八年级上学期期末考试数学试卷(附带答案和解析)

第页八年级上学期期末考试数学试卷(附带答案和解析)学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4 B．4，5，7 C．0.5，1.2，1.3 D．12，36，392．（4分）某中学九（1）班学生为希望工程捐款，该班50名学生的捐款情况统计如图（）A．16，15 B．15，16 C．20，10 D．10，203．（4分）如图，数轴上有A、B、C、D四点，其中与实数（）A．A B．B C．C D．D4．（4分）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）在一次函数y＝x﹣2的图象上，则（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y25．（4分）如图，把线段AB平移，使得点A到达点C（4，2），那么点D的坐标是（）A．（7，3） B．（6，4） C．（7，4） D．（8，4）6．（4分）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（）A． B． C． D．7．（4分）已知：关于x，y的方程组，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．a﹣1 C．0 D．18．（4分）如图，如果AB∥CD，那么角α，β（）A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β+γ＝180° D．α+β﹣γ＝180°9．（4分）已知方程组的解为，则函数y＝2x+3与y＝（）A．（1，5） B．（﹣1，1） C．（1，2） D．（4，1）10．（4分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．dm B．20dm C．25dm D．35dm二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）如果一个数的平方根是a+3和2a﹣15，则a的值为，这个数为．12．（4分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5．13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，交AC于点D，交BC于点E，则∠C＝．14．（4分）小刚解出了方程组解为，因不小滴上了两滴墨水，则▲＝，◆＝．15．（4分）如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A、B，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，则t的值为．三、解答题（共10小题，共90分）16．（8分）计算：（1）﹣（1﹣）0；（2）3﹣﹣2．17．（8分）解下列方程组：（1）；（2）．18．已知实数2a﹣1的平方根是±3，＝5，求a+b的平方根．19．如图，已知：AC∥DE，DC∥EF（证明注明理由）20．如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，CD＝12，AD＝1321．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率98%．现已挂果，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？22．某大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据如下表（例如三人间普通间客房每人每天收费50元）．为吸引客源，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通客房，一天一共花去住宿费1510元．普通间（元/人/天）豪华间（元/人/天）贵宾间（元/人/天）三人间50100500双人间70150800单人间1002001500（1）三人间、双人间普通客房各住了多少间？（2）设三人间共住了x人，则双人间住了人，一天一共花去住宿费用y元表示，写出y与x的函数关系式；（3）如果你作为旅游团团长，你认为上面这种住宿方式是不是费用最少？为什么？23．如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点P（2，p），直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D△AOP＝4（1）求S△COP；（2）求点A的坐标及p的值；（3）若3S△AOP＝S△BOP，求直线BD的解析式．24．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a．b．m．n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a．b．m．n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m．n的式子分别表示a．b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a．b．m．n填空：+＝（+）2（3）若a+4＝（m+n）2，且a．m．n均为正整数，求a的值．25．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OC．（1）如图1，已知∠AOB＝150°，∠BOC＝120°①∠DAO的度数是②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系；（2）设∠AOB＝α，∠BOC＝β．①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4 B．4，5，7 C．0.5，1.2，1.3 D．12，36，39【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、32+42≠42，不能构成直角三角形，故选项错误；B、42+42≠78，不能构成直角三角形，故选项错误；C、0.53+1.25＝1.32，能构成直角三角形，故选项正确；D、122+362≠394，不能构成直角三角形，故选项错误．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．（4分）某中学九（1）班学生为希望工程捐款，该班50名学生的捐款情况统计如图（）A．16，15 B．15，16 C．20，10 D．10，20【分析】根据众数和中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数．【解答】解：∵10出现了16次，出现的次数最多∴他们捐款金额的众数是10；∵共有50个数∴中位数是第25、26个数的平均数∴中位数是（20+20）÷2＝20；故选：D．【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．3．（4分）如图，数轴上有A、B、C、D四点，其中与实数（）A．A B．B C．C D．D【分析】先求出﹣﹣5的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵9＜10＜16∴3＜＜7∴﹣2＜﹣5＜﹣3∴点B与实数最接近．故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．4．（4分）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）在一次函数y＝x﹣2的图象上，则（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2【分析】方法一：根据一次函数的性质，对于y＝x﹣2，y随x的增大而增大，再由﹣3＜2可得y1＜y2，据此即可得出答案；方法二：将点A（﹣3，y1），B（2，y2）代入y＝x﹣2之中求出y1＝﹣5，y2＝0，据此即可得出答案．【解答】解法一：对于y＝x﹣2，y随x的增大而增大∵点A（﹣3，y8），B（2，y2）在一次函数y＝x﹣7的图象上，且﹣3＜2∴y3＜y2．故选：A．解法二：对于y＝x﹣2，当x＝﹣5时，y1＝﹣5，当x＝6时，y2＝0∴y7＜y2．故选：A．【点评】此题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象上的点，解法一的关键是理解一次函数的增减性；解法二的关键是理解一次函数图象上的点满足一次函数的表达式．5．（4分）如图，把线段AB平移，使得点A到达点C（4，2），那么点D的坐标是（）A．（7，3） B．（6，4） C．（7，4） D．（8，4）【分析】得到点A的平移规律，根据点A的平移情况得到点D的坐标即可．【解答】解：∵点A的坐标为（0，1），7）∴平移的规律为横坐标加4，纵坐标加1∵点B的坐标为（4，3）∴点D的坐标是（7，8）故选：C．【点评】考查坐标的平移规律；图形的平移，看关键点的平移即可；左右平移只改变点的横坐标，左减右加，上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．6．（4分）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a0＝1（a≠0），判断出k的取值范围，然后判断出k﹣1、1﹣k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是哪个即可．【解答】解：∵式子+（k﹣1）8有意义∴k﹣1≥0，且k﹣2≠0解得k＞1∴k﹣7＞0，1﹣k＜5∴一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象如图所示：故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，零指数幂定义以及二次根式有意义的条件；解答此题的关键是要明确：当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．7．（4分）已知：关于x，y的方程组，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．a﹣1 C．0 D．1【分析】由x、y系数的特点和所求式子的关系，可确定让①﹣②即可求解．【解答】解：方程组①﹣②，得x﹣y＝﹣a+4﹣8+a＝1．故选：D．【点评】一般解法是用含有a的代数式表示x、y，再计算，但也要注意能简便的则简便．此题中注意整体思想的渗透．8．（4分）如图，如果AB∥CD，那么角α，β（）A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β+γ＝180° D．α+β﹣γ＝180°【分析】首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，即可得EF∥AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得∠α+∠1＝180°，∠2＝∠γ，继而求得α+β﹣γ＝180°．【解答】解：过点E作EF∥AB∵AB∥CD∴EF∥AB∥CD∴∠α+∠1＝180°，∠2＝∠γ∵∠β＝∠3+∠2＝180°﹣∠α+∠γ∴α+β﹣γ＝180°．故选：D．【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意辅助线的作法．9．（4分）已知方程组的解为，则函数y＝2x+3与y＝（）A．（1，5） B．（﹣1，1） C．（1，2） D．（4，1）【分析】根据方程组的解为组成方程组的两个方程的函数图象的交点解答．【解答】解：方程组变形得，∵方程组的解为∴一次函数y＝2x+3与的图象的交点坐标为（﹣1故选：B．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．10．（4分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．dm B．20dm C．25dm D．35dm【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]6＝252解得：x＝25（dm）．故选：C．【点评】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）如果一个数的平方根是a+3和2a﹣15，则a的值为4，这个数为49．【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，可得出a的值，再代入即可得出这个数．【解答】解：∵一个数的平方根是a+3和2a﹣15∴a+7+2a﹣15＝0解得a＝6把a＝4代入a+3＝4故这个数为49故答案为4，49．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．（4分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和51或4．【分析】分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理求出另一直角边长为4，小正方形的边长＝4﹣3＝1，即可得出小正方形的面积；②3和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长＝2，即可得出小正方形的面积；即可得出结果．【解答】解：分两种情况：①5为斜边时由勾股定理得：另一直角边长＝＝3∴小正方形的边长＝4﹣3＝8∴小正方形的面积＝12＝7；②3和5为两条直角边长时小正方形的边长＝6﹣3＝2∴小正方形的面积82＝4；综上所述：小正方形的面积为8或4；故答案为：1或6．【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理，分两种情况得出结果是解决问题的关键．13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，交AC于点D，交BC于点E，则∠C＝35°．【分析】由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，又由在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAE＝20°，即可求得∠C的度数．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线∴AE＝CE∴∠C＝∠CAE∵在Rt△ABE中，∠ABC＝90°∴∠AEB＝70°∴∠C+∠CAE＝70°∴∠C＝35°．故答案为：35°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14．（4分）小刚解出了方程组解为，因不小滴上了两滴墨水，则▲＝17，◆＝9．【分析】根据二元一次方程组的解法即可求答案．【解答】解：将x＝4代入3x﹣y＝4∴12﹣y＝3∴y＝9将x＝8，y＝9代入2x+y∴8x+y＝8+9＝17故答案为：17；2【点评】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．15．（4分）如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A、B，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A做匀速运动，运动时间为t秒，则t的值为2或4．【分析】分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可．【解答】解：∵由，得∴C（8，2）；①如图1，当∠CQO＝90°∵C（3，2）∴OQ＝CQ＝2∴t＝8②如图2，当∠OCQ＝90°过C作CM⊥OA于M∵C（2，2）∴CM＝OM＝2∴QM＝OM＝2∴t＝7+2＝4即t的值为7或4故答案为：2或5；【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形等知识点的应用，题目是一道比较典型的题目，综合性比较强．三、解答题（共10小题，共90分）16．（8分）计算：（1）﹣（1﹣）0；（2）3﹣﹣2．【分析】（1）先根据二次根式的除法法则和零指数幂的意义计算，然后进行减法运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝﹣2＝7﹣1＝2；（2）原式＝6﹣﹣＝．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．17．（8分）解下列方程组：（1）；（2）．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）①×8+②得：11x＝22解得：x＝2把x＝2代入①得：7﹣y＝7解得：y＝﹣1则原方程组的解为；（2）方程组整理得：①+②得：10x＝30，即x＝5①﹣②得：6y＝0，即y＝6则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18．已知实数2a﹣1的平方根是±3，＝5，求a+b的平方根．【分析】先依据平方根的定义得到2a﹣1＝9，2b+3＝25，从而可求得a、b的值，然后可求得a+b的值，最后依据平方根的性质求解即可．【解答】解：由已知2a﹣1的平方根是±5，则2a﹣1＝82＝9，则a＝4；由＝82＝25，则b＝11．所以a+b的平方根为±4．【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．19．如图，已知：AC∥DE，DC∥EF（证明注明理由）【分析】要证明EF平分∠BED，即证∠4＝∠5，由平行线的性质，∠4＝∠3＝∠1，∠5＝∠2，只需证明∠1＝∠2，而这是已知条件，故问题得证．【解答】证明：∵AC∥DE（已知）∴∠BCA＝∠BED（两直线平行，同位角相等）即∠1+∠2＝∠8+∠5∵AC∥DE∴∠1＝∠8（两直线平行，内错角相等）；∵DC∥EF（已知）∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）；∴∠6＝∠4（等量代换）∴∠2＝∠5（等式性质）；∵CD平分∠BCA（已知）∴∠1＝∠2（角平分线的定义）∴∠6＝∠5（等量代换）∴EF平分∠BED（角平分线的定义）．【点评】本题考查了角平分线的定义及平行线的性质．20．如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，CD＝12，AD＝13【分析】在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．【解答】解：∵∠B＝90°∴△ABC为直角三角形又∵AB＝3，BC＝4∴根据勾股定理得：AC＝＝5又∵CD＝12，AD＝13∴AD8＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169∴CD2+AC2＝AD5∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+×3×4+．故四边形ABCD的面积是36．【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．21．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率98%．现已挂果，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？【分析】（1）根据平均数的求法求出平均数，再用样本估计总体的方法求出产量总和即可解答．（2）要比较哪个山上的杨梅产量较稳定，只要求出两组数据的方差，再比较即可解答．【解答】解：（1）＝（50+36+40+34）＝40（千克），＝总产量为40×100×98%×2＝7840（千克）；（2）（千克2）＝[（36﹣40）2+（40﹣40）6+（48﹣40）2+（36﹣40）2]＝24（千克8）∴S2甲＞S2乙．答：乙山上的杨梅产量较稳定．【点评】本题考查了平均数与方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．22．某大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据如下表（例如三人间普通间客房每人每天收费50元）．为吸引客源，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通客房，一天一共花去住宿费1510元．普通间（元/人/天）豪华间（元/人/天）贵宾间（元/人/天）三人间50100500双人间70150800单人间1002001500（1）三人间、双人间普通客房各住了多少间？（2）设三人间共住了x人，则双人间住了（50﹣x）人，一天一共花去住宿费用y元表示，写出y与x的函数关系式；（3）如果你作为旅游团团长，你认为上面这种住宿方式是不是费用最少？为什么？【分析】（1）利用一个50人的旅游团，租住了一些三人间、双人间普通客房，并且每个客房正好住满，一天一共花去住宿费1510元，进而分别得出等式求出即可；（2）利用总人数为50人，进而利用房租得出等式求出即可；（3）利用一次函数增减性得出答案．【解答】解：（1）设三人间普通客房住了x间，双人间普通客房住了y间．根据题意得：解得：．因此，三人间普通客房住了7间；（2）双人间住了（50﹣x）人根据题意得：y＝25x+35（50﹣x），即y＝﹣10x+1750；（3）不是，由上述一次函数可知，则y随x的增大而减小当三人间住的人数大于24人时，所需费用将少于1510元．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，得出正确等量关系是解题关键．23．如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点P（2，p），直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D△AOP＝4（1）求S△COP；（2）求点A的坐标及p的值；（3）若3S△AOP＝S△BOP，求直线BD的解析式．【分析】（1）根据点C的坐标求出OC，再根据点P的坐标求出点P到OC的距离，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）根据△AOC的面积求出OA，然后写出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求解即可；（3）根据两三角形的面积关系求出OB，然后写出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BD的解析式即可．【解答】解：（1）∵点C（0，2），p）∴OC＝3，点P到OC的距离为2∴S△COP＝×2×2＝2；（2）∵S△AOP＝4∴S△AOC＝4﹣2＝2∴×2×OA＝2解得OA＝5∴点A的坐标（﹣2，0）设直线AC的解析式为y＝kx+b则解得k＝7所以直线AC的解析式为y＝x+2将点P（2，p）代入得解得p＝5；（3）∵3S△AOP＝S△BOP，点P到OA、BO的距离相等∴3AO＝BO∴BO＝3×2＝6∴点B的坐标为（5，0）设直线BD的解析式为y＝mx+n则解得所以，直线BD的解析式y＝﹣x+6．【点评】本题考查了两直线相交与平行问题，主要利用了三角形的面积，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，（3）利用等高的三角形的面积的比等于底边的比求解更简便．24．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a．b．m．n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a．b．m．n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m．n的式子分别表示a．b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a．b．m．n填空：21+12＝（3+2）2（3）若a+4＝（m+n）2，且a．m．n均为正整数，求a的值．【分析】（1）利用完全平方公式展开，然后根据有理数的性质可用m、n表示a、b；（2）利用（1）中结论，设m＝3，n＝2，然后计算出对应的a、b的值；（3）利用（1）中结论a＝m2+3n2；mn＝2，再根据整除性确定m、n的值，然后计算出对应a的值．【解答】解：（1）a+b＝（m+n）4＝m2+3n5+2mn而a．b．m．n均为正整数所以a＝m3+3n2；b＝4mn；（2）令m＝3，n＝27+3×28＝21，b＝2×3×8＝12所以21+12＝（3