人教版高中数列知识点总结知识点例题3

数学必修5数列

知识点1：等差数列及其前n项

1.等差数列的定义

2.等差数列的通项公式

如果等差数列｛&｝的首项为公差为4那么它的通项公式&,=a\+(〃-1)d.

3.等差中项

如果4=空，那么A叫做a与b的等差中项.

4.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d,(〃，机@N*).

(2)若｛〃“｝为等差数列，且％+/=/»+〃，(k,I,m,nGN*),则以+□=","+an.

(3)若｛如｝是等差数列，公差为之则仅2“｝也是等差数列，公差为2d.

(4)若｛斯｝,｛仇｝是等差数列,则｛pa〃+曲｝也是等差数列.

⑸若｛如｝是等差数列，公差为d,则诙,ak+m,以+2m，…伏，mWN*)是公差为md的等差数

列.

5.等差数列的前〃项和公式

设等差数列5｝的公差d,其前n项和S尸一做Sn=na\+%&

6.等差数列的前〃项和公式与函数的关系

S"=，?2+(a［—数列｛%｝是等差数列OS”=A/+B〃，(A、3为常数).

7.等差数列的最值

在等差数列｛为｝中，ai>0,d<0,则S”存在最大值:若ai<0,d>0,则S“

存在最小值.

［难点正本疑点清源］

1.等差数列的判定

(1)定义法:小一。”-1=义("22);

(2)等差中项法:2即+1=斯+斯+2.

2.等差数列与等差数列各项和的有关性质

(1)即，am+k,a,n+2k,am+3k,…仍是等差数列，公差为匿/.

(2)数列Sm,S2m-Sm,S3,"-…也是等差数列.

(3)S2n-l=(2n—l)fln.

n

(4)若n为偶数，则S偶一S寺=呼/.

若〃为奇数，则S奇一S偶=4中(中间项).

31

例1(等差数列的判定或证明)：已知数列｛斯｝中，0=5，^=2—~~■(n22,

nEN*)，数列｛bn｝满足bn=—^—(neN*).

Cln1

(1)求证：数列｛6｝是等差数列；

(2)求数列｛斯｝中的最大项和最小项，并说明理由.

⑴证明V«„=2--(心2,〃GN*),/?„=—777.

cin-\1

.•.〃N2时，bn—bn-\=-二一■~r

an—\an-\—\

11

an-\—l斯

...数列｛九｝是以一I为首项，1为公差的等差数列.

712

⑵解由(1)知，bn=n—y则跖产1+而=1+2〃与,

2

设函数段)=1+云二亍，

易知危)在区间(一8,3和区+8)内为减函数.

...当〃=3时，为取得最小值一1；当〃=4时，如取得最大值3.

例2(等差数列的基本量的计算)设a”d为实数，首项为a”公差为d的等差

数列｛an｝的前n项和为Sn,满足S5s6+15=0.

(1)若S5=5,求S6及ai

(2)求d的取值范围.

一15

解(1)由题意知S6=H=—3,O6=S6—S5=—8.

-5«i+10J=5,

所以

0+5d=-8.

解得ai=7,所以S6=—3,“1=7.

(2)方法一VS5S6+15=0,

，(5ai+l(W)(6ai+15J)+15=0,

即2曷+9而1+10心+1=0.

因为关于⑶的一元二次方程有解，所以

/=81H—8(10d+1)=1—820,

解得dW—2啦或122啦.

方法二VS5S6+15=0,

二(5a1+1(W)(6a1+15J)+15=0,

9而।+10/+i=o.

故(4ai+9J)2=d2—8.所以"228.

故d的取值范围为dW-2a或心2啦.

例3(前n项和及综合应用)(1)在等差数列｛小｝中，已知0=20,前〃项和为S”

且S10=$5,求当〃取何值时，S,取得最大值，并求出它的最大值；

(2)已知数列｛a”｝的通项公式是斯=4〃-25,求数列｛%|｝的前八项和.

解方法一••3=20,Sio=Si5,

10X915X145

A10X20+—^―</=15X20+―内—d,：.d=~y

斯=20+(〃-1)X(-§=一5〃+号

."13=0,即当〃W12时，小>0,〃214时，斯<0,

12X11

...当〃=12或13时,S,取得最大值，且最大值为Si3=Si2=12X20-2~

=130.

方法二同方法一求得4=一生

、

•.$C=2”0〃+,«(f»-—1)<(—于5=-^5+2,—125n=一5初f一2寸5Y十,3丁1・25

VnEN*,当〃=12或13时，S,有最大值，且最大值为Si2=S3=130.

(2)9.an—^n—25,。〃+1=4(〃+1)—25,

・・1—=4=d,又a]=4X1—25=-21.

所以数列｛斯｝是以一21为首项，以4为公差的递增的等差数列.

fa〃=4〃-25<0,①

令《

1斯+1=4(〃+1)-2520,②

由①得〃<6：；由②得心5女,所以〃=6.即数列｛|斯|｝的前6项是以21为首项,

公差为-4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，

而|a7|=S=4X7—24=3.

设｛|编｝的前〃项和为4,则

n(n—1)

21H+2X(-4)(〃<6)

T„=S

,।八।(〃一6)(〃一7)

66+3(〃-6)+2义4(〃27)

1―2层+23〃("<6),

―12层-23〃+132(〃27).

例4,已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其

公差为3

例5等差数列｛叫也｝的前〃项和分别为｛S“｝,｛7J，且东=7〃+,，则使得更为正

ln〃•3bn

整数的正整数n的个数是3.(先求an/bnn=5,13,35)

已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三常

见思路：

⑴算出前几项，再归纳、猜想；

⑵“an+l=pan+q”这种形式通常转化为a〃+l+4=p(a〃+几),由待定系数法求出,

再化为等比数列；

(3)逐差累加或累乘法.

例6已知数列｛q｝中，，当〃时，其前〃项和S,,满足为=而\，则数列｛/｝

1

的通项公式为-

3n=1)

2

2

1-4/2

2s2

5-S।=——」

nw-1CC1

=S“1-x7

nS—\n=2nSnSn-1.=-C——C*—=2(/1'2)

°〃一1

nS—_I-

=、〃一2〃+l・

a.a、.

—,—,Qi,〃22.

%«1

例7在数列｛4｝中，q=2,a„+l=an+ln(l+-^),则2+呼

知识点2：等比数列及其n项和

I.等比数列的定义

2.等比数列的通项公式

3.等比中项

若(ab^O),那么G叫做“与人的等比中项.

4.等比数列的常用性质

m

(1)通项公式的推广：&n=an(f~,(n,m£N*).

(2)若⑶｝为等比数列，且k+l=m+n,(k,1,m,n6N*),则&•©=&•4.

(3)若｛an｝,｛回｝(项数相同)是等比数列，则｛Mn｝G#O),

/，｛硝，面小｝,怖｝仍是等比数列.

5.等比数列的前n项和公式

等比数列｛an｝的公比为q(qWO),其前n项和为Sn,

当q=l时，Sn=nai；

当q4时，S产叫匕豆=手则

1—q1-q

6.等比数列前n项和的性质

公比不为一1的等比数列｛an｝的前n项和为S“，则Sn，S2n-Sn,S3n-s2n仍成等比数列，其

公比为/.

7.等比数列的单调性

q>i0<9<14=19<0

a>0递增递减常数列摆动数列

递减递增常数列摆动数列

【难点】

1.等比数列的特征

从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比4也是非常数.

2.等比数列中的函数观点

利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系.在借

用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小.

3.等比数列的前〃项和S”

(1)等比数列的前〃项和*是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求

和中的运用.

(2)等比数列的通项公式及前几项*口公式)="；；；，(qWl)

共涉及五个量防，an,q,n,Sf„知三求二，体现了方程的思想的应用.

(3)在使用等比数列的前〃项和公式时，如果不确定q与1的关系，一般要用分

类讨论的思想，分公比q=l和两种情况.

例1：(1)在等比数列■〃｝中,已知%一的=24,a3a5=64,求｛%｝的前8项和Sg;

(2)设等比数列｛知｝的公比为q(q>0),它的前〃项和为40,前2〃项和为3280,

且前〃项中数值最大的项为27,求数列的第2〃项.

(1)设数列｛。〃｝的公比为q,

由通项公式斯=aq"।及已知条件得：

。6—。4=。1夕3(/-1)=24,①

<

、。3・。5=(。1。3)2=64.②

由②得ai/=±8.

将。)=—8代入①式，得炉=—2,无解将。4=8代入①式，得/=4,二夕

=±2.,故舍去.

,.«i(l—«8)

当夕=2时，0=1,.,.58=—^——=255；

i-q

.4Z|(1—O8)

当4=—2时，ci1——1,••S&-I:85.

11—q

(2)若q=l,则〃s=40,2〃ai=3280,矛盾.

0(1—4).

—；-------=40n,①

i-q

ai(l—q2n)

—4~—=3280,

i-q

小得：l+g"=82,；.g"=81,③

将③代人①得q=1+20.④

又•••g>0,...Ol,...aiX),｛斯｝为递增数列.

11

arl=aicf=21,⑤

由③、④、⑤得q=3,Gi=1,〃=4.

；♦a2,i=a8=1X3，=2187.

例2己知数列｛an｝的前n项和为Sn,数列｛bn｝中，bi=ai,bn=

an-an-i(n22),且an+Sn=n.

(1)设Cn=an-1,求证：｛Cn｝是等比数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式.

1)证明Van+Sn=n,①

♦♦an+i+Sn+1=n+1.②

②—①得an+i—an+an+i=l,

=—

/.2an+ian+l,**.2(an+i—l)=an1,

••.包三/=1'｛an—1｝是等比数列.

,首项ci=ai—1,又ai+ai=l,

.\ai=2>•,•C]=一2,公比q=.

又Cn=an-1,

，｛Cn｝是以一g为首项，3为公比的等比数列•

(2)解由(1)可知品=

/•an=Cn+1=1—••当11N2时，bn=Hn—3n-l

=1

又加=0=另代入上式也符合，，为=

例3在等比数列｛<;"｝中，（1）若已知02=4,“5=一/求。”；

(2)若已知a304a5=8,求a2a3a4a5恁的值.

解⑴设公比为q,则竽=。即,=

CL2o

n4

：.an=a5q$=(-£)".

(2)f。3。4。5=8,又。3。5=曷，，。?=8,。4=2.

・・4a5。6=鬲=2,=32.

例已知数列｛｝满足。"+驯岑

4a"a=l,“2=2,2=T,z?GN*.

（1）令济=4+1—斯,证明：｛为｝是等比数列;

⑵求｛斯｝的通项公式.

规范解答

⑴证明b\=a2—a\=\,[1分]

wnj.,an-\+an

3〃32时，~an

=-一1)=-2^-1,[5分]

.•.伯”｝是首项为1,公比为一3的等比数列.

[6分]

71-1

(2)解由(1)知bn=an+i—an[8分]

当“22时，斯=。1+（。2­。1）+（俏-。2）+…+（如—斯-1）[10分]

（三角函数）

例5若数列1,2cos9,22cos②9,23cos。，…，前100项之和为0,则9的值为

角成等差数列，三边成等比数列，则三角形的形状为—等边三角形

【综合应用】

例7.已知等差数列｛圆｝的首项ai=l,公差d>0,且第2项、第5项、第14项分

别是等比数列｛d｝的第2项、第3项、第4项.

(1)求数列｛斯｝与□”｝的通项公式;

(2)设数列｛&｝对〃GN*均有詈■+2H---卜詈=。”+1成立，求ci+c2+c3H---卜C2013.

02Un

解(1)由已知有G2=l+d,(75=1+4<7,04=1+134,

.,.(1+4J)2=(1+J)(1+13J).解得d=2(VJ>0).

=

an1