期末复习专题36指对幂函数的图像与性质（知识点梳理高频考点）（原卷版）

指对幂函数的图像与性质考点一：指对幂的计算考点十：指对幂（型）函数的综合应用指对幂函数的图像与性质考点一：指对幂的计算考点十：指对幂（型）函数的综合应用指对幂函数的运算公式对数函数图像与性质指数函数的图像与性质幂函数图像与性质考点七：利用指对幂（型）函数的单调性比较大小考点八：对幂（型）函数的奇偶性求值、求参数和解析式考点九：指对幂（型）函数的单调性、奇偶性解不等式考点二：求指对幂（型）函数的定义域考点三：求指对幂（型）函数的值域考点四：指对幂（型）函数的图像考点五：求指对幂（型）函数的单调区间考点六：已知指对幂（型）函数的单调性求参数及范围一、知识点梳理一、知识点梳理知识点一：知识点一：幂函数图像与性质幂函数的定义：形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.

幂函数满足的三个特性：①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.（3）幂函数图像（4）幂函数的图像与性质函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点（5）①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数知识点知识点二：指数函数的图像与性质（1）指数函数的概念定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.（2）指数函数三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.（3）指数函数图像与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x＞0时，y＞1当x＞0时，0＜y＜1当x＜0时，0＜y＜1当x＜0时，y＞1单调性在R上是增函数在R上是减函数对称性y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象关于y轴对称(4)指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性.（3）求指数函数复合的函数单调性区间方法：①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数③分别将两个函数的单调区间求出来④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。（5）解指数型不等式(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.知识点知识点三：对数函数图像与性质（1）对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．对数函数的特征①对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1.②logax前边的系数必须是1。③自变量x在真数的位置上，且只有x。（3）对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：a>10<a<1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0<x<1时，y<0，当x>1时，y>0当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数（4）对数函数底数大小关系一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴；如图.反函数的概念及性质一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数；两个函数互为反函数具有以下性质：①一个函数的定义域和值域正好是另一个函数的值域和定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；③互为反函数的两个函数的单调性相同．但单调区间不一定相同（6）y＝logaf(x)型函数性质①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.②值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.（7）对数及对数型函数解不等式(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x).(2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab.①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.知识点四：指对幂函数的运算公式（1）二.根式的性质①负数没有偶次方根.②0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0.③.(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).④.eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).⑤.eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数).（2）分数指数幂①.规定正数的正分数指数幂的意义是：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（3）有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．（4）有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．（5）对数与指数的关系①若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x.②对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．（2）对数的性质①loga1＝0(a>0，且a≠1)．(2)logaa＝1(a>0，且a≠1)．③零和负数没有对数．（6）如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).④loganM＝logaM(n∈R)⑤logamMn＝eq\f(n,m)logaM(n∈R，m≠0).（7）对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)=(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).（8）特别地：（1）logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).(2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)．高频考点高频考点考点一：指对幂的计算1．计算：．2．计算：．3．（1）；（2）已知，求.4．求值：(1)(2)；5．计算下列各式的值(1)(2)(3)6．放射性物质的半衰期的定义为：每经过时间，该物质的质量会衰减成原来的一半．由此可知，，其中为初始时物质的质量，为经过的时间，为半衰期，为经过时间后物质的质量．若某铅制容器中有，两种放射性物质，半衰期分别为，，开始时这两种物质的质量相等，100天后测量发现物质的质量为物质的质量的四分之一，则（

）A． B． C．50 D．257．神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每过滤一次可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为（

）（参考数据：）A．19 B．20 C．21 D．228．在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（

）倍．A．10 B．100 C．1.2 D．12考点二：求指对幂（型）函数的定义域9．函数的定义域是（）A． B．C． D．10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．11．函数的定义域为（

）A．或 B．C． D．且12．若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B．C． D．13．已知函数的值域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．考点三：求指对幂（型）函数的值域15．下列各函数中，值域为的是（

）A． B． C． D．16．（多选题）下列函数中，值域为的有（）A． B．C． D．17．（多选题）下列命题中正确的是（

）A．函数的值域为 B．函数的值域为C．函数的值域为 D．函数的值域为18．函数的定义域是．19．函数的值域为．20．已知，则的值域是．21．已知函数，则的定义域为，值域为.22．若函数的值域为，则实数的取值范围是.23．函数的值域为.24．函数的最大值为.25．已知a为正实数，且函数是奇函数．则的值域为．考点四：指对幂（型）函数的图像26．如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（

）A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且27．函数，，且的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．28．函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则的值为（

）A． B． C． D．29．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（

）A．B．C． D．30．函数，的图象可能是（

）A．B．C． D．31．（多选题）若函数（且）的图象如图所示，则下列函数图象不正确的是（

）A．B．C． D．32．在这四个函数中，当时，使得不等式成立的函数的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．333．函数的图象大致为（

）A．B．C．D．34．函数的图象大致是（

）A．B．C．D．考点五：求指对幂（型）函数的单调区间35．函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．36．函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．37．（多选题）下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．38．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．39．（多选题）下列函数中满足“对任意，都有”的是（

）A． B． C． D．40．已知函数，则单调递增区间为．41．若一个幂函数的图象经过点，则它的单调递减区间是.考点六：已知指对幂（型）函数的单调性求参数及范围42．设函数（且）在区间单调递减，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．43．已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．44．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．45．已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．46．已知函数（为常数）.若在区间上单调递增，则的取值范围为.47．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．考点七：利用指对幂（型）函数的单调性比较大小48．已知，，，则（

）A． B． C． D．49．下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．50．已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．51．设，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．52．已知，则（

）A． B．C． D．53．（多选题）若，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．54．已知定义在上的函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．55．已知且、都不等于，则下列不等式不一定成立的是（）A． B．若，则C． D．考点八：对幂（型）函数的奇偶性求值、求参数和解析式56．已知函数且是奇函数，则（

）A． B． C．2 D．457．已知为奇函数，则（

）A．0 B．1 C．1 D．258．已知函数，则（

）A．为奇函数，且在是增函数 B．为偶函数，且在是增函数C．为奇函数，且在是减函数 D．为偶函数，且在是减函数59．已知函数是奇函数，则的最小值为（

）A．3 B．5 C． D．60．若函数是偶函数，则的最小值为（

）A．2 B．0 C．1 D．61．若函数为奇函数，且当时，，则的值是（

）A． B． C．100 D．62．若函数和都是上的奇函数，，若，则（

）A．1 B． C． D．563．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A． B． C．0 D．264．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则.65．已知偶函数满足：当时，，则时，.66．已知是偶函数，当时，，且，则.67．已知函数为奇函数，则．考点九：指对幂（型）函数的单调性、奇偶性解不等式68．已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．69．已知函数，则关于的不等式解集为（

）A． B．C． D．70．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．71．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．72．已知是定义在上的奇函数，且在区间上的任意两个不相等的实数，总有，若满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．73．已知函数，若满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．74．已知定义域为的函数是奇函数．(1)求实数，的值；(2)若对任意恒成立，求的取值范围．75．已知幂