高中常用函数性质及图像汇总

高中常用函数性质及图像汇总汇报人：XXX2024-01-22contents目录函数基本概念与性质一次函数与二次函数指数函数与对数函数三角函数与反三角函数幂函数与分式函数复合函数与抽象函数01函数基本概念与性质函数定义设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。函数的表示方法解析法、列表法、图象法。函数定义及表示方法在函数定义域内，若对于任意两个自变量x1、x2（x1<x2），都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数在该区间内单调递增（或单调递减）。若对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)），则称函数为奇函数（或偶函数）。函数单调性与奇偶性奇偶性单调性周期性：若存在一个正数T，使得对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T为函数的周期。函数周期性若存在一个正数M，使得对于函数定义域内的任意一个x，都有|f(x)|≤M，则称函数为有界函数。有界性若函数不满足有界性的条件，则称函数为无界函数。无界性函数有界性与无界性02一次函数与二次函数性质一次函数$f(x)=kx+b$（$kneq0$）具有线性性质，即函数值随自变量线性变化。图像一次函数的图像是一条直线，斜率为$k$，截距为$b$。当$k>0$时，直线从左至右上升；当$k<0$时，直线从左至右下降。一次函数性质及图像二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$aneq0$）具有抛物线性质，即函数值随自变量呈抛物线变化。性质二次函数的图像是一条抛物线，开口方向由系数$a$决定。当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。对称轴为$x=-frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。图像二次函数性质及图像二次函数最值问题最大值/最小值对于开口向上的抛物线（$a>0$），函数在顶点处取得最小值；对于开口向下的抛物线（$a<0$），函数在顶点处取得最大值。求解方法通过配方或利用顶点公式，可求得二次函数的最值。形如$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）的方程称为一元二次方程。一元二次方程一元二次方程的解即为对应二次函数与x轴交点的横坐标。通过求解一元二次方程，可以得到二次函数的零点（即与x轴交点）。二次函数与一元二次方程关系二次函数与一元二次方程关系03指数函数与对数函数010405060302指数函数定义：形如$y=a^x$（$a>0$，$aneq1$）的函数叫做指数函数。指数函数性质函数图像过定点$(0,1)$。当$a>1$时，在定义域内为增函数；当$0<a<1$时，在定义域内为减函数。指数函数的值域为$(0,+infty)$。指数函数图像：根据$a$的不同取值，图像会呈现不同的单调性，但都会经过定点$(0,1)$。指数函数性质及图像对数函数定义：形如$y=log_ax$（$a>0$，$aneq1$）的函数叫做对数函数。对数函数性质函数图像过定点$(1,0)$。当$a>1$时，在定义域内为增函数；当$0<a<1$时，在定义域内为减函数。对数函数的定义域为$(0,+infty)$，值域为$(-infty,+infty)$。对数函数图像：根据$a$的不同取值，图像会呈现不同的单调性，但都会经过定点$(1,0)$。对数函数性质及图像VS通过换元法、配方法、待定系数法等方法将指数方程转化为代数方程进行求解。对数方程解法通过对数运算性质（如换底公式、对数的和差公式等）将对数方程转化为代数方程进行求解。指数方程解法指数方程和对数方程解法指数函数应用举例在经济学中，复利公式就是一种指数函数的应用；在物理学中，放射性元素的衰变也遵循指数规律。对数函数应用举例在音乐中，音阶的频率与音高之间的关系可以用对数函数来描述；在化学中，酸碱滴定实验中的pH值计算也涉及对数运算。指数函数和对数函数应用举例04三角函数与反三角函数三角函数定义三角函数的周期性三角函数的奇偶性三角函数的增减性三角函数基本概念和性质01020304正弦、余弦、正切等函数在直角三角形中的定义及在各象限的符号规律。正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为π。正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，正切函数为奇函数。在各象限内，正弦、余弦函数的增减性及其与角度的关系。三角函数图像变换规律函数y=Asin(ωx+φ)中，A表示振幅，控制图像上下伸缩。ω控制周期，ω越大周期越小，反之周期越大。φ控制图像的左右平移，φ>0时图像左移，φ<0时图像右移。函数图像在垂直方向上的平移，由k控制，上移k个单位或下移|k|个单位。振幅变换周期变换相位变换垂直变换反三角函数定义域正弦、余弦函数的值域[-1,1]，正切函数的定义域为除去形如kπ+π/2(k∈Z)的点的全体实数。要点一要点二反三角函数值域反正弦、反余弦函数的值域为[-π/2,π/2]，反正切函数的值域为(-π/2,π/2)。反三角函数定义域和值域利用三角函数解决三角形中的角度和边长问题。三角函数在几何中的应用振动、波动等问题中，利用三角函数描述周期性变化。三角函数在物理中的应用利用反三角函数解三角方程，如sinx=a(a∈[-1,1])的解为x=arcsina+2kπ(k∈Z)。反三角函数在解方程中的应用将复合函数中的三角函数部分用反三角函数表示，便于求解和分析。反三角函数在复合函数中的应用三角函数和反三角函数应用举例05幂函数与分式函数幂函数定义和性质形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义幂函数的性质取决于指数a的值。当a>0时，幂函数在定义域内单调递增；当a<0时，幂函数在定义域内单调递减；当a=0时，幂函数为常数函数。性质形如y=(ax+b)/(cx+d)（其中a、b、c、d为常数，且c≠0）的函数称为分式函数。分式函数的性质取决于分子和分母的系数。当c>0时，分式函数在定义域内单调递增；当c<0时，分式函数在定义域内单调递减。同时，分式函数在其定义域内具有连续性和可导性。定义性质分式函数定义和性质幂函数图像特点幂函数的图像经过原点（0,0），且当x>0时，图像位于第一象限；当x<0时，图像位于第三象限。随着a值的增大或减小，图像的形状会发生变化。分式函数图像特点分式函数的图像通常具有两条渐近线，一条是水平渐近线y=a/c（当x→∞或x→-∞时），另一条是垂直渐近线x=-d/c（当y→∞或y→-∞时）。在两条渐近线之间，图像呈现特定的形状和变化趋势。幂函数和分式函数图像特点幂函数应用举例在物理学中，幂函数可以用来描述物体自由落体的速度v与时间t的关系，即v=gt^2（其中g为重力加速度）。此外，幂函数还可以用于描述放射性元素的衰变规律等。分式函数应用举例在经济学中，分式函数可以用来描述某种商品的需求量与价格之间的关系。例如，需求函数Q=a-bP/（其中a、b为常数，P为商品价格）就是一个典型的分式函数。此外，分式函数还可以用于描述电路中的电流、电压关系等。幂函数和分式函数应用举例06复合函数与抽象函数设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$，值域为$R_f$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$，值域为$R_g$，且$R_gsubseteqD_f$，则函数$y=f[g(x)]$称为由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成的复合函数。定义复合函数的单调性遵循“同增异减”原则，即内外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内外层函数单调性相反时，复合函数为减函数。性质复合函数定义和性质定义没有给出具体解析式，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数称为抽象函数。性质抽象函数的性质通常通过给定的条件进行推导，如对称性、周期性、单调性等。抽象函数定义和性质复合函数图像特点复合函数的图像可以通过内外层函数的图像进行合成得到。当内外层函数均为基本初等函数时，可以通过基本初等函数的图像变换得到复合函数的图像。抽象函数图像特点抽象函数的图像通常无法直接画出，但可以通过给定的条件推断出图像的一些特征，如对称性、周期性等。复合函数和抽象函数图像特点在解决实际问题时，经常会遇到需要通过多个步骤或多个因素共同影响才能得到结果的情况，这时就可以通过建立复合函数模型来描述这种关系。例如，在经济学中，