高考数学一轮复习 练案（38）第六章 不等式、推理与证明 第一讲 不等关系与不等式（含解析）-人教版高三数学试题

[练案38]第六章不等式、推理与证明第一讲不等关系与不等式A组基础巩固一、单选题1．(2020·甘肃天水一中模拟)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(D)A．a＋c≥b－c B．ac>bcC.eq\f(c2,a－b)>0 D．(a－b)c2≥02．(2020·北京市海淀区模拟)已知a<b，则下列结论中正确的是(D)A．∀c<0，a>b＋c B．∀c<0，a<b＋cC．∃c>0，a>b＋c D．∃c>0，a<b＋c[解析]A．不一定成立，如a＝1，b＝10，c＝－1，a>b＋c不成立；B.也不一定成立，如a＝9.5，b＝10，c＝－1，a<b＋c不成立；C.不成立，因为a<b，c>0，所以，a<b＋c恒成立，因此D必正确．3．(2020·福建厦门期末)实数x，y满足x>y，则下列不等式成立的是(B)A．eq\f(y,x)<1 B．2－x<2－yC．lg(x－y)>0 D．x2>y2[解析]由x>y知－x<－y，又指数函数y＝2x是增函数，∴2－x<2－y，故选B.4．已知a，b满足等式x＝a2＋b2＋20，y＝4(2b－a)，则x，y的大小关系是(B)A．x≤y B．x≥yC．x<y D．x>y[解析]x－y＝a2＋b2＋20－4(2b－a)＝(a＋2)2＋(b－4)2≥0，即x≥y，故选B.5．(2020·河南南阳统考)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(A)A．P≤Q B．P<QC．P≥Q D．P>Q[解析]不妨取a＝b＝eq\f(1,2)，则P－Q＝eq\f(1,4)(x＋y)2－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)y2＝－eq\f(1,4)(x－y)2≤0，∴P≤Q，故选A.6．(2020·浙江台州期末)设不为1的实数a，b，c满足：a>b>c>0，则(D)A．logcb>logab B．logab>logacC．ba>bc D．ab>cb[解析]∵b>0，∴函数y＝xb为增函数，又a>c，∴ab>cb，故选D.7．(2020·河南九师联盟联考)下列说法正确的个数为：①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，c<0，则eq\f(c,a)>eq\f(c,b).(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①∵a>|b|≥0，∴a2>b2成立，∴①正确；②取a＝2，b＝1，c＝3，d＝－2，则2－3<1－(－2)，故②错误；③取a＝4，b＝1，c＝－1，d＝－2，则4×(－1)<1×(－2)，故③错误；④∵a>b>0，∴0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b).又c<0，∴eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，∴④正确．二、多选题8．(2020·山东临沂质检)已知a，b，c满足a>b>c，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(BC)A．ab>ac B．abc<0C．a2c<b2c D．ac(a－[解析]∵a>b>c且ac<0，∴a>0，c<0，a－b>0，a－c>0，∴ab>ac，ac(a－c)<0，∴选项A，D正确．故选B、C.9．(2020·四川绵阳诊断改编)若b<a<0，则下列结论正确的是(BD)A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．ab>a2C．|a|＋|b|>|a＋b| D．eq\r(3,a)>eq\r(3,b)[解析]对于A：eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)<0，故A不正确．对于B：∵a<0，∴ab>a2.正确．对于C：取b＝－2，a＝－1，显然b<a<0，但|a|＋|b|＝3＝|a＋b|，∴|a|＋|b|>|a＋b|错，故C不正确．对于D：y＝eq\r(3,x)为增函数，所以eq\r(3,a)>eq\r(3,b)正确．故选B、D.10．已知下列四个结论正确的是(CD)A．a>b⇔ac>bcB．a>b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．a>b>0，c>d>0⇒eq\f(a,d)>eq\f(b,c)D．a>b>1，c<0⇒ac<bc[解析]当c＝0时，A不正确．当a>0>b时，B不正确．由于c>d>0，所以eq\f(1,d)>eq\f(1,c)>0，又a>b>0，所以eq\f(a,d)>eq\f(b,c)>0，C正确．易知函数y＝xα(α<0)在(0，＋∞)上单调递减，由于a>b>1，c<0，故ac<bc，D正确．故选C、D.三、填空题11．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有__①②④__.[解析]运用倒数性质，由a>b，ab>0可得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，②④正确．又正数大于负数，①正确，③错误．12．设α∈(0，eq\f(π,2))，β∈[0，eq\f(π,2)]，那么2α－eq\f(β,3)的取值范围是(－eq\f(π,6)，π).[解析]∵0<α<eq\f(π,2)，∴0<2α<π.又0≤β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0.∴－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π，即2α－eq\f(β,3)∈(－eq\f(π,6)，π)．四、解答题13．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原票、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．[解析]设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋eq\f(3,4)x·(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)nx.所以y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq\f(4,5)nx＝eq\f(1,4)x－eq\f(1,20)nx＝eq\f(1,4)x(1－eq\f(n,5))．当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1<y2；当n<5时，y1>y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．14．已知－1<x＋y<4，且2<x－y<3，求z＝2x－3y的取值范围．[解析]解法一：(待定系数法)：设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2，,λ－μ＝－3))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,μ＝\f(5,2)，))从而2x－3y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，又由已知得－2<－eq\f(1,2)(x＋y)<eq\f(1,2)，5<eq\f(5,2)(x－y)<eq\f(15,2)，∴3<－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)<8，即z∈(3,8)．解法二：(线性规划法)：－1<x＋y<4且2<x－y<3表示的平面区域如图，其中，A(3,1)，B(1，－2)．当目标函数z＝2x－3y经过点A时，z取值3，当z＝2x－3y经过点B时，z取值8，故z∈(3,8)．B组能力提升1．(2020·河南郑州重点高中期中联考)已知0<a<b<1，则在aa，ab，ba，bb中，最大的是(C)A．aa B．abC．ba D．bb[解析]∵0<a<b<1，∴ba>aa>ab，且ba>bb，∴最大的是ba，故选C.2．(多选题)(2020·山东夏津一中月考)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论不正确的是(AD)A．a2>b2 B．ab<b2C.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2 D．|a|＋|b|>|a＋b|3．(多选题)(2020·山东滨州月考)已知x>y>0，则下列不等关系中正确的是(CD)A．cosx>cosy B．log3x<log3yC．xeq\f(1,2)>yeq\f(1,2) D．(eq\f(1,3))x<(eq\f(1,3))y[解析]cosx、cosy的大小关系不确定，由y＝log3x、y＝eq\r(x)＝xeq\f(1,2)是增函数，y＝(eq\f(1,3))x是减函数知，log3x>log3y，xeq\f(1,2)>yeq\f(1,2)，(eq\f(1,3))x<(eq\f(1,3))y，∴A、B错C、D正确，故选C、D.4．(2020·福建厦门质量检查)已知a>b>0，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则(A)A．x<z<y B．z<x<yC．z<y<x D．y<z<x[解析]∵x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，∴y－z＝a(ea－eb)，又a>b>0，e>1，∴ea>eb，∴y>z，z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)，又a>b>0，eb>1，∴z>x.综上，x<z<y.故填A.5．(2020·河北“五个一名校联盟”诊断)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是(D)A．(eq\f(m,n))p>1 B．eq\f(p－m,p－n)<eq\f(m,n)C．m－p<n－p D．logmp>lognp[解析]对于选项A，由0<m<n<1可得0<eq\f(m,n)<1，又p