小学奥数题库《几何》-直线型-燕尾模型-5星题（含解析）

几何-直线型几何-燕尾模型-5星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

燕尾模型C1.了解燕尾模型的一般形状少考

2熟.悉燕尾模型的关系式

3.能够灵活运用燕尾模型解决复杂

的几何问题

知识提要

燕尾模型

燕尾模型

结论一⑴合言⑵白黑⑶合器

结论二受吟

精选例题

燕尾模型

1.如下列图，三角形4BC中，AF-.FB=BD:DC=CE-.AE=3:2,且三角形4BC的面积是1,

那么三角形ABE的面积为，三角形AGE的面积为，三角形GH/的面积为.

【答案】I'（表

【分析】连接AH、BI、CG.

由于CE:4E=3:2,所以4E=|4C,故

_2_2

SbABE-g^^ABC=5；

根据燕尾模型,

S〉ACG：S>ABG=CD:BD=2:3,

S&BCG：S»ABG==3:2,

所以

SAACG：SAABG：SABCG=4:6:9,

那么

_4

S&ACG—]9,

_9

S^BCG—访；

那么

_2_24_8

S^AGE_5-5x]9—95

同样分析可得S“CH=V，那么

EG:EH=S&ACG：SAACH=4:9,

EG-.EB=S^CG-.S^CB=4:19,

所以

EG-.GH-.HB=4:5:10,

同样分析可得

AG-.GI-.ID=10:5:4.

所以

_5521

S&BIE—^LBAE-：—X-=

105=?

_5511

S〉GHl~记S&BIE=--X-=

19519,

2.如图，四边形4BCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且4E==AB,CF=；BC,AF与

CE相交于G,假设矩形ABCO的面积为120,那么44EG与4CGF的面积之和为.

［答案］15

【分析】方法1：如图，连接AC、BG.

根据燕尾模型,工BG：S/JACG=BF:CF=3:1,S^BCG：SAACG=BE:AE=2:1,而S2MBe=

2^ciABCD=60,所以S〃ABG=T7T77^AABC=5X60=30,S/BCG=77T77^AABC=鼻X60=20,

4-5I/十JL/Oi।X（3

那么包）4EG=g^AABG=1。，^ACFG=^ABCG~5,所以两个二角形的面积之和为15.

方法2：如图，过F做CE的平行线交48于H,

那么EH:HB=CF:FB=1:3,所以4E=^EB=2EH,AG:GF=AE-.EH=2,即4G=2GF,

所以邑4EG=mx|x|xS44BF=gx；x»RB8=10.且EG=|HF=gx=：EC,故

CG=GE,那么S^CGF=1xgxS/4EG=5.所以两三角形面积之和为10+5=15.

3.如图，AABC中BD=2D4,CE=2EB,AF=2FC,那么△4BC的面积是阴影三角形面积

的倍.

【答案】7

【分析】如图，连接山.

根据燕尾定理,SAec/:SAAC；=BD-.AD=2:1,S^a-.S^AB!=CF-.AF=1-.2,

所以,SAACI：SABCI：S^ABI=1:2:4,

那么,S48a=i+2+4SAABC=^^^ABC-

同理可知4/^6和4AB”的面积也都等于448c面积的泉所以阴影三角形的面积等于△ABC面

积的1-JX3=；,所以△48c的面积是阴影三角形面积的7倍.

77

4.正六边形4,A2IA3,A4IA5I。的面积是2009平方厘米，%,B2,B3,B4,B5,分别是正六边形各

边的中点.请问下列图中阴影六边形的面积是平方厘米.

【答案】1148

【分析】方法一:如下左图，连接44万16464,过殳做443的平行线稣E，交4出于

E.因为空白的面积等于△A243G面积的6倍，所以关键求△&43G的面积，在△公4公中用燕

尾模型时，需要知道为。,43。的长度比，根据沙漏模型得=DE,再根据金字塔模型得

A1E=A3E,因此41n:公。=1:3,在△①4心中，设S”142G=1份，那么SA4233G=3份,

S=xX

S—341G=3份，所以SfzGG=j^A,A2A3735s正六边形=五$正六边形，

因此S阴影=（1一5x6）S正六边形=*x2009=1148（平方厘米）.

方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路,

把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为捺x

14

2009=1148（平方厘米）.

5.如图，三角形4BC的面积是1,E是4C的中点，点。在BC上，S.BD-.DC=1:2,4D与BE交

于点工那么四边形。FEC的面积等于.

【答案】.

【分析】方法一：如下图,

BD

根据燕尾模型,S"BF£S"BF

S&ACF~DC-2'SdCBF

设=1份,那么S&.DCF=2份，SAABF=3份，SAAEF=SAEFC=3份，如图所标

所以SDCEF—石SfBC=石・

方法二：如下图，

连接DE,由题目条件可得到SMBO=3

c_1c_12c_1

、&ADE=2^^ADC=2X=3,

所以尊=0=;,

1

1*11n111°1

S^DEF=2XS&DEB=2X3XS>BEC=2X3X2X$&ABC=石,

而SACDE=|X|XSAABC=所以那么四边形OFEC的面积等于a

6.如图，在A/IBC中，点。是边4c的中点，点E、F是边BC的三等分点，假设△ABC的面积为

1,那么四边形CDMF的面积是.

【答案吗

【分析】由于点。是边AC的中点，点E、尸是边8c的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三

段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积.

连接CM、CN.

根据燕尾模型，

S&ABM：S&ACM=BF：CF=2:1,

S—CM=2sMOM，

S»ABM=2s-CM=4sMOM，

那么BM=4DM,即

4

那么

BMBF4214

5ABMF=^X—xSABCD=-x-x-=—）

147

J四边形-2is-30,

另解：得出S-BM=2s-CM=4sMDM后，可得

_1_11_1

S^ADM==耳']=元，

那么

__11_7

S四边形CDMF=S^ACF-SAADM=W_75=30,

7.如图，AABC的面积为1,点D、E是8c边的三等分点，点尸、G是4c边的三等分点，那么四

边形/K/H的面积是多少？

【答案吗

【分析】连接CK、Cl、CJ.

根据燕尾定理，SAACK：SAABK=CD:BD=1:2,SA4BK：SACBK=4G:CG=1:2,

所以5—以：508E54（；8长=1：2：4,那么SfCK=1+2+4=5'SMGK=&S—CK=£•

类似分析可得S“/=M

乂SfB/：S^CB/=4F：CF=2:LS^ABJ：S^ACJ=BD:CD=2:1,可得5-夕=［・

那么，s=---=-.

LCUGKKJ42184

根据对称性，可知四边形CE〃/的面积也为"，那么四边形/K/〃周围的图形的面积之和为

84

X2+=,

SCGKJX2+ShAGl+ShABE=^+^575所以四边形/K/H的面积为1_1=".

8.在△48C中，BD:DC=2:1,AE-.EC=1:3,求。B:OE=?

［答案］8:1

【分析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过

三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的

比.此题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一

步要连接。C.

连接。C.

因为BO:DC=2:1,根据燕尾定理，SM0B：SMOC=BD:BC=2:1,BPSA40B=2SA40C；

又AE:EC=1:3,所以SA.OC=4sA4OE.那么S—OB=2S^AOC=2X4S^AQE=QSAAQE,

所以。B:OE=S"OB：SAA0E=8:1.

9.如图，面积为/的三角形ABC中，D、E、F、G、H、/分别是AB、BC、CA的三等分点，求

阴影局部面积.（如果结果是分数，将结果化成最简分数.）

【答案】蒋

【分析】令B/与CC的交点为M,AF与CC的交点为N,B/与4F的交点为P,B/与CE的交点为Q,

连接4M,BN,CP.

求四边形AOM/的面积：在△ABC中，根据燕尾模型，

S»ABM：S&CBM=AI：CI=1：2,

S—CM：SMBM=4"：BD=1:2,

所以

_1

S—BM=4sA4BC，

_11

S—OM==访S—BC，

_1

SAAIM=适5少8。，

因而四边形ADM/的面积为一

11_1

适SfBC+适SfBC=

同理可得另外两个顶点的四边形面积也是△ABC的g

求五边形。NPQE的面积：在△ABC中，根据燕尾模型，

SAABN：S&ACN=BF:CF=1:2,

所以

S&ADN=S2ABN=五SUBG

同理可得

_1

S^BEQ—五S—BU

在△ABC中，根据燕尾模型,

LABPT-LACP=BF:CF=1:2,

S^ABP：S^CBP=4/：C/=1:2,

所以

_1

S&ABP=mS—8C，

因此五边形DNPQE的面积为

111_11

g^^ABC―五S—BC—五Sfsc-yog

同理另外两个五边形的面积也是「'‘

11

夜S-8C.

所以阴影局部的面积为

1111313

SAABC—3x—SA4BC一3x〔osS&ABC~为S—BC—拓，

1().如下图，在四边形ABC。中，AB=3BE,AD=3AF,四边形4E0F的面积是12,求平行四

边形80DC的面积.

【答案】24

MBOABDO

【分析】连接AO,BD,根据燕尾定理S：S=4F:FD=1:2,S&A0D-.ShB0D=AE:BE=

2:1,设SABEO=1，那么其他图形面积，如图所标，所以SBOOC=2SAEOF=2x12=24.

11.如图，面积为1的三角形4BC中，D、E、F、G、H、/分别是48、BC、C4的三等分点，求

中心六边形面积.

【答案】卷

【分析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q,连接CR

在△ABC中根据燕尾定理，S“ABR：SAACR=BG:CG.=2:1,

^hABR-^^CBR=AI：Cl=1：2

所以SAABR=,SA4BC，I^^SAACSU/SMBLSACQB=b&ABC

所以〃RQS=1-=F

同理SAMNP=]

根据容斥原理，和上题结果s六边形="»亮=卷

12.三角形48c的面积为15平方厘米，。为4B中点，E为4c中点，F为BC中点，求阴影局部的

面积.

【答案】3.125

【分析】令BE与CD的交点为M,CD与EF的交点为N,连接4M,BN.

在44BC中，根据燕尾定理，SAABM：SABCM=AE:CE=1:1,SAACM：S“BCM=A。:BD=1:1,

所以SAABM=SMCM=S&BCN=gS“BC

由于SMEM=5s4AMe=JS-ABMS,所以SM:ME=2:1

在AEBC中，根据燕尾定理，SABEN：S.CEN=BF:CF=1:1S«CEN：SACBN=ME:MB=1:2

设S^CEN=1（份）,那么S4REN=1（份）,S^BCN=2（份）,S^BCE=4（份），

所以S^BCN=yS^BCE=ZSMBC，S&BNE=%SABCE=《SAABC，因为BM:ME=2:1,F为BC中点,

所以S^BMN=^S^BNE=3XQ^^ABC=石SfBc，S&BFN=&S&BNC=2X4=Q^^ABC9

所以S阴影=岛+目S-BC=^SXABC=裔X15=3.125（平方厘米）

13.如图，面积为1的三角形ABC中，D、E、F、G、H、/分别是48、BC、C4的三等分点，求

阴影局部面积.

【答案】葛

【分析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令B/与CD的交点为M,4尸与。。的交点为N,B/与4尸的交点为P,B/与CE的交点为Q,连接

AM.BN、CP

（1）求S四边形4DM/：在△ABC中，根据燕尾定理，S^CBM=A/：C/=1：2S44CM：S^CBM=

AD-.BD=1:2

设S-BM=1（份）,那么S4CBM=2（份）,SfCM=1（份）,S&ABC=4（份）,

所以S—8M=S“CM=[S—BC，所以S.DM=^^ABM=12^^ABC9Sf/M=

所以S四边形ADM/=（石+^）S^ABC=

同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的;

6

（2）求S五边形DNPQE：在△ABC中,根据燕尾定理SfBN：S—CN=B/7：。尸=1：2S-CN：S"CN=

AD\BD=1:2,

所以SMDN=gSuBN=gX3S2ABC~五S“BC，向理S^BEQ=t^ABC

在△ABC中，根据燕尾定理S“BP：SMCP=BF：CF=L2,S”BP：SMBP=AI:CI=1:2

所以S-BP=*SAABC

所以S五边形DNPQE=SfBP-S&ADN-S&BEP=（g一五一五）S4ABC=

同理另外两个五边形面积是△ABC面积的喘

所以S阴影=1一打3-装X3=或

14.如下图，三角形4BC的面积为1,。、E、F分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面

积？

【答案】|

【分析】给中间三角形的3个顶点标上字母，如下图1.

由于。、E、F分别是3条边上的三等分点，而△ABC的面积为1,所以AABE、4BCF、ACAD

的面积都是（这3个三角形的面积之和就等于大AABC的面积，它们的重叠局部是3个小三角

形：AAME、&BNF、4CPD.因此阴影△MNP的面积就等于这3个小三角形的面积之和.

假设SACPO="1"，由于。是BC上的三等分点，可知4BPD="2"（如下图2）•

由燕尾模型可得#=喘=2,所以雇诋="6"；而冷=寒=2,所以SMBP="12"（如下

图3）.

因此，整个△ABC的面积是“12"+"6"+"2"+T="21",那么T=《，即S"PD=*

类似地，小△BNF和小△AME的面积都是《，那么阴影局部的面积就是5x3=i.

15.如右图，三角形48c中，AF-.FB=BD.DC=CE-.AE=3:2,且三角形GH/的面积是1,求

三角形4BC的面积.

【答案】19

【分析】连接BG.

S&AGC=6份・

根据燕尾模型，

SAAGC：S»BGC~“/：FB=3:2=6:4,

S^ABG'S^AGC=BD:DC=3:2=9:6.

得

S&BGC=4（份）,Su%=9（份），

那么S—8C=191份），因此

S—GC_£

S&ABC19

同理连接4/、CH.

得

SMBH_2S^BIC_£

S△力BC19S〉ABC19

所以

S〉GHI19—6—6—61

SAABC1919-