x(t),…,xC)—xC)是互相独立的，则称&C)tgt｝是独立增量过程2 1 3 2 n n—1程。定义2.8设&C)tgT｝是平稳独立增量过程，若对任意s<t,随机变量xC)-x(s)的分布仅依赖于t—s，则称&C)tgT｝是平稳独立增量过程。三、 马尔可夫过程定义2.9设&QtgT｝为随机过程，若对任意正整数n及t<t,…<t,P(X(t)=x,…,XC)=x)>0，且其条件分布1 P&(t )"= xIX(r )=：,•••,X"(t )="； ｝=P&(t )二xIXC )=x ｝,(2.6)TOC\o"1-5"\h\znn1 1 n—1 n—1 nn n—1 n—1则称仪(t》tgT｝为马尔可夫过程。四、 正态过程和维纳过程定义2.10设&QtgT｝是随机过程，若对任意正整数n和t,t，…tgT,(X()X()•••,XC))是1 2G 1 2 nn维正态随机变量，则称仪(t21gT｝是正态过程或高斯过程。定义2.11 设W(t),—g<t<g｝为随机过程，如果(1)W(0)二0；(2)它是独立、平稳增量过程；( )(3)对Vs,t，增量W(t)一W(s)~N6,b211一sI?b2>0，则称W(t),—g<t<g｝为维纳过程，也称设W(t设W(t),—s<t<g｝是参数为b2的维纳过程，则任意tG(—g,g),W(t)~N6,b211J；对任意—g<a<s,t<g,El(W(s)—W(a))(W(t)—W(a))Lb2min(s—a,t—a),定理2.3(1)特别：Rw(s,t)=b2min(s,t)。五、平稳过程定义2.12设&QteT｝是随机过程，如果对任意常数t和正整数n,当t，…,tgT,t+t，…,t+tgT时，仗《),xC),…x(t)) 1 "与(X(t+t),X(t+t),…,X(t+t))有相同的联合分布，则称(X()teT｝为严平稳过程，也称狭义平稳过1 2 n程。定义2.13设&QteT｝是随机过程，如果&QteT｝是二阶矩过程；对于任意tgt,mcLeIxQL常数；对任意的S,tgT,RxC,t)=R(t-s)，则称&QteT｝为广义平稳过程，简称为平稳过程。若T为离散集，则称平稳过程&(》teT｝为平稳序列。第三章泊松过程§3.1 泊松过程的定义和例子定义3.1计数过程定义3.2称计数过程｛X(t),t>0｝为具有参数九>0的泊松过程，若它满足下列条件X(0)=0；X(t)是独立增量过程；在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数九t>0的泊松分布，即对任意s,t>0,有注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]=Xt。由于，九=E[%(t)]表示单位时间内事件At发生的平均个数，故称九为此过程的速率或强度。定义3.3 称计数过程｛X(t),t>0｝为具有参数九>0的泊松过程，若它满足下列条件X(0)=0；X(t)是独立、平稳增量过程；X(t)满足下列两式：P｛X(t+h)—X(t)=1｝=九h+o(h),(3.2)P｛X(t+h)—X(t)>2｝二o(h) '定理3.1定义3.2与定义3.3是等价的。3.2泊松过程的基本性质一、数字特征设｛X(t),t>0｝是泊松过程，一般泊松过程的有B(s,t)=Xmin(s,t)。X有特征函数定义，可得泊松过程的特征函数为二、时间间隔与等待时间的分布W为第n次事件A出现的时刻或第n次事件A的等待时间，T是第n个时间间隔，它们都是随机变量。nn定理3.2设｛X(t),t>0｝是具有参数九的泊松分布，T(n>1)是对应的时间间隔序列，则随机变量nT(n二1,2,…)是独立同分布的均值为1/九的指数分布。n定理3.3 设｛W,n>1｝是与泊松过程｛X(t),t>0｝对应的一个等待时间序列，则W服从参数为n与九的nnr分布，其概率密度为三、到达时间的条件分布定理3.4 设｛X(t),t>0｝是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间

W<W<•••<W与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。12n§3.3非齐次泊松过程定义3.4称计数过程｛X(t),t>0｝为具有跳跃强度函数九(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：⑴ X(0)=0；(2)X(t)是独立增量过程；P｛X(t+h)—X(t)=1｝=九(t)h+o(h)(3)P｛X(t+h)—X(t)>2｝二o(h)非齐次泊松过程的均值函数为：定理3.5设｛X(t),t>0｝是具有均值函数m(t)=ft九(s)ds的非齐次泊松过程，则有X0或上式表明P｛X(t+s)-X(t)=n｝不仅是t的函数，也是s的函数。3.4复合泊松过程定义3.5设｛N(t),t>0｝是强度为九的泊松过程，｛Yk二1,2,...｝是一列独立同分布随机变量，且与k,｛N(t),t>0｝独立，令则称｛X(t),t>0｝为复合泊松过程。N(t)定理3.6设x(t)=EN(t)定理3.6设x(t)=EYkt>0,是复合泊松过程，则k=1(1)。｛x(t),t>0｝是独立增量过程；(2)的到达率。(3)X⑴的特征函数gX(t)(u)二eXpMt[gY(U)-1]｝，其中gY(U)是随机变量Y1的特征函数；九是事件若E(Y2)<°则E[X(t)]二九tE[Y],D[X(t)]二九tE[Y2].1第4章马尔可夫链马尔可夫链的概念及转移概率§4.1一、 马尔可夫键的定义定义1设有随机过程｛X,neT｝，n若对于任意的整数neT和任意的i,i，…,i eI,条件概率满足01n+1则称｛X,neT｝为马尔可夫链，简称马氏链。n二、 转移概率定义2称条件概率为马尔可夫链｛X,neT｝在时刻n的一步转移概率，其中i,je/,简称为转移概率。n定义3若对任意的i,jeI,马尔可夫链｛X,neT｝的转移概率p..(n)与n无关，则称马尔可夫链是齐次的,ij并记p(n)为

ij定义4定理1列性质：定义5为｛X,nenp。ij称条件概率为马尔可夫链｛X,neT｝的n步转移概率，n设｛X,neT｝为马尔可夫链，则对任意整数n>0,0<l<n和i,jeI，n步转移概率p(")具有下ij设｛X,neT｝为马尔可夫链，称nT｝的初始概率和绝对概率，并分别称｛P,jeI｝和｛p(n),jeI｝为｛X,neT｝的初始分布和绝对分

jj布，简记为｛p｝和｛p(n)｝。定理2设｛X,neT｝为马尔可夫链，则对任意jeI和n>1，绝对概率p(n)具有下列性质:nj定理3设｛X,neT｝为马尔可夫链，则对任意i,i，…,ieI和n>1，有§4.2 马尔可夫链的状态分类

一、状态分类假设{X,n>0}是齐次马尔可夫链，其状态空间I—{0,1,2, }，转移概率是p,i,jeI,TOC\o"1-5"\h\zn ij初始分布为{p,i,jeI}oj …定义4.6 如集合{n:n>1,p（n）>0}非空，则称该集合的最大公约数d—d（i）—G.C.D{n:p（n）>0}为状态i的ii ii周期。如d>1就称i为周期的，如d—1就称i为非周期的。（若对每一个不可被d整除的n，有p（n）=0，且d是ii具有此性质的最大正整数，则称d为状态i的周期。）引理4.1如i的周期为d,则存在正整数M,对一切n>M，有p（nd）>0。ii定义对jES,记4.15）f（n）—P{X—j,X丰j,k—1,2, ,n-11X—i},n>24.15）TOC\o"1-5"\h\zij n k 0称f（n）是系统在0时从i出发经过n步转移后首次到达状态j的概率，而f（-）则是在0时从i出发，系统在有限ij ij步转移内不可能到达状态j的概率。我们将f（n）和f..统称为首达概率（又称首中概率）。ij j引理（1）（2）0<f（n）<f Vi,j,n引理（1）（2）\o"CurrentDocument"ij ij定义4.7若f=1，则称状态i为常返的；定义4.7若f=1，则称状态i为常返的；若f<1，则称状态i为非常返的。ii ii定义4.8如卩<8，则称常返态i为正常返的：如卩—8，则称常返态i为零常返的，非周期的正常返态称i i为遍历状态。从状态是否常返，如常返的话是否正常返，如正常返的话是否非周期等三层次上将状态区分为以下的类型f（n）与p（n）有如下关系：ij ij定理4.4对任意状态i,j，及1<n<8，有p（n）—Xf（k）p（n-k）—Xf（n-k）p（k）.ij ijjj ij jjk—1 k—0引理4.2G.C.D{n:n>1,p（n）>0}—G.C.D{n:n>1,f（n）>0}.二、常返态的性质及其性质定理4.5 状态i常返的充要条件为Xp—8iin—04.16）iiii（4.18）如i非常返，则定理4.7 设i常返且有周期d，则dlimp（nd）— .i—8时,其中卩.为i的平均返回时间。当卩ii推论 设i常返，则（4.26）i遍历olimp（n）——>0。

njiii遍历olimp（n）——>0。

njii 卩iins定理4.8可达关系与互通关系都具有传递性，即如果iTj,jTk，则iTk；如果i吕k,j鈴k，则i今ko定理4.9如ioj，则（1）i与j同为常返或非常返，若为常返，则它们同为正常返或零常返；（2）i与j有相同的周期。§4.3状态空间的分解定义4.9状态空间I的子集C称为（随机）闭集，如对任意ieC及k电C都有p=0。闭集ikC称为不可约的，如C的状态互通。马氏链｛X｝称为不可约的，如其状态空间不可约。n引理4.4C是闭集的充要条件为对任意ieC及k电C都有p（n）=0，n$l。ik称状态i为吸收的，如p=1。显然状态i吸收等价于单点集｛i｝为闭集。ii定理4.10任一马氏链的状态空间I，可唯一地分解成有限个或可列个互不相交的子集D,C,C,之和，使得12每一C是常返态组成的不可约闭集。•••nC中的状态同类，或全是正常返，或全是零常返。它们有相同的周期且几=1,i,keC。n jk nD由全体非常返状态组成。自C中的状态不能到达D中的状态。定义4.10称矩阵（a.）为随机矩阵，如其元素非负且每i有工a=1Oij ij显然k步转移矩阵P（k）=（p（k））为随机矩阵。ij引理4.5设C为闭集，又G=（p（k））,i,juC，是C上所得的（即与C相应的）k步转移子ij矩阵，则G仍是随机矩阵。定理4.11周期为d的不可约马氏链，其状态空间C可唯一地分解为d个互不相交地子集之和，即C—\|G,Gp|G=0,r主s, （4.31）TOC\o"1-5"\h\zrr S且使得自G中任一状态出发,，经一步转移必进入G中（其中G—Gr r+1 d 0定理4.12设｛X,n>0｝是周期为d的不可约马氏链，则在定理4.11的结论下有n（1） 如只在时刻0,d,2d,上考虑｛X｝，即得一新马氏链，其转移阵P（d）—（p（d）），对此新链,n ij每一G是不可约闭集，且G中的状态是非周期的。（2） 如原马氏链｛X｝常返,｛X｝也常返。n nd§4.4 pj）的渐近性质与平稳分布ij一、p（n）的渐近性质ij定理4.13如j非常返或零常返，则limp（n）=0，VieI （4.33）nT^ij推论1有限状态的马氏链，不可能全是非常返状态，也不可能含有零常返状态，从而不可约的有限马氏链必为正常返的。推论2如马氏链有一个零常返状态，则必有无限多个零常返状态。定理4.14如j正常返，周期为d，则对任意i及0<r<d-1有limp（nd+r）—f（r）— （4.37）ntij ij卩.推论设不可约、正常返、周期d的马'氏链，其状态空间为C，则对一切i,jeC，有

limp(nd)nx0ij—,如i与j同属于子集Glimp(nd)nx0ij—,如i与j同属于子集Gs,4.38)0,否则，其中C=G为定理4.11中所给出。s=0s特别，如d=1,则对一切i,j有limp(nTgnij(4.39)定理4.15 对任意状态i,j,有推论如｛X｝不可约，nlim—£nTgnk=1常返，则对任意i,j，有1卩=g时，理解1jp(k)=一 卩.=g时，理解——=0ij卩j卩.jj定义4.11称概率分布｛兀，je/｝为马尔可夫链的平稳分布,腕工p,jiijieI若它满足4.41)工兀=1,兀>0.ijjeI(4.42)值得注意的是，对平稳分布｛兀，jeI｝，有j(4.42)兀=工兀p(n)j iij定理4.16不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布，且此平稳分布i定理4.16不可约非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布，且此平稳分布就是极限分布｛丄,jeI｝。u推论1有限状态的不可约非周期马尔可夫链必存在平稳分布。推论2若不可约马尔可夫链的所有状态是非常返或零常返的，则不存在平稳分布.推论3若｛兀jeI｝是马尔可夫链的平稳分布，则j第五章连续时间的马尔可夫链§5.1连续时间的马尔可夫链定义5.1设随机过程｛X(t),t$0｝,状态空间I=｛i,n>0｝,若对于任意0<t<t< <t及TOC\o"1-5"\h\z,. n 1 2 n+1i,i,,ieI有12 n+1=P｛X(t)=i|X(t)=i｝ (5.1)n+1 n+1 n n则称｛X(t),120｝为连续时间的马尔可夫链。记(5.1)式条件概率的一般形式为p(s,t)=P｛X(s+t)=j|X(s)=i｝ (5.2)ij定义5.2若(5.2)式的转移概率与s无关，则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率，此时转移概率简记为p(s,t)=p(t) (5.3)ij ij其转移概率矩阵简记为P(t)=(p(t)),(i,jeI,t>0)。ij以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔柯夫链都具有齐次转移概率。为方便起见，简称为齐次马尔可夫过程。定理5.1.1齐次马尔可夫过程的转移概率具有以下性质：其中(3)式为马尔可夫过程的Chapman-Kolmogorov(简称C-K)方程。(1)，(2)由概率定义及p(t)ij的定义易知，下面只证明(3)。定义5.1.3对于任一t$0,记分别称｛p(t),jeI｝和｛p,jeI｝为齐次马尔可夫过程的绝对概率分布和初始概率分布。性质5.1.1齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有以下性质：§5.2柯尔莫哥洛夫微分方程引理5.2.1设齐次马尔可夫过程满足正则性条件，则对于任意固定的i,jeI,p..(t)是t的一致连续ij函数。定理5.3设p(t)是齐次马尔可夫过程的转移概率，则下列极限存在ij我们称q为齐次马尔可夫过程从状态i到状态j的转移速率或跳跃强度。ij推论对有限齐次马尔可夫过程，有q=乙q<g (5.2.1)ii ijjHi 匸定理5・4(柯尔莫哥洛夫向后方程)假设乙q=q，则对一切i,j及t>0,有ikiiEk工i丄、/qp(t)一qp(t) (5.2.4)ij ikkj iiijk工i定理5.2.3(柯尔莫哥洛夫向前方程)在适当的正则条件下p‘(t)=工p(t)q-p(t)q (5.2.6)ij ikkjijjjk丰j定理5・2・4齐次马尔可夫链过程在t时刻处于状态jwi的绝对概率p(t)满足如下方程：定理5.2.5设马尔可夫过程是不可约的，则有下列性质：(1)若它是正常返的，则极限limp(t)存在且等于兀>0,jeI，这里兀是方程组—ijjj的唯一非负解，此时称｛兀jeI｝是该过程的平稳分布，并且有(2)若它是零常返的或非常返的，则§5.3生灭过程定义设齐次马尔可夫过程｛X(t),t>0｝的状态空间为I二｛0,1,2, ｝，转移概率为p(t)，如果ij则称｛X(t),t>0｝为生灭过程。其中，九称为出生率，卩.称为死亡率。i i •…(1)若九=汎,卩=i卩a,卩为正常数)，则称｛x(t),t>0｝为线性生灭过程；ii⑵若卩三0，则称｛X(t),t>0｝为纯生过程；i⑶若九三0，贝y称｛x(t),t>0｝为纯灭过程。i 第六章平稳随机过程§6.1平稳过程的概念与例子一、平稳过程的定义平稳过程定义§6.2联合平稳过程及相关函数的性质一、联合平稳过程定义设｛X(t),teT｝和｛Y(t),teT｝是两个平稳过程，若它们的互相关函数E[X(t)Y(t-T)]及E[Y(t)X(t-T)]仅与t有关，而与t无关，则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。定理6・1设｛X(t),teT｝为平稳过程，则其相关函数具下列性质：⑴R(0)>0； (2)R~=R(-t)； (3)R(t)|<R(0)；TOC\o"1-5"\h\zX X(T) X X XR(t)是非负定的，即对任意实数t,t, ,t及复数a,a, ,a，有X 12n 1 2n若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(t+T)，则R(T)=R(T+1)；X X若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当T|t^时，X(t)与X(t+t)相互独立，贝ij(1)|R(t)|2<R(0)R(0),|R(t)|2<R(0)R(0)；XY X Y XY X Y⑵R(-T)=R(T)XYYX §6.3随机分析一、收敛性概念1、处处收敛对于概率空间(O,p,P)上的随机序列｛X｝，每个试验结果e都对应一序列。nX(e),X(e),,X(e), (6.2)12n故随机序列｛X｝实际上代表一族(6.2)式的序列，故不能用普通极限形式来定义随机序列的收敛性。若(6.2)式n ••• •••对每个e都收敛，则称随机序列｛X｝处处收敛，即满足n其中X为随机变量。2、以概率1收敛若使随机序列｛X(e)｝满足n的e的集合的概率为1即我们称二阶矩随机序列｛X(e)｝以概率1收敛于二阶矩随机变量X(e)，或称｛X(e)｝几乎处处收敛于X(e)，记nn作X >X。3、依概率收敛若对于任给的8>0，若有limP｛lX(e)—X(e)l>e｝二0，nnT”则称二阶矩随机序列｛X(e)｝依概率收敛于二阶矩随机变量X(e)，记作X—tX。nn4、均方收敛设有二阶矩随机序列｛X｝和二阶矩随机变量X，若有nlimE[lX-X|2]二0 (6.3)nnT”成立，则称｛X｝均方收敛，记作X—msTX。nn注：(6.3)式一般记为l.i.mX=X或l.imX=X。nnxT”5、依分布收敛 xT”设有二阶矩随机序列｛X｝和二阶矩随机变量乂，若｛X｝相应的分布函数列｛F(x)｝，在X的分布函数F(x)n n n的每一个连续点处，有则称二阶矩随机序列｛X｝依分布收敛于二阶矩随机变量X，记作X—TXnn对于以上四种收敛定义进行比较，有下列关系：

⑴若X—阳~>X，贝yX—p~>Xnn⑵若X—a.e^X，则x——Xnn(3)若X——X，则X——Xnn定理2二阶矩随机序列｛X｝收敛于二阶矩随机变量X的充要条件为n定理3设｛x｝,｛Y｝,｛Z｝都是二阶矩随机序列，U为二阶矩随机变量，｛C｝为常数序列，a，b，c为常数。令nnnnl.i.mX=X，l.i.mY=Y，l.i.mZ=Z，l.i.mc-c。贝ynnnnl.i.mc=limc=c；nnnsl.i.mU=U；l.i.m(cU)=cU；nl.i.m(aX+bY)=aX+bY；nnlimE[X]=E[X]=E[l.i.mX]；nnnslimE[XY]=E[XY]=E[(l.i.mX)(l.i.mY)]；nm n mn,ms特别有limE[|X|2]=E[|X|2]=E[|l.i.mX|2]。nnnTg定理4设｛X｝为二阶矩随机序列，贝卅X｝均方收敛的充要条件为下列极限存在n nlimE[XX]。nmn,mT8二、均方连续定义 设有二阶矩过程｛X(t),teT｝，若对teT，有0limE[lX(t+h)-X(t)b]=0，hTO 0 0连续。定理(均方连续准则)二阶矩过程｛X(t),teT｝在t点均方连续的充要条件为相关函数则称X(t)在t点均方连续，记作limX(t+h)=X(t)。若对T连续。定理(均方连续准则)二阶矩过程｛X(t),teT｝在t点均方连续的充要条件为相关函数R(t,t)在点(t,t)处连续。X12推论若相关函数R(t,t)在｛(t，t),teT｝上连续，则它在TXT上连续X12三、均方导数定义7 设｛X(t),teT｝是二阶矩过程，若存在一个随机过程X'(t)，满足d2XTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"类似的有X(t) 或dt2称为R(t,t)在(t,t)的广义二阶导数，记为X1 2 1 2定理6均方可微准则二阶矩过程｛X(t),teT｝在t点均方可微的充要条件为相关函数R(t,t)在点(t,t)的广X1 2义二阶导数存在。推论1二阶矩过程｛X(t),teT｝在T上均方可微的充要条件为相关函数R(t,t)在｛(t,t),teT｝上每一点X12广义二阶可微。dm(t)推论2若R(t,t)在｛(t,t),teT｝上每一点广义二阶可微，则 X在T上以及X1 2 dt

在TxT上存在，且有四、均方积分定义8并记为如果AT0时，S均方收敛于S，即limElS在TxT上存在，且有四、均方积分定义8并记为如果AT0时，S均方收敛于S，即limElS-SI2=0，贝y称f(t)X(t)在［a,b］上均方可积,AnT0定理7(均方可积准则)f(t)X(t)在区间［a,b］上均方可积的充要条件为存在。特别的，二阶矩过程X(t)在［a,b］上均方可积的充要条件为R(t,t)在［a,b］x［a,b］上可积。X12定理8设f(t)X(t)在区间［a,b］上均方可积，则有(1) e［nf(t)x(t)dt］=nf(t)e［x(t)］dt特别有aaE[fbX(t)dt]=fbE[X(t)]dta特别的有1 1 1 2 2 2 1 2X1 2 1 2a aaElfbX(t)dtl2=fbfbR(t,t)dtdt。X1 2 1 2a aa(2)E[Jbf(t)X(t)dtfbf(t)X(t)dt]=JbJbf(t)7(73R(t,t)dtdt定理9设二阶矩过程｛X(t),teT｝在［a,b］上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程｛X(t),teT｝在［a,b］上均方可微，且有Y'(t)=X(t)。推论设X(t)均方可微，且X'(t)均方连续，则特别有§4平稳过程的各态历经性定义9设｛X(t),-8<t<^｝为均方连续的平稳过程，则分别称为该过程的时间均值和时间相关函数。定义10设｛X(t),-8<t<8｝是均方连续的平稳过程，若<X(t)>Pr.lE(X(t))，即以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若<X(t)X(t-t)>Pr.lE(X(t)X(t-t))，即以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。定义11如果均方连续的平稳过程｛X(t),teT｝的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。定理10设｛X(t),-8<t<8｝是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为lim—f2TTT82T-2T[R(T)-m|2]dT=0 (6.9)X X1-——2T丿定理6.11设｛X(t),-8<t<8｝为均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为lim—f2TTT82T-2T(T)厂-11--B(T)-R(T)212T丿L 1X」dT=0l(6.15)其中B(t)=EX(t)X(t-T)X(t-T)X(t-T-T) (6.16)1L 1 1_定理6.12对于均方连续平稳过程｛X(t),0<t<8｝，等式以概率1成立的充要条件为若X(t)为实平稳过程，则上式变为定理6.13对于均方连续平稳过程｛