第10讲两角和与差的三角函数（六大题型）

第10讲两角和与差的三角函数【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一：两角和的余弦函数两角和的余弦公式：知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反．知识点二：两角和与差的正弦函数两角和正弦函数在公式中用代替，就得到：两角差的正弦函数知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；（4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：这也体现了数学中的整体原则．（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．知识点三：两角和与差的正切函数知识点诠释：（1）公式成立的条件是：，或，其中；（2）公式的变形：（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．（4）公式对分配律不成立，即．知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．2、重视角的变换三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．【典型例题】题型一：两角和与差的正（余）弦公式【例1】（2024·广东深圳·高一校考期末）计算：（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A.【变式11】（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，则a的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】故选：A【变式12】（2024·辽宁沈阳·高一校联考期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，则，．故选：A．【变式13】（2024·吉林·高一长春外国语学校校联考期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.题型二：两角和与差的正切公式【例2】（2024·广东肇庆·高一校考期末）计算：＝.【答案】【解析】由题意．故答案为：．【变式21】（2024·全国·高一专题练习）的值为．【答案】/【解析】.故答案为：.【变式22】（2024·高一课时练习）（1）.（2）.【答案】【解析】（1）.（2）.故答案为：，【变式23】（2024·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考期中）.【答案】【解析】因为，所以所以故答案为：题型三：给角求值【例3】（2024·河北保定·高一校联考期中）．【答案】【解析】.故.故答案为：.【变式31】（2024·高一课时练习）求.【答案】/0.5【解析】故答案为：.【变式32】（2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）.【答案】【解析】.故答案为：.【变式33】（2024·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期中）______.【答案】1【解析】故答案为：1题型四：给值求值【例4】（2024·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知函数．(1)求的值；(2)设，求的值．【解析】（1）函数.（2）．．．．【变式41】（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，，，．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）∵，∴，又，，∴，∴.（2）∵，，∴，，，∴，∴.【变式42】（2024·全国·高一随堂练习）已知，，求，及的值．【解析】因为，，所以，由，解得，所以，所以，，.【变式43】（2024·全国·高一专题练习）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）因为，，则，所以.（2）由（1）可知：，，可得，，且，所以.题型五：给值求角【例5】（2024·全国·高一专题练习）已知，，其中，．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）因为，可得，又因为，则，可得，所以.（2）因为，则，且，可得，所以，可得，又因为，可得，所以.【变式51】（2024·高一课时练习）已知，，，.(1)求tanα的值；(2)求的值；(3)求的值.【解析】（1）因为，故由得，解得.（2）.（3）因为，因为，则，又，得，所以.【变式52】（2024·四川成都·高一统考期末）已知，.(1)求；(2)若，，求的值.【解析】（1）因为，由题意可得，解得.（2）因为，，则，又因为，所以，，故，所以，，因此，.【变式53】（2024·江苏常州·高一校联考阶段练习）已知锐角，且满足.(1)求；(2)求.【解析】（1）因为为锐角，，所以.因为，是锐角，即，，所以，，又因为，所以..（2）由（1）知，，因为是锐角，，所以，由，，所以，，因为，所以.题型六：两角和与差的正切公式的综合应用【例6】（2024·云南曲靖·高一校考期末）（1）已知，，且，求的值；（2）在中，三内角，，满足：，求的值.【解析】，，，，得，，故，，，故；（2），，故，，，，即，即.【变式61】（2024·广东佛山·高一校联考阶段练习）如图，马鞍山长江公铁大桥是巢马城际铁路控制性工程，总长3248米，为世界上首座双主跨超千米的三塔斜拉桥，同时也是世界上最长联钢桁梁斜拉桥.为了解桥的一些结构情况，某学校道路桥梁工程设计学习小组将大桥的结构进行了简化，取其部分抽象成图中所示的模型，其中为其中两座桥塔的高，通过测量得知米，米，点在线段上，且在点处测得的顶端的仰角为，在点处测得的顶端的仰角为.当时，.(1)求主塔的高的长度.(2)是否存在点，使得？如果存在，求出点的位置；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意，，且，，，，所以米，米，米，所以主塔的高的长度为米；（2）设，则，，所以，，若，则，得，设，，则，，，所以在内无零点，即方程在内无实根，所以不存在点，使得.【变式62】（2024·上海嘉定·高一校考期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值；（2）在中，已知与是方程的两个根.求.【解析】（1）已知，，且及都是锐角，所以，，所以又，所以，故；（2）因为与是方程的两个根所以在中，，所以.【过关测试】一、单选题1．（2024·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B2．（2024·河北沧州·高一泊头市第一中学校考阶段练习）已知点是角的终边上一点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为点是角终边上一点，所以，，所以，故选：B．3．（2024·江西上饶·高一校考期末）若，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，，得，，相加得，，解得，故选：B.4．（2024·浙江嘉兴·高一嘉兴一中校考阶段练习）等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D.5．（2024·吉林·高一吉林一中校考期末）已知，则（

）A． B． C． D．3【答案】D【解析】令，则，，则.故选：D．6．（2024·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）（

）A．0 B． C． D．1【答案】C【解析】，故选：C7．（2024·吉林·高一校联考期末）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，则，所以.故选：D.8．（2024·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）已知，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，，，..故选：A.二、多选题9．（2024·甘肃武威·高一校联考期中）下列四个式子中，计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对A，由诱导公式可知，，故A错误；对B，，故B正确；对C，，故C错误；对D，，故D正确.故选：BD.10．（2024·高一课时练习）（多选）若，则的可能值是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由题意得，，，当或时均符合，当或时不符合.故选：AC.11．（2024·山西太原·高一统考期末）计算下列各式，结果为的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于选项A，由辅助角公式得.故选项A正确；对于选项B，，故选项B错误；对于选项C，，故选项C错误；对于选项D，，故选项D正确.故选：AD.12．（2024·全国·高一专题练习）若，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由，可知，当，即时，即时，，显然不成立，故；所以，则，所以，即，当时，，当时，，当时，，令，得，故的值不可能为.故选：ABD.三、填空题13．（2024·上海·高一上海市建平中学校考期末）已知为锐角，，则.【答案】/【解析】因为为锐角，所以，所以，所以，又因为，所以，所以.故答案为：14．（2024·吉林·高一长春外国语学校校联考期末）若，，则【答案】【解析】，即，故.故答案为：.15．（2024·河北邯郸·高一校考期末）若，则＝．【答案】0【解析】因为，所以，可得，可得即，则.故答案为：0．16．（2024·全国·高一专题练习）已知，则.【答案】【解析】因为，所以，两相加得，得.故答案为：.四、解答题17．（2024·上海·高一上海市行知中学校考期末）已知.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）（2）18．（2024·上海·高一校考期末）已知，且.(1)化简并求值：；(2)若，求.【解析】（1）因为，所以，又，所以，所以，当时，原式.（2）因为，，所以，所以.19．（2024·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）求下列各式的值.(1)已知，求的值；(2)已知，，求的值.【解析】（1）因为，所以.（2）因为，则，，又，所以，，则.20．（2024·广