四年级下册数学试题-奥数讲练：第一讲 速算与巧算 竞赛篇（解析版）全国通用

第一讲速算与巧算

小朋友们，这节课我们又一同走进了“计算的海洋”，还记得四年级春季第十一讲的速

算与巧算中学习到的内容吗？在那节课中我们学到了以下几种方法：凑整求和、找基准数、

分组求解、自然数的分拆和几个常用技巧！学习完以后，相信聪明的你会发现自己能快速

正确的做出更多的题目了！可有时候，还有许多我们却摸不着头脑！那是因为在速算的方

法技巧中还蕴藏了许多我们没有学习到的东西！那么这节课让我们一起来走进去探讨一下

吧！

你还记得吗

【复习1】计算4.75-9.64-(1.36-8.25)

分析：原式=4.75+8.25-9.64-1.36=(4.75+8.25)-(9.64+1.36)=13-11=2.

【复习2】(华罗庚学校五年级入学考试试题)8X(3.1-2.85)X12.5X(1.62+2.38)-3.27

分析：初看这道题好像不能用简便方法进行计算.但是里面有特殊数8、12.5,所以可以先算

一步，再用简便方法进行计算.原式=8X0.25X12.5X4—3.27=(8X12.5)X(0.25X

4)-3.27=100-3.27=96.73

【复习3】(全国小学奥林匹克)计算：19971997+9971997+971997+71997+1997+997+97+7

分析：原式=10000000+9000000X2+900000X3+70000X4+1000X5+900X6+90X7+7

X8

=30991086

1234390391

【复习4】计算:-777+777-777+"--777+777

777

分析：采用分组求和的思路.原式=世=生.(最后结果要以最简形式出现)

777111

巧用运算律

在速算的过程中，如果加入运算律的应用，会有意想不到的效果！我们一起先来看看常

用的

一些运算律和结论吧！

在计算过程中，最常用的技巧之一是灵活熟练地运用运算律.运算律有:

(1)加法交换律：a+b=b+a

(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交换律：ab=ba

(4)乘法结合律：(ab)c=a(bc)

(5)分配律：a(b+c)=ab+ac(反过来就是提取公因数)

(6)减法(括号)的性质：a-b-c=a-(b+c)

(7)除法的性质：a-i-(bXc)=a4-b-i-c

(a+b)+c=a+c+b+c

(a-b)4-c=a+c-b4-c

和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变.

积不变的规律：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变.

商不变的规律：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变.

【例1】(我爱数学夏令营)计算：6.25X8.27X16+3.75X0.827X8

分析:原式=6.25X16X8.27+3.75X0.8X8.27

=8.27X(6.25X16+3.75X0.8)

=8.27X(100+3)

=8.27X100+8.27X3

=851.81.

根据“一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的道理，进行适

当变换，提取公因式，进而凑整求和.

【巩固】计算6.25X0.16+264X0.0625+5.2X6.25+0.625X20

分析：原式=6.25X0.16+2.64X6.25+5.2X6.25+6.25X2=6.25X(0.16+2.64+5.2+

2)=62.5

【巩固】(香港圣公会小学奥林匹克)计算：8.88X0.15+265X0.0888+5.2X8.88+0.888X

20

分析:原式=8.88X0.15+8.88X2.65+8.88X5.2+8.88X2=8.88X(0.15+2.65+5.2+2)=8.88

X10=88.8

【例2】(全国小学奥林匹克)1.23452+0.76552+2.469X0.7655

分析：原式=1.23452+0.7655X(1.235+2)

=1.2345X(1.2345+0.7655)+0.7655X2

=2X2

=4

【巩固］(希望杯数学邀请赛初赛)计算7.816X1.45+3.14X2.184+1.69X7.816

分析：不难看出式子是7.816出现过两次，联想提取公因数.原式=7.816X(1.45+1.69)

+3.14X2.184=7.816X3.14+3.14X2.184=3.14X10=31.4

【例3】(我爱数学夏令营)计算：147.75X8.4+4.792+409X2.1+0.9521X479

分析：原式=(147.75X4+409)X2.1+(0.0479+0.9521)X479

=1000X2.1+479

=2579

【巩固】计算11.8X43—860X0.09

分析：观察题中的每一个数，我们发现：860=43X20,可把20与0.09结合.

原式=11.8X43—43X20X0.09=11.8X43—43X1.8=43X(11.8—1.8)=43X10=430

【例4】41.2X8.1+11X8.75+537X0.19

分析：(法1)原式=41.2X8.1+11X8.75+53.7X1.9

=41.2X8.1+11X8.75+(41.2+12.5)XI.9

=41.2X(8.1+1.9)+11X8.75+12.5X1.9

=412+11X8.75+12.5X1.9

=412+1.1X87.5+12.5X1.9

M12+1.1X12.5X7+12.5X1.9

=412+12.5X8X1.2

=532

(法2)：原式=41.2X8.1+11X8.75+(41.2+12.5)XI.9

=41.2义(8.1+1.9)+11X8.75+19X1.25

=412+11X8.75+(11+8)X1.25

=412+11X(1.25+8.75)+8X1.25=412+110+10=532

【巩固】计算31.4X36+64X43.9

分析：首先拿31.4X36+64X31.4讲解，要求学生要观察主要要把36和64凑在一起，这

样前面有31.4,后面没有，所以思路分析很明显。原式=31.4X36+64义(31.4+12.5)

=3140+800=3940

【例5】计算：2003X20014-111+2003X734-37

分析：原式=2003X(2001+73X3)4-111

=2003X22204-111

=40060

【前铺】(希望杯数学邀请赛决赛)计算8.1X1.3-84-1.3+1.9X1.3+11.94-1.3

分析：原式=8.1X1.3+1.931.3+11.9+1.3—811.3=(8.1+1.9)X1.3+(11.9-8)4-1.3=10

X1.3+3.94-1.3=16,

【前铺】计算：11.1X44-9X34-7.4X2.

分析：原式=3X3.7X4+9X3+3.7+2X2=(3X34-9)X(3.74-3.7)X4+2X2=4.

【例6】下面有两个小数：

a=0.00...0125b=O.OO...O8

1996个02000个。

试求a+b,a-b,aXb,a+b,

分析：只需记住小数的四则计算法则就能正确算出.

a+b,a的小数点后面有1998位，b的小数点后面有2000位.小数加法要求数位对齐，然

后按整数的加法法则计算，所以

a+b=0.00...012508=0.00...012508

2000位1996个0

。—人=0.00…12492=0.00...012492

2000位1996个0

6zx/?=0.00...01

3995位

a-b,方法与a+b一样，数位对齐，还要注意退位和补零.因为

Q=0.00…0125,b=0.00…08

1998位2000位

由12500—8=12492,所以

«-Z?=0.00...12492=0.00...012492

2000位1996个0

aXb,aXb的小数点后面应该有1998+2000位，但125X8=1000,所以：axZ>=0.00...01

3995位

a+b,将a、b同时扩大100...0倍，得到：a+b=12500+8=1562.5.

2000个0

【例7】(873X477-198)+(476X874+199)

分析：原式=(873X476+873-198)+(873X476+476+199)

=(873X476+675)4-(873X476+675)

=1

【例8】计算：(0.1+0.21+0.321+0.4321)X(0.21+0.321+0.4321+0.54321)一

(0.1+0.21+0.321+0.4321+0.54321)X(0.21+0.321+0.4321)

分析：设x=0.21+0.321+0.4321,y=0.21+0.321+0.4321+0.54321,

原式=(0.1+x)Xy—(0.1+y)Xx

=0.1X(y-x)

=0.054321

【例9】(华罗庚金杯)计算：2004.05X1997.05-2001.05X1999.05

分析：原式=(3+2001.05)X(1999.05-2)-2001.05X1999.05

=3X1999.05-2X2001.05-6

=3X1999.05-2X1999.05-2X2-6

=1989.05

周期性数字

周期性数字就是由相同的数字重复写几遍而来，这些数字可以利用规律来巧妙分解

如：123123123=123000000+123000+123=123X1000000+123X1000+123=123X1001001

由此我们可以巧妙的发现上面数字其实就是看有几个周期，这样原来的数就可以分解

成一个周期数乘以1001001这种类型的数，0的个数就是每个周期内的数字个数减一.

也可以这样理解，其实就是在每个周期数最后一位下填1,然后看1的中间隔几个数就

填几个0.

如：47564756=4756X10001

【例10】计算：70370370304-37037037

分析：原式=703X10010010+(37X1001001)

=190

【例11](我爱数学夏令营)计算：333X332332333-332X333333332

分析：原式=333X(332332332+1)-332X(333333333-1)

=333X(1001001X332+1)-332X(333X1001001-1)

=333+332

=665

【前铺】计算2005X20062006-2006X20052005

分析：原式=2005X2006X10001-2006X2005X10001=0

【巩固](希望杯数学邀请赛培训题)计算2006X20052006-2005X20062005

分析：发现后面周期性数字都多b这样先转化成周期性数字.

原式=2006X(20052005+1)-2005X(20062006-1)

=2006X20052005+2006-2005X20062006+2005

=4011

【例12](全国小学奥林匹克)计算：55555X666667+44445X666666-155

555

分析：原式=55555X666666+55555+44445X666666-155555

=(55555+44445)X666666-100000

=66666500000

【例13】计算：88.…8x33…3

2007个82007个3

分析：这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从这个思路走出来，

88….8x99…9=88…8711…12,原式可将上式除以3即可得到，

2007个82007个92006个82006个1

296296...2962957037...03704,学生平时做题时注意对典型例题的记忆.

668个2966684-037

【前铺】计算：99....9x99....9

2006个92006个9

分析：从简单情况入手找规律.

9X9=81；99X99=9801；999X999=998001,...

所以：99....9x99....9=99...9800...01.

2006个92006个92005个92005个0

【前铺】计算：33....3xl3...32

2006个32006个3

分析：3X132=396；33X1332=43956；333X13332=4439556,...

所以：33....3xl3...32=44...43955...56.

2006个32006个32005个2005个

【例14】求1+11+111+...+11...1的末四位数.

100个1

分析：原式的末四位有100个1,99个10,98个100,97个1000,

100+990+9800+97000=107890,原式的末四位为7890.

【例15】计算：3+33+333+3333+...+33....3=；

99个3

分析：有了铺垫，我们不难联想到：

原式=(9+99+999+...+99...9)+3

99个9

=11.・.1011+3=37037...037337

97个132个37

【前铺】计算:9+99+999+9999+...+99...9

100个9

分析：利用凑整求和的思想可得：

原式=10—1+100—1+1000—1+...+100...0-1

100个0

=11...10-100=11...1010

100个198个1

【例16】算式“44..…4-66..…6+88..…80。…0”计算结果的各位数字之和等于

40个420个620个810个。

分析：

44..…4-66.....6+88..…800....0

40个420个620个81。个。

=44…4-100...0+33...34+88...800...0

40个420个019个320个810个0

=44…4344…4+33…34+88…800…0

19个420个419个320个810个0

=44...4377...78+100...0-11...1200...0

19个419个730个019个I10个0

=44…4544…4377...78-1L.1200...0

9个49个419个719个110个0

=44...4533…3266...6577...78

9个49个39个69个7

【附1】计算：(224466-2244.66)+(112233-1122.33)

分析:原式=2X(112233-1122.33)+(112233-1122.33)=2.

【巩固】765X2134-27+765X3274-27

分析：原式=765+27X(213+327)=7654-27X540=765X5404-27=765X20=15300

【附2】(走进美妙数学花园)若A=1921,B=1949,C=1976,D=2004,

求：(A+B+C-D)+(A+B+D-C)+(A+C+D-B)+(B+C+D-A)的值.

分析：原式=(A+B+C+D)X2=(1921+1949+1976+2004)X2=15700.

【附3】用简便方法计算下面的算式：(D72X78=?(2)76X74=?

分析：两个数之和等于10,则称这两个数互补.在整数乘法运算中，常会遇到像72X78,

26X86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的

情况.72X78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相

同、尾互补”型；26X86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们

称为‘'头互补、尾相同”型.计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”

速算法和“补同”速算法.

由乘法分配律和结合律，得到：

72X78=(70+2)X(70+8)=(70+2)X70+(70+2)X8=70X70+2X70+70X8+2X8=70X(70+2+8

)+2X8

=70X(70+10)+2X8=7X(7+1)X100+2X8=5616：

76X74=(70+6)X(70+4)=(70+6)X70+(70+6)X4=70X70+6X70+70X4+6X4

=70X(70+6+4)+6X4=70X(70+10)+6X4=7X(7+1)X1004+6X4=5624

由这道题看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因

数的个位数之积(不够两位时前面补0,如1X9=09),积中从百位起前面的数是被乘数(或

乘数)的十位数与十位数加1的乘积.“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾X

尾”，前面是“头X(头+1)”.

【附4】(1)78X38=?(2)43X63=?

分析：本例两题都是“头互补、尾相同”类型.在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法

中，积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如3义3=09),积中从百

位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数(或乘数)的个位数.“补同”速算法简

单地说就是：积的末两位数是“尾X尾”，前面是“头X头+尾”.

【附5】(1)712X788=?(2)1708X1792=?

分析：前几道例题介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法.当被乘

数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？

我们先将互补的概念推广一下.当两个数的和是10,100,1000,…时，这两个数互为

补数，简称互补.如43与57互补，99与1互补，555与445互补.

在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算

式就是“同补”型，即“头相同、尾互补”型.例如7077X7023,因为被乘数与乘数的前

两位数相同，都是70,后两位数互补，77+23=100,所以是“同补”型.又如，本题的712X788

和1708X1792等都是“同补”型.

在计算多位数的“同补”型乘法时，原来的方法仍然适用.将“头X(头+1)”作为乘积

的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位.

(1)712X788的结果后四位应该是12X88=1056,第四位之前则是7X(7+1)=56.所以

712X788：561056；

(2)1708X1792的结果后四位应该是8X92=736,第四位之前则是17X(17+1)=306.所以

1708X1792=3060736.

此题是从两位数向三位数的扩展，同时也是“互补”概念的拓展.如果大家能够根据两

位数和三位数、四位数的规律，很顺利地写出五位、六位的“同补”数相乘的结果，那就

说明对于这个方法已经彻底理解了.

【附6】(1)1127X8927=?(2)817X9217=?

分析：当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补

同”型，即''头互补，尾相同”型.例如：1127X8927,817X9217等都是“补同”型.

在计算多位数的“补同”型乘法时，将“头X头+尾”作为乘积的前几位，而将“尾X

尾”做为乘积的后几位.

(1)按照上面的分析，1127X8927的前几位应该是11X89+27=979+27=1006；后几位则是

27X27=729.所以1127X8927=10060729；

(2)同理，817X9217的前几位是8X92+17=736+17=753；后几位是17X17=289.所以

817X9217=7530289.

互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”.

在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数

相同，那么附4的方法仍然适用；如果“补”与“同”的位数不相同，那么附4的方法不

再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了.

1.(陈省身杯数学邀请赛)计算：85.42X7903.29+286.5X790.329+79032.9X4.323

分析：原式=790329X(0.8542+0.2865+0.4323)=790329X1=790329

2.(南京市少年数学智力冬令营)计算：3.142+68.6X1.314

分析：原式=3.142+68.6X1.314=3.142+68.6X(1+0.314)=3.14X3.14+68.6+68.6X

0.314

=68.6+3.14X(3.14+6.86)=100.

3.计算：3.42x76.3+7.63X57.6+9.18X23.7

分析：原式=76.3X(3.42+5.76)+9.18X23.7=76.3X9.18+9.18X23.7=918

4.计算：9966X6+6678X18

分析：原式=3322X3X6+6678X18=(3322+6678)X18=180000

5.2828+28+34965+35

分析：原式=2828+4+7+349654-54-7=707+7+69934-7=77004-7=1100

6.计算：634-34X514-72X644-36

分析：原式=63X51X64+34+72+36=(9X7X3X17X2X4X8)+(17X2X8X9X4X9)

=7/3

7.(陈省身杯数学邀请赛)计算：2004X20032002-2002X20032004

分析：原式=(2002+2)X20032002-2002X(20032002+2)=2X(20032002-2002)=40060

000.

8.计算：90390304-43043

分析：原式=903X10010+(43X1001)=9034-43X100104-1001=210

9.求3+33+333.3的末三位数字.