河南省郑州市第十八中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（五）

郑州市第十八中学2023-2024学年度高二上期期末模拟试题五一､单选题1.直线倾斜角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线倾斜角的定义进行判断即可.【详解】当直线与横轴平行时，直线的倾斜角是，因此直线倾斜角的取值范围为，故选：C2.根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点数（）A.32 B.35 C.36 D.42【答案】B【解析】【分析】根据所给数据，找出规律即可得解.【详解】由题意，，所以，根据规律，，所以，故选：B3.设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递减数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】设等比数列的公比为，若，当时，由得，解得或，若，则，此时与已知矛盾；若，则，此时为递减数列.当时，由得，解得或，若，则，此时与已知矛盾；若，则，此时此时为递减数列.反之，若为递减数列，则，所以“对于任意的，”是“为递减数列”的充分必要条件.故选：C4.如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点满足，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算一步步将向量化为关于，，，即可整理得出答案.【详解】，，，，.故选：B.5.已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解.【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足，这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为，所以该切线方程为，化为一般式得.故选：B.6.已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解.【详解】由直线，变形可得，由，解得，可得直线恒过定点，则，结合图象可得：若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为，由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为.故选：D.7.若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（）A.4 B.10 C.2或10 D.4或12【答案】D【解析】【分析】通过对点的位置进行分类讨论,再结合双曲线的定义进行运算即可.【详解】由双曲线的方程可得,所以,可得.设右焦点为,左焦点为,当点左支上时,则,所以；当点在右支上时,．故选:D.8.已知数列满足，，记的前n项和为，则满足不等式的最小整数n的值为（）A.61 B.62 C.63 D.64【答案】C【解析】【分析】对已知式子变形可得则数列是首项为4，公比为的等比数列，从而可求出，然后利用分组求和法求出，从而可求出满足不等式的最小整数n的值【详解】∵，∴，∴，又，则数列是首项为4，公比为的等比数列，∴，∴，∴，∵，，∴满足不等式的最小整数n的值为63.故选：C.二､多选题9.设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（）A.B.当时，取得最大值C.D.使得成立的最大自然数是15【答案】ABC【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB；利用通项公式将转化为可判断C；利用下标和性质表示出可判断D.【详解】解：因为等差数列中，，，所以，，，A正确；当时，取得最大值，B正确；，C正确；，，故成立的最大自然数，D错误．故选：ABC．10.已知直线与椭圆交于，两点，若是直线上一点，为坐标原点，则下列结论正确的有（）A.椭圆的离心率B.C.D.若是椭圆的左右焦点，则【答案】ABD【解析】【分析】根据椭圆方程即可求离心率，从而判断A；根据直线与椭圆相交弦长求解公式，利用“联消判韦”即可求得长，从而判断B；根据向量的数量积结合交点坐标关系即可判断C；利用对称性，结合三角形三边关系即可得最大值，从而判断D.【详解】解：由椭圆知，，则，所以，故离心率，故A正确；设，则，所以，则，故，故B正确；则，所以与不垂直，故C不正确；因为是椭圆的左右焦点，所以，若是直线上一点，如图：设关于直线对称的点为，设，则，解得，即；则，又由三角形三边关系可得，又，即，故D正确.故选：ABD.11.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（）A. B.为的最小值C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A;根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D.【详解】,,对于也成立，所以，故A正确；当时，,当n=17时,当时，,只有最大值，没有最小值，故B错误；因为当时，,∴，故C正确；，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系,若数列的前项为正值，往后都是小于等于零，则当时有，若数列的前项为负值，往后都是大于或等于零，则当时有.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前项和只有最小值，没有最大值.12.如图，在平行六面体中，，，点，分别是棱，的中点，则下列说法中正确的是（）A.B.向量，，共面C.平面D.若，则该平行六面体高为【答案】ACD【解析】【分析】A选项，利用向量的方法证明；B选项，根据向量共面的基本定理判断；C选项，利用向量的方法得到，，然后根据线面垂直的判定定理证明；D选项，将平行六面体的高转化为正四面体的高，然后利用勾股定理计算.【详解】设，由题意得，，，所以，故A正确；，若向量，，共面，则存在唯一实数对，使得，即，而，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面，故B错；，，，，所以，，因为，平面，所以平面，故C正确；连接，，，过点作平面于点，由题意得，则三棱锥为正四面体，所以点到平面的距离即为正四面体的高，即平行六面体的高，，，所以平行六面体的高为，故D正确.故选：ACD.三､填空题13.若数列满足，则的通项公式是______．【答案】【解析】【分析】利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解.【详解】因为，所以，，…，，，所以，，又也满足上式，所以.故答案为：.14.已知直线和直线，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是____________．【答案】##【解析】【分析】先设出点的坐标，表示出点到直线和直线的距离之和；再利用几何意义求解得出答案.【详解】设点的坐标为则动点到直线的距离为；动点直线的距离为.所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和为令，即则的几何意义是过点的直线在轴上的截距.因为点在曲线上.所以当直线与曲线相切时有最值.因为曲线是以圆心，为半径圆.则，解得或所以曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为.故答案为：15.已知直线：与：平行，则的值是_______【答案】0【解析】【分析】由两直线平行计算，再检验两直线是否重合即可.【详解】若直线：与：平行，则，解得或，当时，两直线平行；当时，两直线重合.综上所述，k的值为0.故答案为：0.16.数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于______.【答案】##1.75【解析】【分析】由条件求数列的通项公式，再研究数列的单调性，由此确定其最大项.【详解】数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列为：，该数列为首项为1，公差为的等差数列，所以，所以因为所以当时，，即，又，所以数列的最大项为第二项，其值为.故答案为：.四､解答题17.已知数列的前n项和为，其中．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】17.，；18.【解析】【分析】（1）利用之间的关系进行求解即可；（2）利用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】因为当时，有，所以当时，有，两式相减，得，当时，由，适合，所以，；【小问2详解】因，；所以，因此.18.如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，（1）试确定m的值，使直线AP与平面所成角为；（2）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，有？证明你的结论．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的公式求出m的值；（2）假设在线段上存在这样的点Q，设点Q的横坐标为x，则，由，即，求出，即可得出答案．【小问1详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，，，，，，，由，,知，为平面的一个法向量．设AP与平面所成的角为，则，解得故当时，直线AP与平面所成角为．【小问2详解】假设在线段上存在这样的点Q，设点Q的横坐标为x，则，，依题意，得，即，，解得，当Q为的中点时，满足题设的要求．19.已知等比数列的前n项和，为常数.（1）求的值与的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用错位相减法求数列的前项和为即可．【小问1详解】解：当时，，当时，，是等比数列，，即，所以，数列的通项公式为；【小问2详解】解：由（1）得，，则．．20.如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点．（1）点到直线的距离；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，再得线线垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法求点到直线的距离；（2）利用法向量求解点面距.【小问1详解】由三棱柱中，所有棱长都为2，则四边形为平行四边形，且棱长都相等，即为菱形，又都为等边三角形，连接，所以为等边三角形，取中点，连接，则，又平面面，平面平面，面，所以平面，则，又因为，所以两两垂直.则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图示，，由则，所以，则，所以点到直线距离为.【小问2详解】由（1）知，设是平面的一个法向量，则，取，则，又，所以点到平面的距离.21.已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线C过点.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题意得，解方程组求出，从而可求得双曲线C的方程，（2）将直线方程代入双曲线方程中化简，然后二次项系数为零和二次项系数不为零，两种情况求解即可【小问1详解】由题意得，解得所以双曲线方程为.【小问2详解】由，得，由题意得，解得.当，即时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C只有一个公共点，所以或.22.已知椭圆：的上顶点为，左焦点为，且，在直线上.（1）求的标准方程；（2）设直线与交于，两点，且四边形为平行四边形，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的标准方程，利用条件求出，即可得出结果；（2