十三 二次函数-2021年中考数学三轮冲刺复习专项训练

2021年中考数学三轮冲刺复习专题十三二次函数

一、单选题（共10题；共20分）

1.抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,S.OB=OC=3OA求抛物线的

解析式（）

A.y=x2-2x-3B.y=x2-2x+3C.y=x2-2x-4D.y=x2-2x-5

2.二次函数y=3x2-4的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）

A.抛物线开口向下B.抛物线经过点（3,4）

C.抛物线的对称轴是直线x=lD.抛物线与x轴有两个交点

3.二次函数y=ax?+bx+c（axO）的图象如图所示，其对称轴为直线x=l,有如下结论：

①c<l；

②2a+b=0；

（3）b2<4ac；

④若方程ax2+bx+c=0的两根为xi,X2，则XI+X2=2.

则正确的结论是（）

A.①②B.①③C,②④D.③④

4.如图，抛物线y=ax?+bx+3(awO)的对称轴为直线x=l,如果关于x的方程ax?+bx-8=0(a*0)的一个根

5.已知：二次函数y=ax2+bx+c(axO)的图象如图所示，下列结论中：

①abc>0；②2a+b>0；③a+b<m(am+b)(mxl)；(4)(a+c)2<b2；⑤a>1.其中正确的项是()

A.①②⑤B.①③④C.①②④D.②④⑤

6.已知k,均为非负实数，且2k+n=2,则代数式2k2—4n的最小值为()

A.-8B.-16C.-40D.0

7.已知抛物线片ax2+bx+c("0)的对称轴是直线x=L其部分图象如图所示，下列说法中：®abc<0；

②4a-2b+c<0；③若A(一;，9)、B(|,y2)>C(-2,丫3)是抛物线上的三点，则有丫3<女<丫2；

④若m,n(m<n)为方程a(x-3)(x+1)-2=0的两个根，贝!Im>-1且n<3,以上说

法正确的有()

A.①②③④B.②③④C.①②④D.①②③

8.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力,

足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：

t01234567...

h08141820201814

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=g：③足球被踢出

9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m,其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

9.若二次函数y=ax2+bx+c（ax0）的图象于x轴的交点坐标分别为（xi,0）,（x2,0）,且X1VX2,

图象上有一点M（xo,yo）在x轴下方，对于以下说法：©b2-4ac>0：

2

②x=xo是方程ax+bx+c=y0的解；

（3）XI<XO<X2

（4）a（Xo-Xi）（Xo-X2）VO；

⑤XoVXi或Xo>X2，

其中正确的有（）

A.①②B,①②④C.①②⑤D,①②④⑤

10.已知，「2（%2，丫2）是抛物线y=ax2-2ax上的点，下列命题正确的是（）

A.若|右一1|>|x2-1|，则为>y2B.若|%i-1|>|%2-1|，则为<y2

C.若-1|=|%2一1|，则%=%D.若yi=%，则=%2

二、填空题（共8题；共8分）

11.已知二次函数y=Q-2/+3,当x时，y随工的增大而减小.

12.抛物线y=-x2+bx+c的最高点为（-1,-3）,则b+c=.

13.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为〃果圆〃,已知点A、B、C、D分别是〃果圆〃

与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x-1）2-4,AB为半圆的直径，则这个〃果圆〃被y轴截得的弦

14.廊桥是我国古老的文化遗产,如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=

2

-^x+10,为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯，则

40人

这两盏灯的水平距离EF是米.（精确到1米）

15.二次函数y=-X2+2X图象的顶点坐标是.

16.a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2,c）在二次函数y=x?-2ax+3的图象上，则b、c的大小关系

是bc（用或号填空）

17.二次函数图象如图，下列结论：①abcVO；②2a-b=0；③对于任意实数m,都满足am2+bmSa+b；

（4）a-b+c>0；⑤若ax/+bxi=ax22+bx2,且X1HX2,则Xi+X2=2.其中正确的有.（把正确的

序号都填上）

18.如图，抛物线y=ax2-4和y=-ax?+4都经过x轴上的A、B两点，两条抛物线的顶点分别为C、D.当四

边形ACBD的面积为40时，a的值为.

三、综合题（共8题；共106分）

19.我们规定，以二次函数y=ax2+bx+c的二次项系数a的2倍为一次项系数，一次项系数b为常数项构造的

一次函数y=2ax+b叫做二次函数y=ax2+bx+c的“子函数"，反过来，二次函数y=ax2+bx+c叫做一次函数

y=2ax+b的“母函数”.

（1）若一次函数片2x-4是二次函数片ax2+bx+c的“子函数"，且二次函数经过点（3,0）,求此二次函数

的解析式及顶点坐标.

（2）若"子函数"左x-6的"母函数”的最小值为1,求"母函数”的函数表达式.

（3）已知二次函数y=，2-4x+8的"子函数”图象直线/与x轴、y轴交于C、。两点，动点P为二次函数

y=-x2-4x+8对称轴右侧上的动点，求^PCD的面积的最大值.

20.如图，二次函数y=ax2+bx+c（aK0）的图象与x轴交于71（-1,0）,8（5,0）两点，与y轴交于点

C（O,S）.

（1）求抛物线的解析式：

（2）M为它的顶点，求AAMB的面积.

21.已知，抛物线y="2+bx+c经过点A（-1,0）和C（0,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点M的坐标.

22.画出抛物线y=-（x-1）2+5的图象（要求列表，描点），回答下列问题：

（1）写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标；

（2）当y随x的增大而增大时，写出x的取值范围；

（3）若抛物线与x轴的左交点（xi,0）满足nsx遥n+1,（n为整数），试写出n的值.

23.已知：二次函数y=ax2-2x+c的图象与x于A,B,A在点B的左侧），与丫轴交于点C,对称轴是直线

x=l,平移一个单位后经过坐标原点。

（1）求这个二次函数的解析式;

(2)直线y=-1x+l交y轴于D点，E为抛物线顶点.若NDBC=a,NCBE邛，求a-。的值;

(3)在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC,在y轴右侧的抛物线上是否存在点

M,使得△BDM的面积等于PA??若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

24.已知，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=-x2+bx+3交%轴于A、B两点（A在x轴

负半轴上），交y轴于点C,连接AC,tanXCAO=3.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为直线BC上方第一象限内一点，连接PC、PB,4+2/PBC=90°，延长PC交x轴

于点R,设点P的横坐标为m,点R的横坐标为n,求n与m之间的函数关系式；（不要求写出自变量m

的取值范围）

(3)把线段AB沿直线BC翻折，得到线段DB,E为第二象限内一点，连接AE.BE,ZEAB=

90°,F为线段OB上一点，FN1BE于点N,射线FN交线段BD于点G,连接AG交BE于H,

交BP于点K,连接DK,若ZEHA=ZDKP=45°,AE=1AF,设直线PB与抛物线第一象限

交点为M,求点M坐标.

25.如图1,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点，其中点A的坐标为(1,0),与y轴交于点C((0,-3).

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15。，求线段CD的长度；

(3)如图2,连接AC,点P在抛物线上，且满足NPAB=2NAC。，求点P的坐标.

26.如图示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6(a0)交x轴于A(-4,0),

B(2,0),在y轴上有一点E(0,-2),连接AE.

*用图

(1)求二次函数的表达式；

(2)点D是第二象限内的点抛物线上一动点

①求AADE面积最大值并写出此时点D的坐标;

②若tanXAED=|,求此时点D坐标；

（3）连接AC,点P是线段以上的动点.连接0P,把线段P0绕着点P顺时针旋转90。至

PQ,点Q是点。的对应点.当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于

（直接写出答案）

答案解析部分

一、单选题

1.A

2.D

3.C

4.B

5.A

6.A

7.A

8.B

9.B

10.C

二、填空题

11.<2(或烂2)

12.0

13.3+V3

14.8V5

15.(1,1)

16.<

17.①③⑤

18.0.16

三、综合题

19.(1)解：由题意得Q=1,b=—4,

••・抛物线的解析式为y=——4x+c,把点(3,0)代入可得c=3,

・•・抛物线的解析式为y=x2-4%4-3.

y=%2—4%+3=(%—2)2—1,

・•・抛物线的顶点坐标为(2,—1).

(2)解：〃子函数"y=x-6的"母函数"为y=|x2-6%+c.

y=j(x2—12x)4-c=j(%—6)2—18+c,

・'.-18+c=1f

c=19,

二“母函数"的函数表达式为y="2-6x+19.

(3)解：如图，连接0P,设P点的坐标为(m,-m2-4m+8).

由题意得直线I的表达式为y=-2%-4,

C(-2,0),D(0,-4),

'''SHPCD=S“pco+S&COD+SAPOD=—m2—4m+8+4+2m

=—m2—2m+12=—(m+I)2+13,

当m=-1时，SMCD最大，最大值为13.

20.(1)解：设抛物线的解析式为：y=a(x+l)(x-5),

把C(0,5)代入，得：-5。=5,解得：a=-1,

，抛物线的解析式为：y=-(x+l)(x-5),即y=-/+4x+5；

(2)解：；y=-%2+4x+5=-(x-2)2+9，，抛物线的顶点M的坐标为(2,9),

过点M作MN_Lx轴于点N,如图，则MN=9,

AAMB的面积=^AB-MW=|X6X9=27.

21.(1)解：•••抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,

将A(-1,0)和C(0,3)代入抛物线，得｛T—bJc=0解得：｛b=2

c=3c=3

•••y=-x2+2x+3

(2)解：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

・••点M的横坐标为1.

设点M的坐标为(1,m),

则MC=7(1.0)2+(m.3)2,

CA=VI0-C1)]2+(3.0)2=同，

MA=V[l.(.l)]2+(m.O)2.

分两种情况考虑：

①当NACM=90°时，贝ijMA2=CA2+MC2,即4+m2=10+l+(m.3)2,解得：m=g,

•••点M的坐标为(1,1).

②当NCAM=90°时，则MC2=MA?+CA2,即1+(m.3)2=4+m2+10,解得：m=.|,

二点M的坐标为(1,.

综上所述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为：(1,|)或(1,.|)

22.(1)解：列表：

X—-10123…

x

y>g(x-1)+5—•99

353-

22

由图象可知，

该抛物线开口向上，对称轴是直线x=l,顶点坐标为（1,5）；

(2)解：由图象可知，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是xVl；

(3)解：当y=0时，

0=-i(x-1)2+5,

2

解得，xx=-V10+1,x2=V10+1，

则该抛物线与x轴的左交点为(-VIU+1,o),

-3<-V10+1<-2,n<xi<n+l,(n为整数)，

n=-3.

23.(1)解：由题意，A(-1,0),

对称轴是直线x=l,

B(3,0)；(1分)

把A(-1,0),B(3,0)分别代入y=ax2-2x+c

得4反栗j(2分)

解得心

•1•这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3.

(2)解：・.・直线y=-：x+l与y轴交于D(0,1),

OD=1,

由y=x2-2x-3=(x-1)2-4得E(1,-4)；

连接CE,过E作EFLy轴于FC如图1),则EF=1,

0C=0B=3,CF=1=EF,

ZOBC=ZOCB=Z45°,

BC=yJOB2+OC2=3A/2，

CE=y/CF2+FE2=V2;

ZBCE=90°=ZBOD,空=W,

CEy/2

OB_3_1

BC-372-V2，

..一OD=一OB,

CEBC

/.△BOD-△BCE,

/.ZCBE=ZDBO,

a-|3=ZDBC-ZCBE=ZDBC-ZDBO=ZOBC=45°.

(3)解：设P(1,n),

•・•PA=PC,

・•.PA2=PC2,即(1+1)2+(n-0)2=(1+0)2+(n+3)2

解得n=-1,

PA2=(1+1)2+(-1-0)2=5,

2

「・SAEDW=PA=5；(8分)

法一：设存在符合条件的点M(m,m2-2m-3),则m>0,

①当M在直线BD上侧时，连接OM(如图1),

则SABDM=SAOBM+SAODM-SABOD=5,

即:08・际|+R。风1-3%0。=5,

|(m2—2m—3)+1m-1=5,

整理，得3m2-5m-22=0,

解得mi=-2(舍去)，m2=y,

把m=4代入y=m2-2m-3得y=§:

Jy

M借，争；(10分)

②当M在直线BD下侧时，不妨叫Mi,连接OMi(如图1),

则SABDMI=SABOD+SABOMI-SADOMI=5,

即^OB-OD+^OB-\yMi\~10D■\xMi\=5,

|+|[-(m2-2m-3)]-im=5,

整理，得3m2-5m-2=0,

解得\,（舍去）

mi=2,m2=

把m=2代入y=m2-2m-3得y=-3,

二.Mi（2,-3）；

综上所述，存在符合条件的点M,其坐标为（弓，§）或（2,-3）.

法二：设存在符合条件的点M（m,m2-2m-3）,则m>0,

①当M在直线BD上侧时，过M作MGIIy轴，

交DB于G；（如图2）

SABDM=SADMG-SABMG=5>

即=5,

一yd"（乙-%）=5，

1[m2-2m—3—（-[m+l）]・3=5,

整理，得3m2-5m-22二0；

解得（舍去）

mi=-2,m2=y；

把m=£代入y=m2-2m-3

ZB28

得y=3；

••M《，韵•

②当M在直线BD下侧时，不妨叫Mi,过Mi作M1G1IIy轴，交DB于Gi（如图2）

BDMDMIGIABMIGI

设D、B到MiGi距离分别为hi、hz,则SA=SA+S=5,

即泗GM#泗Gi4=5,

1

力G1一为1,（4+/2）=5,

1[―4-1—（m2—2m-3）]-3=5,

整理，得3m2-5m-2=0,

解得啊=2,皿？=-）（舍去）

把m=2代入y=m2-2m-3得y=-3,

/.Mi（2,-3）；

综上所述，存在符合条件的点M,其坐标为（蓝，§）或（2,-3）.

法三：①当M在直线BD上侧时，过M作MHIIBD,交y轴于H,连接BH；（如图3）

11

即OB=5,；DH・3=5,

10

•.DH=—,

・•.”(0,y);

直线MH解析式为y=+y;

1.13

联立d=-于+T

y=%2-2%—3

=ii

Y——9X-

得｛v：5或｛；

Jv=

）9

•••M在y轴右侧，

***M坐标为（号，争.

②当M在直线BD下侧时，不妨叫Mi,过Mi作MiHillBD,交y轴于Hi

连接BHi（如图3）,同理可得。“1=日，

/（o,-9,

「•直线MiHi解析式为y=-，

17

联立｛

y=x2—2x—3

i

得C=-3或｛23O：

yJv=-----

）9

・•・Mi在y轴右侧，

•••Mi坐标为（2,-3）

综上所述，存在符合条件的点M,其坐标为（号，§）或（2,-3）.

24.（1）解：由抛物线y=-/+bx+3可知，

点C（0,3）,

OC=3,

tan44。=3,

OA=1,

/.A(-1,0),

将点A(-1,0)代入y=--+bx+3,

可求得：b=2,

抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3

（2）解：如图，过点P作PH_Lx轴于H,过点B作BDLPR,

由(1)知抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3,

...可求得点B坐标为，(3,0),

OC=OB,

ZCBO=45°,

/P+2/PBC=9。°,

...ZPBC=ZDBC,

•••ZPBR=NPBC+ZCBO=45°+NPBC,ZDRB=90°—NDBR,而NDBR=NCBO-ZDBO,

ZDRB=900-ZCBO+ZDBO=450+zDBO,

二ZPRB=ZPBR,

，△PRB为等腰三角形，RH=HB,

■:点、P的横坐标为m,点R的横坐标为n

m—n=3—m,

即n=2m—3；

(3)解：如图,

设F(t,0)(0<t<3)，则4F=t+l,

TIE=|2(t+1),

•・,AE=^2AF,

AE(-1,管)，

ZABC=45",BD为线段AB沿直线BC翻折所得,

・•・点D(3,4),

•/FN±BE,

••kpG'^BE=-1，

，直线FG的解析式为：y=^-(x-t),

令1=3,则G(3,30-lOt

t-1

3+!2(t+l)

ZEHA=45°,

由直线的夹角公式得：tan/E/M=|制冷1=1,

l+KAGkBE

'''\^AG~^BE\=|1+^AG'^BE\>

-1d2+tl|=一处

',12(t+l)10112(t+l)101'

化简得：3t2+56t-147=0,

即(3t-7)(t+21)=0,

,•10<t<3,

G(3,2),

二直线AG的解析式为：y=ix+1,

直线BE的解析式为：y=~1x+1,

设点K(u,,(0<u<3),

.,_|u+1-4_u-7

•・%=:丁=而囱，N=百=罚’

由直线夹角公式得：tan45°=tan/DK=|然乎|=1,

i+kBKkDK

即,|1+kBK-kDK\=\kBK—kDK\,

j,U+114—7।।lz+1U—7.

=

11+2(-u----3--)--2--(-u----3--)--112-(-U---3--)-----2--(-u--3--)-1

化简得：51?-14u-19=0或5u2-46u+77=0,

解得：U1=T(112=-1，U3=g，114=7,

0<u<3,

ii

u-T

K(y,1

直线BK的解析式为：y=—2x+6,

•・,点M为直线BK与抛物线的交点,

y—-2x+6

联立{y=-x2+2x+3

解得：x=l或x=3（即为点B,舍去），

所以点M(1,4).

25.(1)解：•.,抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(1,0),与y轴交于点C(0,-3),

.f0=l+b+c

―Ic=-3，

解得:{b=2,

c=-3

・•・抛物线解析式为：y=x2+2x-3；

(2)解：二,抛物线y=x?+2x-3与x轴于A,B两点,

点B(-3,0),

•・•点B(-3,0),点C(0,-3),

OB=OC=3,

ZOBC=NOCB=45°,

如图1,当点D在点C上方时,

ZOBD=30°,

tanzDBO=—=—,

BO3

OD—x3=,^3,

CD=3-V3;

若点D在点C下方时，

,/ZDBC=15。，

/.ZOBD=60°,

tanzDBO=案=百，

'''OD—3^3，

・•.DC=3V3-3,

综上所述：线段CD的长度为3-遍或3遍-3；

(3)解：如图2,在BO上截取OE=OA,连接CE,过点E作EF_LAC,

OA=1,0C=3,

••・AC=Vo/l2+OC2=\T+9=Vio,

,・・OE=OA,NCOE=NCOA=90°,OC=OC,

△OCE合△OCA(SAS),

ZACO=ZECO,CE=AC=-/lO，

：.ZECA=2NACO,

,/ZPAB=2NACO,

ZPAB=NECA,

,：SAAEC=3AEXOC=iACxEF,

，EF=^=字，

---CF=Vcf2-EF2=Jio-y=罕，

/.tanzECA=—=-,

CF4

如图2,当点P在AB的下方时，设AO与y轴交于点N,

•「ZPAB=NECA,

tanZECA=tanZPAB=丝=?，

AO4

3

・•.ON=-,

4

o

..•点N(0,-),

4

又,点A(1,0),

二直线AP解析式为：y=x-I,

44

_3_3

联立方程组得：｛一z,

y=%2+2%-3

__9

解得：0二;或｛“一飞，

•••点p坐标为：(---瑞)

4